18

распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же:

где F – площадь поперечного сечения.

Понятно, что высказанное предложение о равномерном распределении внутренних сил в поперечном сечении справедливо лишь, поскольку из рассмотрения исключаются особенности конкретно взятого стержня в связи с условиями его закрепления на концах. Здесь руководствуется правилом, которое принято называть принципом СенВенана, по имени известного французского ученного прошлого века. Принцип Сен-Венана является общим, но применительно к стержням он может быть сформулирован следующим образом.

Особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются, как правило *), на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Это значит, что при изучении растянутого стержня достаточно принимать во внимание только равнодействующую внешних сил P, не интересуясь особенностями приложения нагрузки. Для этого надо исключить из рассмотрения часть стержня, расположенную в зоне приложения внешних сил. На рис. 15 это как раз и показано. Отбрасывая части стержня, примыкающие к его концам, получаем единую расчетную схему (рис.15 г), независима от способа приложения внешних сил.

Приведенные рассуждения могут быть отнесены также и особым участкам стержня, содержащим резкое изменение геометрических форм.

Например, для ступенчатого бруса, показано на рис. 18, следует исключить из рассмотрения зону скачкообразного перехода от одного диаметра к другому и зоны,

примыкающие к отверстиям. Во всех остальных участках напряжения в поперечных сечениях будут распределены равномерно и определяются по формуле (1.1).

Для однородного, растянутого, нагруженного по концам стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т.е. сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях.

Понятие сплошного напряженного состояния тесно связано с понятием сплошной среды. Ясно, что распределение внутренних сил в реальных условиях не может быть равномерным из-за неоднородности кристаллических зерен металла и молекулярного строения вещества.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Поэтому, когда говорят о равномерном распределении. внутренних сил по сечению, имеют в виду распределение без микроскопической, детализации в пределах площадок, существенно превышающих размеры сечений кристаллических зерен. Сделанная оговорка относится не только растяжению и сжатию, но и, вообще, ко всем другим видам нагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

При растяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Так, например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис 19,а) напряжения имеются по длине и напряженное состояние не однородно. То же самое имеет место и для стержня, нагруженного собственным весом (рис.19, б).

§9 Удлинения стержня и закон Гука

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до нагружения стержня его длина была равна l, то после нагружения она станет равной

напряжениями, возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияющие на величину деформаций. Так, например, деформации зависят от температуры

и от времени действии нагрузки. Величина неупругих деформаций зависит от «истории» нагружения, т. е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем.

Поскольку у нагруженного стержня (рис. 20) напряженное состояние является однородным, и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях, деформация ε по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине l:

Эта величина называется относительным удлинением стержня. Если бы в стержне (рис. 20) возникало неоднородное напряженное состояние, деформация в сечении А определялась бы путем предельного перехода к малому участку длиной dz и тогда

Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений, но сечению удлинения для всех элементарных отрезков ab(рис. 20), взятых на участке dz, оказываются одинаковыми. Следовательно, если контакты отрезков до нагружения образуют плоскость, то и после нагружения стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется как гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже как следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в

поперечном сечении.

В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов

справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями:

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, ‘называемый модулем упругости первого рода. Модуль упругости является физической константой материала и определяется путем эксперимента. Величина Е измеряется в тех же единицах, что и σ, т. е. в кГ/см². Для наиболее часто применяемых материалов модуль упругости имеет

Закон Гука является приближенным. для некоторых материалов, таких, как, например, сталь, он соблюдается с большой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. В некоторых же случаях наблюдаются заметные отклонения закона Гука. Например, для чугуна в некоторых строительных материалов даже при малых напряжениях закон Гука может быть принят только в грубом приближении. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения

ε=f(σ)

с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной из испытания материала.

Возвратимся к выражению (1.4) и заменим в нем σ на NF , а ε на dzdz

Тогда получим

(1.5)

dz = NdzEF

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Абсолютное удлинение стержня на длине l будет равно

l = ò NdzEF

В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила N=Р не зависит от z. Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного Сечения F, то из выражения (1.5) получаем

При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением σ, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом наложения и деформацию ε рассматривают как сумму силовой деформации и чисто температурой деформации:

ε = σE +α t.

где α - коэффициент температурного расширения материала.

Для однородного стержням, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем, очевидно,

l = EFPl + lα t

Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием к этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и величина 1 практически не зависит от напряжения σ. для стали это имеет место до температуры порядка 300—400°С. При более высоких температурах необходимо учитывать зависимость Е от t.

Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.

§10. Потенциальна энергия деформации

Рассмотрим процесс деформирования упругого тела с энергетической точки зрения.

Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т. е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергии имеет вид

А‘=U + К.

Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статистическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия. В этом случае

А=U,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации.

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры. пружины торсионные валы и др.).

На рис. 25 показан растянутый стержень. для большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе в соответственно отрезку l . внизу показан график изменения силы Р.

Поскольку на пути ‚/ сила Р не остается :постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным ‚участкам пути. На элементарном перемещении d ( l ) работа текущей силы Р будет равна

.dA=Pd( l )

Очевидно, работа на перемещении численно равна площади треугольника ОВС. т е.

U= p2l

2EF

Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам‚dz: (рис. 25). Для элементарного участка

dU= Ν2 dz

2EF

а для всего стержня

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Энергетические соотношения широко используются при определении перемещений в сложных упругих системах. Общие теоремы, относящиеся к этому вопросу, будут рассмотрены в гл.V.

§ 11.Статически определимые и статически неопределимые системы.

Во всех рассмотренных до сих пор задач нормальные силы в поперечных Сечениях стержня определялись при помощи метода сечений из условий равновесия отсеченной части. Но такое определение нормальных сил, да и вообще внутренних сил, в брусе далеко не всегда возможно. На практике постоянно встречаются системы, в которых имеется большое число наложенных связей, и для определения внутренних сил уравнений статики оказывается недостаточно.

Такие системы называются статически неопределимыми.

На рис. 26, а показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней. Усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А. Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 26.б), то усилия в стержнях прежним способом уже определены быть не

могут: для узла А может быть по-прежнему составлено только два уравнения равновесия, а число неизвестных сил равно трем. В таких случаях говорят что система один раз статически неопределима. Усложняя конструкцию дальше и вводя новые стержни, можно получить два раза статически неопределимую систему (рис. 26, в), три раза и т д. На рис. 27 показано еще три системы. Первая из них статически определимая, вторая и третья — один и два раза статически неопределимые Можно сказать, что под n раз статически неопределимой системой понимается такая, в которой число связей превышает число независимых статики на n единиц. Определение всех неизвестных сил или, как говорят раскрытие статической неопределимости, возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей. наложенных на деформируемые системы. и условно называются уравнениями перемещений. Для стержневых систем, показанных на рис. 26, уравнения перемещений должны выразить тот факт, что узел А деформированной системы должен быть общим для вех стержней. В

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

примере, показанном на рис. 27, уравнения перемещений в случае, если брус АВ – жесткий, должны показать, что все нижние концы тяг после нагружения остаются на одной прямой и т. п.

Рассмотрим принципы составления уравнений перемещений на простейших примерах раскрытия статической неопределимости систем.

§ 12. Напряженное и деформированное состояния при растяжении и сжатии

Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим сначала напряжения, возникающие в некоторой наклонной площадке, составляющей угол а с плоскостью нормального сечения (рис. 32).

Полное напряжение р на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечения должна быть ‚направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силе ‚σF, т. е.

ρFα = σF

Fα — площадь косого сечения:

Fα = cosFα

Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке равно ρ = σ cosα

Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 32, в), находим:

Как видим, для одной и той же точки напряженного тела величина возникающих в сечении напряжений оказывается различной в зависимости от ориентации секущей площадки.

При α=0 формулы (1.10) и (1.11) дают напряжения в поперечном сечении

σ α = σ , τ α = 0

При α = 90°, т. е. на продольных площадках. σ = τ α = 0 . Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового. взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных друг с другом параллельных нитей.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Касательное напряжение т имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутого стержня:

σ

τ max= 2

Существенно отметить, что переход от произвольной площадки (а) к площадке (а + 90°) не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения т..

Действительно,

12 σsim2α . = 12σ sin 2(α + 90o )

Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Этому правилу можно дать наглядное толкование. Если выделить из растянутого стержня прямоугольный элемент

ABCD(рис.33, а), то легко заметить, что, независимо от величин нормальных напряжений σ’ и σ”, касательные напряжения τ ’ и τ ” должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты них пар взаимно уравновешивались (рис. 33, б). Для произвольно взятого элемента, имеющего толщину h, очевидно, что

τ ′ ABhAD=τ ′′ AD h AB

или

τ ′ =τ ′′ [‘при этом. как видно из рис. 33, 6, векторы касательных напряжений

в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (ребра А в С), либо от общего ребра (В и D).

Закон парности касательных напряжений в самом общем виде сложного напряженного состояния будет рассмотрен еще раз в гл VII.( §50)

Теперь обратимся к анализу деформаций в растянутом стержне. Опыт показывает, что (в определенных

пределах) удлинение стержня в продольном направлении сопровождается пропорциональным сужением стержня в поперечном направлении (рис. 34). Если обозначить

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ω α = BL cosα + LB′sinα s

IIодставляя выражения длин отрезков BL. и LB’, получим

ωα = σΕ (1+ μ) sinα cosα

Изменяя угол α на 90º, ‘найдем угол поворота отрезка АС:

ω α + 90º= - σΕ (1+ μ)sinα cosα

Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, в следовательно,

γ α =ω α - ωα +90º= σΕ (1+ μ)sin 2α

Составляя выражение с выражением (1.11), выведенным для

напряжения τ α замечаем, что угол сдвига между плоскостями АВ и пропорционален касательному напряжению, возникающему в тех же плоскостях, т. е.

γ α = 2(1+ μ) τ α

Ε

Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс а, напишем последнее выражение в виде

где величина G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода:

Размерность модуля G такая же, как и модуля Е. т. е. кГ/см2.

Таким образом, если закон Гука для растяжения постулируется при помощи соотношений (1.4) и (1.12), то для сдвига он вытекает из них как следствие.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com