Тема: «Системы счисления (позиционные)».

Система счисления называется позиционной, если значение числа в ней определяется как цифрами, так и положением (позицией) этих цифр в числе.

Закономерность построений позиционных чисел имеет простое математическое представление. Введём след.обозначения: g-основание системы счисления. Основные системы – это целое положительное число больше 1 и равное максимальному кол-ву различных символов, употребляемых в данной системе счисления. В частности, для десятичной системы счисленияg=10.a_i-любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления (в случае десятичной системы:a_i-любая цифра из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}).i-индекс, который обозначает номер позиции, занимаемой цифрой в числе.

Позицию для целых чисел будем условно обозначать номерами 1,2,3…..n. А позицию в правильных дробях номерами -1,-2,-3…..-m. Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основаниемgможет быть записано след.образом:

А=a_ngⁿ+a_n-1g^n-1+……+a₁g¹+a₀g⁰+a_(-1)g^(-1)+a_(-2)g^(-2)+…..+a_(-m)g^(-m) (1.1)

0 ≤ a_i ≤g-1 (1.2)

A_i должно удовлетворять неравенству 1.2 и принимает в этом диапазоне только целые значения и называется весомi-го разряда.

Формулу 1.1 будем называть общей формулой записи числа в позиционной системе счисления с произвольным целым основанием g.

Тогда число А в десятичной системе счисления:

А=a_n10ⁿ+a_n-110^n-1+……+a₁10¹+a₀10⁰+a_(-1)10^(-1)+a_(-2)10^(-2)+…..+a_(-m)10^(-m)

Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует общепринятым названиям позиций: единицы, десятки, сотни, десятые доли, сотый доли и тд.

1325₁₀=1∙10³+3 ∙10²+2 ∙10¹+5∙10⁰

67,09=6∙10¹⁺7∙10⁰+0∙10^(-1)+9∙10^(-2)

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: один>0, два>1 и тд.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть 1 значит заменить её на 2 ( 2 на 3 и тд). Продвижением старшей цифры ( 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей 0 и 1, продвижением 0 является замена его на 1, а продвижение 1 – заменой на 0.

Таблица соответствия

10-ая	2-ая	8-ая	16-ая
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	10=A
11	1011	13	11=B
12	1100	14	12=C
13	1101	15	13=D
14	1110	16	14=E
15	1111	17	15=F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью правила счёта: «для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа. Если какая-либо цифра после продвижения стала нулём, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё».