18

ПРИАЗОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Сопротивление материалов»

Конспект лекций по курсу «Сопротивление материалов»

Мариуполь 2007

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

УДК 69:658.5 (075.8)

Конспект лекций по курсу «Сопротивление материалов» (для студентов всех технических специальностей) / Сост. В.Г.Артюх -Мариуполь: Изд-во ПГТУ, 2007.- с.

Составитель: В. Г. Артюх, к.т.н., доц., зав. каф. сопротивления материалов. Отв. за выпуск: В. Г. Артюх, к.т.н., доц., зав. каф. сопротивления материалов.

Утверждено на заседание кафедры «Сопротивление материалов»

Протокол №1 от 31.08.2007г.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 1.1. Возникновение и развитие науки о сопротивлении материалов

Первый шаг в развитии теоретического направления науки о прочности заложил итальянский физик, механик и астроном Галилей (1564— 1642). Им была написана книга, содержащая решения ряда задач о прочности балок в зависимости от их размеров и нагрузки.

Мощный толчок развитию строительной механики дало дифференциальное и интегральное исчисление (Ньютон, Лейбниц).

В 1678 г. английский ученый Роберт Гук (1635—1703) установил закон деформирования упругих тел, согласно которому деформация упругого тела прямо пропорциональна действующему на него усилию. Этот закон является основным в теории сопротивления материалов. Суть его состоит в следующем (см. рис. 1.1)

Пусть струна длиной L одним концом прикреплена к потолку, а на другом (свободном) конце к ней подвешена чаша для грузов. Положим на чашу груз Р1 ,

Закон Гука в том виде, в каком мы привыкли его записывать σ = Eε

окончательно был сформулировал после того, как в 1807 г. Юнг ввел понятие модуля упругости Е, а Коши сформулировал понятие «напряжение» в 1822 г.

Обратим внимание на одну характерную деталь: Коши сформулировал понятие «н. а п. р. я же н. и е 1822 г., а Гук опубликовал свои результаты в 1678 г. Как видим, чтобы проделать элементарную операцию

σ = FP

(разделить силу Р на площадь Е), потребовалось 150 лет. Для этого необходим был скачок в представлениях, который оказался отнюдь не простым и дался ценой усилий исследователей нескольких поколений.

Относительно быстрое развитие науки о сопротивлении материалов началось в конце XVIII столетия в связи с бурным прогрессом промышленности и транспорта. Большой вклад внесли зарубежные ученые Т. Карман. А. Кастильяно, О. Коши, Ш. Кулон. Г. Ламе, А. Ляв, Д Максвелл, К. Мор, Л. Прандтль, С. Пуассон.

Проблемами прочности занимались Л. Эйлер (решил впервые задачу об устойчивости колонны (стойки) при сжатии). Д. Бернулли (положил начало теорий изгиба балок и колебаний).

Развитию сопротивления материалов содействовали работы российских ученых: Д.И. Журавского (построил дорогу Петербург—Москва, шпиль Собора Петропавловской крепости) — по теории изгиба балок и мостовым фермам. Ф.С. Ясинского — по устойчивости стержневых ферм, Х.С. Головина — о кривом брусе, И.Г. Бубнова —

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

создателя дисциплины «строительная механика корабля», А.Н. Крылова — по теории устойчивости корабля. Б.Г. Галеркина — автора фундаментальных исследований по теории пластин и оболочек и др.

1.2. 3адачи и методы сопротивления материалов

Основной задачей науки о сопротивлении материалов является разработка инженерных методов расчета элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость.

Теоретические положения дисциплины сопротивления материалов опираются на законы и теоремы теоретической механики. на теорию упругости и материаловедение Среди наук, подпитывающих сопротивление материалов. появившихся в настоящее время, — теория пластичности, теория ползучести.

Сопротивление материалов в силу своей практической направленности решает задачи более широкие, чем математическая теория упругости. Она рассматривает объект в целом, а совершенные теории изучают локальные эффекты.

Методы изучения сопротивления материалов не остаются постоянными. Они изменяются вместе с возникновением новых задач и новых требований практики, с появлением новых вычислительных средств

Р а с ч е т н а п р о ч н. о с т ь — подбор оптимальных поперечных размеров сечений элементов конструкций. исключающий возможность их разрушения либо появления в них остаточных деформаций под действием

заданных нагрузок.

которых конструкция не теряет устойчивости.

П о д. у с т о й ч и в о с т ь ю понимается свойство системы при любом малом отклонении от состояния равновесия стремиться к своему первоначальному равновесному состоянию и возвращаться к нему после снятия внешнего воздействия.

§ 1.3. Современные проблемы прочности и надежности техники

В современной технике возрастает значение проблем прочности и надежности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, стремлением уменьшить степени технического риска. В последние годы идет быстрый процесс роста математических знаний. В сопротивлении материалов все большее место в связи с ЭВМ занимают численные методы. Поэтому на первый план в сопротивлении материалов выходит разработка общих подходов построения‚ математических моделей прочностной надежности изделий.

Н а д е ж н о с т ь ю называют свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенном пределе в течение требуемого промежутка времени.

Пр о ч н о с т н о й н а д е ж н о с т ь ю называют отсутствие отказов связанных

сразрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции

О т к а з о м называют нарушение работоспособности изделия.

§ 1.4. Изучаемые объекты

При разнообразии и конструктивных элементов, встречающихся особенно в авиационной технике, их можно свести к сравнительно небольшому числу форм. К ним относятся: стержни, пластинки, оболочки.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

С т е р ж н е м, или брусом, называют тело, у которого длина намного превышает поперечные размеры (см. рис. 1.2).

Стержни бывают постоянного и переменного сечений. В зависимости от формы оси стержни могут быть прямыми, кривыми или пространственноизогнутыми. Примерами прямых стержней являются валы, оси, балки

(рис. 1.3). Используются еще тонкостенные стержни

(рис. 1.4).

Пластинка, оболочка – тела, одно из измерений которых (толщина) много меньше двух других (рис. 1.5).

§1.5. Основные гипотезы сопротивления

материалов

Для построения науки о сопротивлении материалов принимают некоторые гипотезы относительно структуры и свойств материалов. а также о характере деформаций.

1.Гипотеза о с п л о ш н о с т

и с р е д ы (материала).

На рис. 1.6 представлены три уровня моделей материала физическая модель кристаллической решетки (рис. 1.6а), используемая при изучении влияния несовершенства кристаллической решетки на прочность материала (несовершенства снижают прочность материала ~ в 10 раз); инженерно-физическая (совокупность зерен) (рис. 1.6б) — для выработки научных основ статистического описания механических свойств материалов инженерная модель как сплошное

однородное тело (модель сплошной среды) (рис. 1.6в) – для разработки инженерных методов расчета элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость. В соответствии с этой гипотезой материал, из которого изготавливается конструкция. считается сплошной средой (рис. 1.6в). Это самая универсальная из гипотез о мате. риале. Отсюда вытекает весьма важное следствие; в н у т ре н н н и е с и л ы и с в я з а н н ы е с н и м и д е ф о р м а ц и и и п е р е м е щ е н и я я в л я ю т с я н е п р е р ы в н ы м и ф у н

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

к ц и я м и к о о р д и н а т а значит, для анализа и описания этих функций применим аппарат математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление).

2.Гипотеза об о д н. о р. о д. н. о с т и и и з о т р о п н о с т и с р е д ы. Встречаются тела с анизотропными свойствами — дерево, ткани композитные

материалы и т. д.

З. Гипотеза о м а л о с т и д е ф о р м а ц и и.

Считается, что деформации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет уравнения статики составлять для фиксированных размеров зела (принцип начальных размеров).

4.Гипотеза об идеальной упругости материала (закон Гука).

§ 1.6. Реальный объект и расчетная схема

Реальная конструкция всегда чрезвычайно сложна. и учет се особенностей практически невозможен из-за их неисчерпаемости, Переход реальной конструкции к расчетной схеме неизменно сопровождается упрощениями, принятием гипотез, достаточно достоверно отражающих на языке математики поведенис объекта в процессе нагружения. Естественно, в этом процессе конструкция упрощается, отбрасывается все второстепенное и ее главные, определяющие несущую способность показатели.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы.

Совершенство расчетной схемы зависит от глубины проникновения в реальную работу объекта. Умение удачно выбрать расчетную схему и определяет, в первую очередь, мастерство инженера, талант проектанта. Расчет на прочность заключается в уточнении п. совершенствовании расчетных схем ню методов решения соответствующих им математических задач.

Если для одного объекта может быть предложено несколько расчетных схем, то одной расчетной схеме может быть поставлено в соответствие много различных реальных объектов.

При схематизации реальных объектов в сопротивлении материалов делаются упрощения и в системе сил, приложенных к элементу конструкции. Вводится понятие с о с р е д о т оч е н н о й с и л ы (см. рис. 1.7)

При l‹‹L сила Р считается сосредоточенной.

§1.7. Внешние и внутренние силы

С и л а — это мера механического взаимодействия тел. Внешние силы обусловлены действием на тело других тел или сред. Они делятся на п о в е р х н о с т н ы е и о б ъ е м н ы е. Поверхностные делятся на с о с р е д о т о ч е н н ы е и р а с п р е д е л е н н ы е. В число внешних сил включают также и реакции связи. дополняющие систему сил до равновесной.

Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта внутри очерченной области объекта характеризуется в ну тр е н н и м и с и л а м и. Мерой внутренних сил является напряжение. Внутренние силы выявляются методом сечений

§ 1.8. Понятие о напряжении перемещении и деформации

Под действием внешних сил или изменения температуры все тела меняют свою форму — деформируются. При нагружении твердого тела в нем возни кают внутренние

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

силы взаимодействия между частицами, оказывающие противодействие внешним силам и стремящиеся вернуть частицы тела в положение, которое занимали до деформации.

При испытании образцов на растяжение выявляются общие свойства конструкционных материалов— свойства у п р у г о с т и и п л а с т и ч н о с т и. На рис. 1.8 показана типовая диаграмма σ~ε испытания образца на растяжение. Если текущее напряжение, а <а1 (напряжение предела пропорциональности), то зависимость между напряжением σ и деформацией ε можно практически принять в виде линейного закона

σ = Еε.

В этой зависимостью Е – модуль упругости материала. Значение на кривой деформирования σ~ε численно равно тангенсу угла наклона линейного участка

Ε=tgβ.

Свойство системы при однозначной зависимости между силами и вызванными этими силами перемещениями называют и д е а л ь н о й у п р у г о с т ь ю (см. рис. 1.8).

Основное проявление упругости материала состоит в следующем. Если образец нагрузки до напряжений σ‹σпц, а затем снять

внешнюю нагрузку, то деформация материала исчезнет (точка, изображающая состояния материала на кривой σ~ε, вернется в начало координат). Свойство упругости материала как раз и заключается в том, что после снятия внешнего воздействия все линейные размеры элемента конструкции восстанавливаются.

Если образец нагрузить до напряжений σпц‹σ‹σв (σв – предел прочности материала), например до точки А, то зависимость σ~ε перестает быть линейной.

При снятии внешней нагрузки разгрузка материала будет происходить по прямой АС, приблизительно параллельной первоначальному участку (точка А перейдет в точку С), при этом в материале сохранится остаточная пластическая) деформация с, величину которой Определяет от - резок ОС, отрезок СD — величину упругой (исчезающей) деформации

εупр Повторное нагружение уже не будет повторять полностью прежнюю диаграмму

σ~ε; процесс нагружения пойдет по прямой .4С’. Здесь, как видим, зона упругой деформации по уровню напряжений возрастает

(σА>σпц). Следовательно, после промежуточной разгрузки появился как бы новый материал с более высоким пределом пропорциональности, но меньшими им и вязкоупругими свойствами.

Явление повышения упругих свойств материала В результате предварительного пластического деформирования называется н а к л е п о м или н а г а р т о в к о й

Часто наклеп применяют для упрочнения поверхностного слоя деталей (например. дисков двигателя).

Одной из особенностей физической связи между σ и ε (напряжениями и деформациями) является нелинейность во всем диапазоне, наблюдаемая при очень высокой точности измерений деформаций практически начиная от нулевого цикла.

В настоящее время общепринятой считается такая точка зрения, что и предел пропорциональности и предел упругости являются величинами, значения которых условны и зависят от точности средств, фиксирующих характер упомянутой выше зависимости.

Однако несмотря на это дан ряда практически важных конструкционных материалов (особенно авиационных) степень отклонения этой зависимости от линейной в

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

достаточно широком диапазоне значений напряжений столь невелика, что при построении инженерных методов расчета вполне может быть принят закон Гука.

Внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Выделим в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n около точки М малую площадку F(см. рис. 1.9а). Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через Р . Среднее напряжение на площадке F будет

FP = Pn ср

В пределе при F→О получим напряжение а точке М lim FP = Pn

Вектор полных напряжений Ря зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F, характеризуемой вектором n. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений Вектора n определяет напряженное состояние в точке М.

В общем случае направление вектора полных напряжений Рn не совпадает с направлением вектора нормали n.

Проекция вектора Рn на направление нормали называется н о р м а л ь н ы м н а п р я ж е н и е м σ, на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору n, - к а с а т е л ь н ы м н а п р я ж е н и е м τ

(см. рис. 1.9б).

Напряжение в системе единиц СИ измеряется в паскалях (Па):

H

1Па=1 M 2

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело де ф ор м и

ру е т с я. При этом различают н а ч а л ь н о е (недеформированное) и

ко н е ч н о е (деформированное) состояние тела.

Отнесем недеформированное состояние тела к декартовой системе координат Охуz (см. рис. 1.10).

Положение некоторой точки М в недеформированном состоянии тела определяется радиус-вектором r(х, у, z). После деформации тела точка М занимает положение М’, характеризуемое радиус-вектором г’(х, у, z). Вектор u=r’—r называется в е к т о р о м п е р е м е щ е н и я точки М. Проекции вектора и на координатные оси определяют компоненты перемещений и, ν, w соответственно вдоль осей х, у, z.

Перемещение, при котором взаимное расположение точки не меняется, не сопровождается деформациями. Говорят, что тело перемещается как ж е с т к о е тело (линейное или угловое). Вместе с тем деформация. связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.

Интенсивность изменения формы и размеров твердого тела характеризуется д е ф о р м а ц и е й. Деформация подразделяется на л и н е й н у ю (см. рис. 1.11 слева) и у г л о

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Растяжение и сжатие 8.Внутрение силы и напряжения, возникающие в поперечных

сечениях бруса при растяжения и сжатия.

Под растяжением, как указывалось в §3, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис.15. Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую, Р направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого

стержня расчетная схема в рассматриваемых случаях оказывается единой. Она показана на рис. 15 г.

Растяжение и сжатие

Если воспользоваться методом сечений, то становиться очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе Р (рис. 16),

N=Р

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N. При растяжении нормальная сила N направлена от сечения, а при сжатии – к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем между этими двумя типами

нагружения могут обнаружиться и качественные различия, как, например, при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом.

Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальная сила N является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 17). Естественно предложить, что для однородного стержня внутренние силы

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com