Задание №6

Найти пределы, используя правило Лопиталя.

6.1. ;;

; .

6.2. ;;

; .

6.3. ;;

; .

6.4. ;;

; .

6.5. ;;

; .

6.6.;;

; .

6.7. ; ;

; .

6.8.; ;

; .

6.9. ; ;

; .

6.10. ; .

; .

6.11. ; ;

; .

6.12. ; ;

; .

6.13. ; ;

; .

6.14. ; ;

; .

6.15. ; ;

; .

6.16.; ;

; .

6.17.; ;

; .

6.18. ; .

; .

6.19. ; ;

; .

6.20. ; .

; .

6.21.; ;

; .

6.22.; ;

; .

6.23.; ;

; .

6.24. ; ;

; .

6.25. ; ;

; .

6.26. ; ;

; .

6.27. ; ;

; .

6.28.; ;

; .

6.29.; ;

; .

6.30. ; ;

; .

Задание №7

Провести полное исследование функции и построить её график.

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

7.11. 7.12.

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

7.17. 7.18.

7.19. 7.20.

7.21. 7.22.

7.23. 7.24.

7.25. 7.26.

7.27. 7.28.

7.29. 7.30.

Задание № 8.

Решить задачу средствами дифференциального исчисления.

8.1. Дождевая капля, начальная масса которой , падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь. Убыль массы пропорцио­нальна времени (коэффи­циент пропорциональности равенk). Через сколько секунд от начала падения ки­нетическая энергия капли будет наибольшей?

8.2. На эллипсе даны две точки А(1; 4), В(3; 0). Найти на данном эл­липсе третью точку С такую, что площадь треуголь­ника ABC была наиболь­шей.

8.3. Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объёмом (задача Кеплера).

8.4. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма).

8.5. Через точку А(3; 5) провести прямую с отрицательным угловом коэффици­ентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат была наименьшей.

8.6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна . Каковы должны быть катеты, чтобы периметр треугольника был наибольший?

8.7. При подготовке к экзамену студент за t дней изучает t/(t+1) - ю часть курса, а забывает t/25 - ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

8.8. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС = а и углом при основании α. На стороне ВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм AДЕF, у которого точки Д и F лежат соответствен­но на стороне АВ и АС имел наи­большую площадь.

8.9. Требуется сделать коробку, объём которой должен равняться 108 . Ко­робка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть её размеры, чтобы на её изготовление пошло наименьшее количество материала?

8.10. При небрежной транспортировке рулонов типографской бумаги на их по­верхности появляются трещины, в результате чего образуется так называемый бу­мажный срыв, идущий в отходы. Очевидно, что эти отходы тем меньше, чем меньше полная поверхность рулона при данном его объё­ме. Исследовать, при каком соот­ношении между диаметром и длиной рулона срыв бумаги будет наименьшим.

8.11. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным се­чением 4,5 . Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицов­ки стенок и дна по­шло наименьшее количество материала?

8.12. Прямоугольная цветочная клумба должна занимать площадь 216 . Вдоль длины клумбы должны быть дорожки шириной 2 м, а вдоль её ширины – З м. Ка­ковы должны быть размеры клумбы, чтобы площадь дорожек была наимень­шей?

8.13. Спортплощадку площадью 6000 , имеющую форму прямоугольника, нужно огородить с двух противоположных сторон деревянным забором, а с двух других противоположных сторон — проволочным. Постройка одного метра деревян­ного забора стоит 5 руб., проволочного — 3 руб. Каковы должны быть размеры спортплощадки, чтобы затраты на ограждения были минимальными?

8.14. Нужно построить здание о площадью основания 96 . Известно, что метр станы но фасаду будет стоить в два раза дороже метра других стен. Каковы должны быть размеры здания, чтобы стоимость возведения стен была наи­меньшей?

8.15. Два самолёта летят в одной плоскости и прямолинейно под уг­лом 120° с одинаковой скоростью V км/час. В некоторый момент один самолёт пришёл в точку пересечения линий движения, а второй не дошёл до неё a км. Через сколько вре­мени расстояние между самолетами бу­дет наименьшим и чему равно это расстояние?

8.16. Завод Д нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город А. Расстояние ДВ до железной дороги равно а, расстояние АВ по железной дорого равно l. Стоимость перевозок по шоссе в m раз дороже (m > 1) стоимости перевозок по железной дороге. Как провести шоссе ДР к железной до­роге, чтобы стоимость перевозок от завода к го­роду была наименьшей?

8.17. Для выполнения сельскохозяйственных работ трактористу необ­ходимо пе­реехать с поля А на другое поле В, предварительно пополнив запасы горючего на шоссе. Расстояние AM от поля до шоссе равно 2 км,. Расстояние BN от поля В до шоссе равно 1,5 км. Шоссе прямолинейное, MN = 3,5 км. В каком месте шоссе должен ожидать бензовоз, чтобы путь трак­тора от поля А до поля В был наименьшим?

8.18. Энергия, затраченная в единицу времени на движение парохода пропорцио­нальна кубу его скорости, развиваемой движением в стоячей воде. Найдите наиболее экономичную скорость движения, если требуется пройти 20 км против течения, скорость которого составляет 6 км/час.

8.19. Испытания двигателя привели к n различным значениям исследуемой величины А. Обычно в качестве значения неизвестной ве­личины А принимают такое значение x, при котором сумма квадратов его отклонений от имеет наименьшее значение. Найти x, удовлетворяющее этому требованию.

8.20. Расстояние между речными пристанями А и В равно 144 км. Пристань С находится между А и В на расстоянии 81 км от В. Катер, прошел путь по течению реки от А до В и вернулся на пристань С. Средняя скорость на всем пути АВС была равна 35 км/час. При какой скорости течения реки время на весь путь затрачивается наименьшее.

8.21. Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

8.22. Сосуд, состоящий из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой, дол­жен вмещать 18 л. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала.

8.23. Известно, что прочность балки с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и квадрату толщины. Найти ширину бруска наи­большей прочности, который можно вырезать из брев­на диаметром 16 см.

8.24. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Исследо­вать, как изменится стоимость бриллианта, если его разрезать на две части. Сделать обоб­щающий вывод для n частей.

8.25. От канала шириной 4 м под прямым углом к нему отходит другой канал шириной 2 м. Какой может быть длина бревна, чтобы его можно было сплавить по этим каналам из одного в другой (толщину бревна не учитывать).

8.26. У фермера имеется стадо в 100 коров, каждая массой в 200 кг. Содержание одной коровы обходится в 50 центов в день. Корова при­бавляет 2,4 кг в день. Ры­ночная цена коров составляет теперь 2,5 доллара за фунт и падает на 1 цент в день. Как долго должен фермер от­кладывать продажу, чтобы получить наибольший до­ход? Сколько он выиграет по сравнению с немедленной продажей?

8.27. Чтобы огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора, имеется кусок проволоки в 20 м. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

8.28. Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямоуголь­ного парал­лелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность параллелепипеда была наибольшей?

8.29. Из проволоки длиной 90 см нужно сделать модель призмы с правильным треугольником в основании. Какова должна быть сторона основания призмы, чтобы боковая поверхность её была наибольшей?

8.30. Полоса жести шириной a должна быть согнута в виде открыто­го желоба так, чтобы поперечное сече­ние желоба имело форму кругового сегмента. Каким должен быть центральный угол, опирающийся на этот сегмент, для того, чтобы вместимость желоба была наибольшей?