int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
В16. Два проводника с емкостями 4 пФ и 6 пФ заряжены соответственно до потенциалов 8 В и 10 В. Найти их потенциал после соприкосновения друг с другом.
Обозначим С1 емкость первого проводника, С2 — емкость второго проводника, M1 — потенциал первого проводника до их соприкосновения, M2 — потенциал второго проводника до их соприкосновения, M — потенциал проводников после их соприкосновения, q01 — заряд первого проводника до их соприкосновения, q02 — заряд второго проводника до их соприкосновения, q1 — заряд первого проводника после их соприкосновения, q2 — заряд второго проводника после их соприкосновения.
Дано:
С1 = 4 пФ С2 = 6 пФ M1 = 8 В M2 = 10 В
M — ?
Решение
Воспользуемся законом сохранения заряда, согласно которому суммарный заряд на проводниках до соприкосновения равен суммарному заряду после соприкосновения:
q01 + q02 = q1 + q2.
Теперь выразим заряды на проводниках через емкости проводников и их потенциалы. При этом учтем, что после соприкосновения потенциал проводников стал одинаков, а емкость каждого проводника осталась прежней. По определению емкости проводника
Ñ = |
q01 |
, |
откуда q |
= С M . |
|
|
|||||
1 |
ϕ1 |
01 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
Аналогично
q02 = С2M2, q1 = С1M и q2 = С2M.
Теперь подставим правые части этих четырех равенств вместо зарядов в первое уравнение:
С1M1 + С2M2 = С1M + С2M.
Отсюда |
|
|
. |
|
+ Ñ2 |
||
Ñ1 |
|
||
Произведем вычисления: M = 4 8 + 6 10 В = 9,2 В.
4 + 6
Ответ: M = 9,2 В.
440
Раздел III. Электромагнетизм
В17. Плоский воздушный конденсатор зарядили до напряжения 600 В и отключили от источника зарядов, после чего расстояние между обкладками увеличили от 0,2 мм до 0,7 мм и ввели диэлектрик с проницаемостью 7. Найти новое напряжение между обкладками
Обозначим U1 напряжение на конденсаторе до отключения от источника зарядов, U2 — напряжение на конденсаторе после отключения от источника зарядов, d1 — первоначальное расстояние между обкладками, d2 — новое расстояние между обкладками, H1 — диэлектрическую проницаемость воздуха, H2 — диэлектрическую проницаемость нового диэлектрика, H0 — электрическую постоянную, S — площадь обкладок конденсатора, q — заряд конденсатора.
Дано:
U1 = 600 В d1 = 0,2 мм
d2 = 0,7 мм
H1 = 1
H2 = 7
F — ?
Решение
Если конденсатор отключили от источника зарядов, то при изменении расстояния между его обкладками меняются емкость и напряжение на обкладках, а заряд конденсатора остается неизменным.
Согласно определению емкости конденсатора
С1 = q ,
U1
где по формуле емкости плоского конденсатора
С1 = ε0ε1S . d1
С учетом этих равенств
q = ε0ε1S. U1 d1
Аналогично, после увеличения расстояния и введения диэлектрика,
q = ε0ε2S. U2 d2
Разделим левые и правые части двух последних уравнений друг на друга и из полученного выражения найдем искомое напряжение:
qU2 |
= |
ε0ε1Sd2 |
, |
U2 |
= |
ε1d2 |
, откуда |
U |
2 |
= U |
ε1d2 |
. |
|
|
|
||||||||||
U1q d1ε0ε2S |
U1 |
|
d1ε2 |
|
|
1 d1ε2 |
||||||
441
Физика для старшеклассников и абитуриентов
1 0,7
Произведем вычисления: U2 = 600 0,2 7 В = 300 В. Ответ: U2 = 300 В.
В18. При увеличении напряжения на обкладках конденсатора в три раза энергия его электрического поля увеличилась на 200 мДж. Найти начальную энергию конденсатора.
Обозначим U1 напряжение на конденсаторе до увеличения, U2 — напряжение на конденсаторе после увеличения, 'W — изменение энергии конденсатора, W1 — первоначальную энергию конденсатора, W2 — новую энергию конденсатора, С — емкость конденсатора.
Дано:
U2 = 3U1
'W = 200 мДж
W1 — ?
Решение
Выразим начальную и конечную энергии конденсатора через его емкость и на-
пряжение: |
ÑU2 |
|
ÑU2 |
||
W1 = |
и W2 = |
||||
1 |
2 |
. |
|||
2 |
2 |
||||
|
|
|
|||
Тогда изменение энергии
|
ÑU2 |
|
ÑU2 |
Ñ |
U |
2 |
− U |
2 |
Ñ |
9U |
2 |
− U |
2 |
= 8 |
CU2 |
||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
'W = |
2 |
– |
2 |
= |
2 |
( 2 |
1 ) = |
2 |
( |
1 |
1 ) |
|
|
2 |
|||||
или |
|
'W = 8W1, |
откуда |
W1 = |
|
|
W . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
Произведем вычисления: W1 = |
200 мДж = 25 мДж. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: W1 = 25 мДж.
В19. Сопротивление медного проводника 0,2 Ом, его масса 0,2 кг, плотность меди 8900 кг/м3. Определить площадь поперечного сечения проводника.
Обозначим R сопротивление проводника, m — его массу, Uп — плотность, Uc — удельное сопротивление, S — площадь поперечного сечения, l — длину проводника, V — его объем.
Дано: |
|
Решение |
|
||
|
|
||||
R = 0,2 Ом |
|
По формуле сопротивления проводника |
|||
m = 0,2 кг |
|
|
l |
. |
(1) |
3 |
|
|
|||
Uп = 8900 кг/м |
|
R = ρc S |
|
||
Uс = 1,7 10–8 Ом м |
|
Выразим массу проводника через его |
|||
|
|
||||
S — ? |
|
плотность и размеры: |
|
||
|
|
|
|
|
|
442
Раздел III. Электромагнетизм
|
m = UпV, где V = lS, |
|
поэтому |
m = Uп l S. |
(2) |
Разделим (1) на (2). При этом неизвестная длина проводника сократится, и мы найдем его площадь поперечного сечения:
R |
= |
ρcl |
, |
R |
= |
ρc |
, откуда S = |
mρc |
. |
|
|
|
|||||||
m Sρï lS m |
ρï S2 |
|
Rρï |
||||||
Произведем вычисления:
S = |
0,2 1,7 10−8 |
| 1,4 10–6 |
м2 | 1,4 мм2. |
||
0,2 |
8900 |
||||
|
|
|
|||
Ответ: S | 1,4 мм2.
В20. Длина медного проводника 300 м, напряжение на его концах 36 В, концентрация электронов проводимости в проводнике 8,5 1028 м–3. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов в этом проводнике.
Обозначим l длину проводника, U — напряжение на его концах, n — концентрацию электронов проводимости, R — сопротивление проводника, r — удельное сопротивление меди, I — силу тока в проводнике, S — площадь поперечного сечения проводника, v — среднюю скорость упорядоченного движения электронов, е — модуль заряда электрона.
Дано:
l = 300 м U = 36 В
n = 8,5 1028 м–3 U = 1,7 10–8 Ом м е = 1,6 10–19 Кл
v — ?
Решение
Выразим силу тока через концентрацию электронов проводимости и их скорость:
I = nevS. |
(1) |
По закону Ома для участка цепи
I = U .
R
Сопротивление проводника выразим через его длину и площадь поперечного сечения:
R = U l .
S
Подставим правую часть этой формулы в закон Ома:
US
I = ρl . (2)
443
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Нам осталось приравнять правые части равенств (1) и (2) и из полученного выражения найти скорость упорядоченного движения электронов:
|
|
US |
|
U |
|
|
|
U |
||||
|
nevS = |
|
, |
ne |
|
|
, откуда |
|
|
. |
||
|
ρl |
|
ρl |
|
neρl |
|||||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|||||||
v = |
|
|
|
36 |
|
|
|
|
м/с | 5 · 10–4 м/с. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8,5 1028 |
1,6 |
10−19 |
1,7 10−8 300 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: v | 5 · 10–4 м/с.
В21. Чему равна энергия конденсатора емкостью 10 мкФ (рис. 237)? ЭДС источника тока 4 В, внутреннее сопротивление 1 Ом, сопротивления резисторов 10 Ом.
ОбозначимС емкостьконденсатора,
— ЭДС источника тока, r — внутреннее сопротивление, R — внешнее сопротивление, W — энергию конденсатора, U — напряжение на конденсаторе.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
С = 10 мкФ |
|
Если мы сумеем найти напряжение U на |
|||
= 4 В |
|
конденсаторе, то его энергию определим по |
|||
r = 1 Ом |
|
формуле |
|
|
|
R = 10 Ом |
|
|
|
2 |
|
|
W = |
CU |
. |
||
|
|
||||
|
|
||||
W — ? |
|
2 |
|
|
|
|
Напряжение на конденсаторе такое же, |
||||
|
|
||||
|
|
как и на резисторе, к которому он подключен |
|||
параллельно. Но напряжение на этом резисторе U = IR, где по |
|||||
закону Ома для всей цепи |
ε |
||||
|
I = |
||||
|
|
|
. |
||
|
3R + r |
||||
|
U = |
|
ε |
||
С учетом этого |
|
. |
|||
3R + r |
|||||
Подставив правую часть этого выражения в первую формулу, получим:
Дж |
| 8,3 · 10–6 Дж | 8,3 мкДж.
Ответ: W | 8,3 мкДж.
444
Раздел III. Электромагнетизм
В22. На рис. 238 изображена схема электрической цепи. Когда ключ К разомкнут, вольтметр показывает 4 В, а когда ключ К замкнут, вольтметр показывает 3,8 В. Сопротивление резистора 2 Ом. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока?
Обозначим U1 напряжение, которое показывает вольтметр, когда ключ К разомкнут, U2 — напряжение, которое показывает вольтметр, когда ключ К замкнут, R — сопротивление резистора, 
— ЭДС источника тока, r — внутреннее сопротивление источника, I — силу тока в цепи.
Дано: |
Решение |
|
U1 |
= 4 В |
Когда ключ К разомкнут, разомкнута |
U2 |
= 3,8 В |
внешняя часть цепи, а в этом случае напря- |
R = 2 Ом |
жение, которое показывает вольтметр, равно |
|
|
|
ЭДС источника тока. Таким образом, |
|
|
|
r — ?
U1 = .
По закону Ома для всей цепи
ε
I = R + r ,
а по закону Ома для участка цепи
I = U2 .
R
Приравняв правые части двух последних равенств с учетом, что U1 = 
, получим:
U |
|
U1 |
|
|
U |
|
U |
|
|||
2 |
= |
|
, откуда R + r = R |
|
1 |
, |
r = R |
1 |
− 1 . |
||
|
|
||||||||||
R |
R + r |
U2 |
|||||||||
|
|
|
|
U2 |
|
||||||
Произведем вычисления: r = 2 |
4 |
− 1 |
Ом = 0,1 Ом. |
||||||||
3,8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: r = 0,1 Ом.
В23. Электрическая цепь состоит из источника тока и лампы с последовательно подключенным к ней амперметром и параллельно вольтметром (рис. 239). Вольтметр показывает напряжение 4 В, а амперметр силу тока 2 А. ЭДС источника тока 5 В. Найти внутреннее сопротивление источника тока.
Обозначим U напряжение на лампе, I — силу тока в ней,
— ЭДС источника тока, r — внутреннее сопротивление источника тока, R — сопротивление лампы.
445
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Дано: |
Решение |
|
|
U = 4 В |
По закону Ома для всей цепи |
||
I = 2 А |
I = |
ε |
|
= 5 В |
|
, |
|
|
|||
|
R + r |
||
|
|
||
а по закону Ома для участка цепи
r — ?
I = RU ,
откуда сопротивление лампы
R = U . I
Выразим из первой формулы искомое внутреннее сопротивление источника тока:
R + r = ε |
, откуда |
r = ε − R |
I |
|
I |
или с учетом значения сопротивления лампы
r = ε − U = ε − U .
I I I
Произведем вычисления: r = 5 − 4 Ом = 0,5 Ом.
2
Ответ: r = 0,5 Ом.
В24. ЭДС источника тока 6 В. При внешнем сопротивлении 1 Ом сила тока в цепи 3 А. Найти силу тока короткого замыкания.
Обозначим
ЭДС источника тока, R — внешнее сопротивление, I — силу тока в цепи при наличии внешнего сопротивления, Iк.з. — силу тока короткого замыкания, r — внутреннее сопротивление источника тока.
Дано:
= 6 В R = 1 Ом
I = 3 А
Iк.з. — ?
Решение
По закону Ома для всей цепи
ε
I = R + r .
При коротком замыкании внешнее сопро-
тивление R = 0, и закон Ома принимает вид:
ε.
r
Выразим внутреннее сопротивление r из первой формулы:
446
Раздел III. Электромагнетизм
ε |
ε |
R + r = I |
и r = I – R. |
Теперь подставим правую часть этого выражения в фор-
мулу силы тока короткого замыкания вместо внутреннего сопротивления:
Iк.з. = |
ε |
= |
εI |
. |
ε − R |
|
|||
|
|
ε − IR |
||
|
I |
|
|
|
6 3
Произведем вычисления: Iк.з. = 6 − 3 1 А = 6 А. Ответ: Iк.з. = 6 А.
В25. ЭДС источника тока 4 В, внешнее сопротивление равно внутреннему. Найти напряжение на полюсах источника тока, когда цепь замкнута.
Обозначим 
ЭДС источника тока, R — внешнее сопротивление, I — силу тока в цепи, r — внутреннее сопротивление источника тока, U — напряжение на полюсах источника тока.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 4 В |
|
По закону Ома для всей цепи |
|
|
|
||||
R = r |
|
|
I = |
ε |
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
U — ? |
|
|
R + r |
|
|
|
|||
|
Если R = r, то |
|
I = |
ε |
= |
ε |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
R + R |
2R |
||||||
По закону Ома для участка цепи
I = RU , Приравняем правые части этих равенств:
ε U
2R = R , откуда U = ε2 = 24 В = 2 В.
Ответ: U = 2 В.
В26. Три лампы сопротивлением 12,5 Ом каждая соединены параллельно и подключены к источнику тока с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом (рис. 289). Сопротивле-
447
Физика для старшеклассников и абитуриентов |
|
|
||||||||
ние соединительных проводов 2 Ом. Найти |
|
|
I |
|||||||
напряжение на лампах. |
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим ЭДСисточникатока,Rл —со- |
|
|
|
|||||||
противление каждой лампы, I — силу тока I |
|
Rл |
R |
|||||||
в цепи, r — внутреннее сопротивление ис- |
|
|||||||||
|
|
|||||||||
точника тока, R — сопротивление соеди- |
|
|
|
|||||||
нительных проводов, Uл — напряжение на |
|
Rл |
|
|||||||
лампах, Rобщ — общее сопротивление трех |
|
|
|
|||||||
параллельных ламп. |
|
|
|
|
|
|
Rл |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дано: |
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
Rл = 12,5 Ом |
По закону Ома для всей цепи |
Рис. 289 |
|
|||||||
= 10 В |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
r = 0,5 Ом |
|
|
|
I = Rîáù + R + r, |
|
|
|
|||
R = 2 Ом |
|
|
|
|
Rобщ = Rë . |
|
|
|
||
Uл — ? |
где |
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом этого |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ε |
|
|
3ε |
|
|
|
|
|
I = Rë |
+ R + r |
= Rë + 3 (R + r). |
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По закону Ома для участка цепи |
|
|
|
|
||||||
|
I = Uë = |
Uë = 3Uë . |
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
Rë |
|
Rë |
|
|
|
|
|
|
|
îáù |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приравняем правые части двух последних равенств и из |
||||||||||
полученного выражения найдем напряжение на лампах: |
|
|||||||||
|
|
|
3ε |
|
|
3Uë |
|
|
|
|
|
|
Rë + 3 (R + r) = |
Rë . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
εRë |
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
Uë = Rë + 3 (R + r). |
|
|
|
||||
Произведем вычисления: Uл = |
|
10 12,5 |
|
В = 6,25 В. |
||||||
12,5 + 3 (2 + 0,5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: Uл = 6,25 В.
В27. К концам свинцовой проволоки длиной 2 м приложено напряжение 25 В. Начальная температура проволоки 10 0С. Через сколько времени проволока начнет плавиться? Температура плавления свинца 327 0С, его удельное сопротивление
448
Раздел III. Электромагнетизм
1,7 · 10–6 Ом · м, плотность свинца 11,3 · 103 кг/м3, его удельная теплоемкость 125 Дж/(кг · К). Ответ округлить до десятых долей секунды.
Обозначим l длину проволоки, U — напряжение на ее концах, t1 — начальную температуру проволоки, t2 — температуру плавления свинца, Uc — его удельное сопротивление, Uп — плотность свинца, с — его удельную теплоемкость, t — время, через которое проволока начнет плавиться, Q — количество теплоты, которое выделится в проводнике, m — его массу, V — объем проводника, S — площадь поперечного сечения, R — сопротивление проводника.
Дано: |
Решение |
|
l = 2 м |
При прохождении по проводни- |
|
U = 25 В |
ку электрического тока он нагрева- |
|
t1 = 10 0С |
ется. По закону Джоуля — Ленца |
|
t2 = 327 0С |
количество теплоты, которое вы- |
|
Uc = 1,7 · 10–6 Ом · м |
делится в проводнике, |
|
Uп = 11,3 · 103 кг/м3 |
Q = |
U2 |
с = 125 Дж/(кг · К) |
t . |
|
|
R |
|
Это тепло пойдет на нагревание t — ? свинцового проводника от температуры t1 до точки плавления t2.
Количество теплоты, пошедшее на его нагревание, определим по формуле
Q = cm(t2 – t1).
Поскольку о тепловых потерях нам ничего не сказано, приравняем правые части этих равенств:
U2 |
|
cmR(t2 |
−t1) |
|
|
R t = cm(t2 |
−t1), откуда t = |
|
|
. |
(1) |
U2 |
|
Массу проволоки определим через ее длину, выразив массу сначала через плотность свинца и объем проволоки, а потом объем — через ее длину. Согласно формуле плотности
|
ρ = m , где V = lS, |
|
|
|
Ï |
V |
|
поэтому |
m = UпV = UпlS. |
(2) |
|
Длина проволоки нам дана, а площадь ее поперечного сечения S — нет и взять ее негде. Остается надеяться, что она
449