Глава 1 основы теории переключательных функций

1.1. Аксиомы, основные теоремы и тождества алгебры логики

Основы алгебры логики были заложены в середине Х1Х века шотландским математиком Дж. Булем [1,2], по имени которого она также называется булевой алгеброй. Начало использования аппарата алгебры логики для синтеза переключательных (релейных) схем было положено работами американского ученого К.Шеннона [3,4].

Аксиомы алгебры логики. В алгебре логики рассматриваются переменные, принимающие лишь два значения – 0 и 1. В дальнейшем переменные будем обозначать латинскими буквами x,y,z,… . В алгебре логики определены отношение эквивалентности (=) и три операции: дизъюнкция

( операция ИЛИ), обозначаемая знаками +,;конъюнкция (операция И), обозначаемая знаком & или точкой, которую обычно опускают; отрицание (операция инверсии или отрицания), обозначаемое чертой над переменными либо над элементами 0 и 1 (например, ).

Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:

x = x – рефлексивность;

если x = y, то y = x – симметричность;

если x = y иy = z, то x = z–транзитивность.

Из отношений эквивалентности следует принцип подстановки: еслиx = y, то в любой формуле, содержащейx, можно вместох подставитьу, а в результате будет получена эквивалентная формула.

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

x = 0, если x;

x = 1,если x; (1.1)

1 + 1 = 1

0 0 = 0 (1.2)

0 + 0 = 0,

1 1 = 1; (1.3)

0 + 1 = 1 + 0 = 1,

1 0 = 01 = 0; (1.4)

(1.5)

Аксиома (1.1) является утверждением того, что в алгебре логики рассматриваются только двоичные переменные, аксиомы (1.2) – (1.4) определяют операции дизъюнкции и конъюнкции, а аксиома (1.5) – операцию отрицания. Если в аксиомах (1.2) – (1.5), заданных парами, произвести взаимную замену операций конъюнкции и дизъюнкции, а также элементов 0 и 1, то из одной пары аксиом получим другую. Это свойство называетсяпринципом двойственности.

Теоремы и тождества алгебры логики.

С помощью аксиом алгебры логики докажем ряд теорем и тождеств. Одним из эффективных методов доказательства теорем является метод перебора всех значений логических переменных: если теорема истинна, то с учетом аксиом (1.2) – (1.5) уравнение, формулирующее утверждение теоремы, должно быть истинно при подстановке любых значений переменных в обе его части. Метод перебора достаточно прост, так как переменные принимают два значения: 0 и 1. Так методом перебора легко убедиться в справедливости следующих теорем:

идемпотентные законы

(1.6)

коммутативные законы

(1.7)

ассоциативные законы

(1.8)

дистрибутивные законы

(1.9)

законы отрицания

(1.10)

(1.11)

(1.12)

законы двойственности (правило де Моргана)

(1.13)

закон двойного отрицания

(1.14)

законы поглощения (абсорбции)

(1.15)

операции склеивания

(1.16)

операции обобщенного склеивания

(1.17)

(1.18)

Теоремы (1.6) – (1.13) и (1.15) – (1.18) записаны парами, причем каждая из теорем пары двойственна другой, так как из одной теоремы пары можно получить другую на основании принципа двойственности, т.е. путем взаимной замены операций конъюнкции и дизъюнкции, а также элементов 0 и 1, если таковые имеются.

Операция сложения по модулю два.

Кроме основных логических операций алгебры логики (дизъюнкция, конъюнкция, отрицание), определяемых аксиомами (1.2) – (1.5), нам необходимо ознакомиться с более сложными операциями, такими как И-НЕ, ИЛИ-НЕ, И-ИЛИ-НЕ и сумма по модулю два. Эти операции, естественно, определяются через основные операции алгебры логики.

Операция сумма по модулю два ( исключающее ИЛИ, логическая неравнозначность) обозначается символом и определяется соотношением

(1.19)

Легко убедиться, что. Это выражение можно использовать наряду с формулой (1.19) для определения данной операции. Очевидно, чтоНа основании аксиом алгебры логики (1.2) – (1.5.) можно показать, что

(1.20)

Из данных соотношений следует, что значениесовпадает со значениями младшего разряда суммы двух двоичных чисел, гдеx иy– значения младших разрядов этих чисел. Соответственно этому значениеi – го разряда суммы двух двоичных чисел будет определяться значением где - значения младших разрядов двоичных чисел, а - перенос из предыдущегоi -1разряда.

Операция сумма по модулюдва коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно операции конъюнкции, т.е.

(1.21)

Для операции сумма по модулюдва справедливы следующие тождества

(1.22)

при четном n (1.23)

при нечетном n (1.24)

где для всехр (формула справедлива только для одной переменной, повтореннойnраз).