18

Для определения σ max надо воспользоваться зависимостью

поперечной нагрузки q(x), W – момент сопротивления поперечного сечения балки при изгибе.

которая перпендикулярна плоскости действия силы поперечного изгиба.

§13.8. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости.

§13.8.1. Теоретические зависимости. Все формулы §§13.2 -. 13.7 справедливы при условии

σ кр £ σ пц .

Рассмотрим случай, когда σ кр ³ σ т , т. е. деформация

стержня происходит в пластической области (см. рис. 13.12).

При нагружении изгибом предварительно сжатого в пластической .области стержня материал стержня ведет себя как разномодульный. Концепция двух модулей была впервые предложена Ф. Ясинским и Энгессером и в дальнейшем развита Т. Карманом.

Для шарнирно опертого стержня, нагруженного сжимающей силой Р (см. рис. 13.12), дифференциальная

зависимость будет

где Bx - жесткость стержня на изгиб. Для диаграммы σ~ε с линейным упрочнением

Bx = Eкар J z

где Екар — модуль Кармана:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

При анализе потери устойчивости стержня за пределами упругости можно считать, что модуль упругости материала, тогда формула (13.49) переходит в

Формулы (13.49) и (13.50) справедливы при условии σ кр ³ σ т . Если

π2Eк < σ т

λ2

то принимаем σ кр = σ т

На рис. 13.14 нанесены обобщенные кривые устойчивости σ кр = f (λ) в упругой и упругопластической

областях.

Зона I — формула Эйлера. Зона II — формулы Кармана; если σ кр < σ т , то σ кр = σ т

Зона III — формула Энгессера—Шенли.

13.8.2. Экспериментальные зависимости. Формула Эйлера дает хорошие результаты при условии, что о Это объясняется тем, что в упругой области σ кр при

заданной гибкости стержня λ зависит только от модуля Е; колебания этой величины для одного и того же материала незначительны.

В упругопластической области σ кр меняется в зависимости от диаграмм σ(ε) при сжатии,

часто отличающихся друг от друга даже для образцов из одной и той же партии. Влияние возмущающих факторов — эксцентриситета нагрузки, начальной погиби, остаточных напряжений от прокатки, сварки, правки и т.д. - неупругой области также оказывается более значительным, чем в упругой. Поэтому при расчете на устойчивость стержней за пределами за пределами упругости часто пользуются методами расчета, основанными на обобщении результатов экспериментальных исследований с помощью статистических методов. Приведем лишь некоторые из них:

. 1. Линейная формула (Ясинский Ф.С.)

В (13.52) постоянные а и β подбираются из условия, чтобы σ кр (λ) по этой формуле

плавно переходила в гиперболу Эйлера (формула 13.22),имея с ней при λ = λпр общую

касательную.

Ранее в отечественных конструкторских бюро для расчетов использовалась приближенная формула

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§14.11. Расчет конструкции на ударную нагрузку

14.11.1.Понятие об явлении удара. Общие сведения. Ранее были рассмотрены задачи, связанные с нахождением частот собственных колебаний, а также вынужденных колебаний упругих систем под действием заданных периодических внешних сил.

Более сложными являются расчеты колебательных процессов под действием внезапно приложенных нагрузок. При ударе возмущающие силы возникают, в результате взаимодействия соударяющихся объектов и могут, быть найдены только из совместного рассмотрения динамической деформации последних.

σ Т = f (V0 ) для предела упругости и текучести в зависимости от скорости нагружения V0 , а

также кривые по затратам энергии на волновой процесс. Расчет процесса удара пригоден для сравнительно небольших скоростей, при которых не возникают значительные пластические деформации в зоне контакта соударяющихся тел, т. е. σ д ≤ σ т . При больших

скоростях удара возникает разрушение материала, пробивание материала в зоне контакта. Как видим, задача о расчете конструкций на ударную нагрузку содержит в себе массу трудностей, которые не всегда могут быть преодолены простейшими средствами.

Сюда относятся в первую очередь анализ напряженного состояния в зоне контакта соударяющихся тел и процесса изменения контактных сил во времени.

Для того чтобы дать полную картину протекания процесса удара, определить перемещения н деформации, необходимо учесть упругие деформации в месте удара н найти их влияние на упруго деформируемое тело.

Существуют различные приближенные приемы расчета конструкций на ударную нагрузку. Это связано с тем, что удается разделить деформацию при ударе на деформации, локализованные вблизи от места соударения тел, и общие, захватывающие весь объем соударяющихся тел. Хотя приближенные приемы не дают высокой точности, но в то же время позволяют правильно оценить порядок перемещений, напряжений я деформации в конструкции при ударе.

Осветим здесь некоторые из приближенных теорий.

14.11.2. Теория Герца. Герцом была создана статическая теория удара упругих тел, пригодная для соударяющихся массивных тел. В ее основу положено предположение, что состояние тел во время удара вблизи зоны контакта, соответствует состоянию равновесия, которое возникло бы в них при статическом сжатия. По этой теории упругие колебания, возникающие при ударе, не рассматриваются. т. е. считается, что вся кинетическая энергия соударяющихся тел, превращается в потенциальную в зоне контакта, а энергия упругих волн при соударении мала. Установлено, что количество энергии, идущей на волновой процесс зависит от отношения начальной скорости соударения тел V0 к скорости распространения упругой волны в материале с и составляет,

например, при соударении со сферой 0,02 Vc0 , а при ударе о толстую плиту 0,05 %.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

По теории Герца, если начальное касание тел осуществляется в одной точке, контактная сила Р в зависимости от сближения тел ‚ определяется по формуле (см.

рис.14.44)

Теория Герца справедлива к идеальным случаям вдавливания тел с заданной поверхностью контакта в предположении, что размер площадки контакта мал по сравнению с другими размерами тела.

14.11.3. Теория удара по стержню с учетом его общей деформации.

Согласно этой теории (Сен-Венан) падающее тело сообщает свою скорость элемент балки, с которым оно вступает в соприкосновении, по крайней мере, в течение полупериода основного тона колебаний (неупругий удар). Примеры взаимодействия груза с балкой

приведены на рис. 14.46; рис. 14.46а, б — продольный удар; рис. 14.36б. поперечный удар рис. 14.46д – крутящий удар.

После вступления груза в соприкосновение со стержнем (балкой) и передачи скорости элементу балки скорость перемещения груза становится равной нулю. В этот момент деформация и напряжения в балке достигают максимальных значений. Балка приходит в движение с постепенным затуханием.

Затем наступает состояние статического равновесия, при котором деформации и напряжения конструкции будут соответствовать статически действующей нагрузке

Q = M гр g

Цель расчета упругой системы на удар состоит в определении именно максимальных деформаций и напряжений, по которым ведется расчет конструкции на прочность.

14.11.4. Приближенный способ определения напряжений и деформации в стержне при ударе.

Энергетический способ является наиболее предпочтительным, когда требуется найти только максимальные значения напряжений и деформаций при ударе.

Решение задачи построим в соответствии с допущениями предыдущего пункта. Сначала рассмотрим случай, когда масса балки m мала по

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

сравнению с массой падающего груза M гр , т. е. M гр >> m . Энергетический баланс составим из условия, что кинетическая энергия К ударяющего груза массой М гр (см. рис. 14.46б)

абсолютное перемещение (укорочение) стержня по направлению действия падающего груза Q = M гр g ) то произведенная им работа будет равна

модуль упругости материала при динамическом нагружении. Опыты показывают, что при скорости падающего груза, значительно меньшей скорости распространения упругой

волны в материале c0 (V0 << c0 )Ε Д = Ε — модулю упругости Е, соответствующему

статическому нагружению конструкции.

Подставляя (14.152) — (14.154) в (14.151), получаем квадратное уравнение

корни, которого равняются

В дальнейшем при определении наибольшей величины абсолютного уменьшения длины стержня D Д от соударяющего груза Q перед радикалом будет удерживаться знак

“+“.

Проанализируем соотношение зависимости (14.156). Выше было установлено, что при скоростях соударения тел V0 << c0 жесткость стержня с не меняется, Q после

перехода кинетической энергии в потенциальную энергию деформации упругой системы будет соответствовать статически действующей силе. Тогда в соответствии с законом

Так как напряжения в соответствии с законом Гука пропорциональны деформациям, то можно записать

σ Д = kσ ст

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Используя известную зависимость для скорости свободного падения V0 = 2gH , выражение для коэффициента к можно представить в виде

Из анализа формулы (14.158) видно, что при внезапном приложении к системе груза Q(H = 0) возникающие в ней деформации и напряжения будут вдвое больше по

сравнению со статическим действием той же силы.

Изложенный приближенный прием определения напряжений и деформаций в упругой системе при ударе справедлив при 2H ≤ 100

Условие прочности при ударе (σ Д )max ≤ [σ ]Д

где [σ ]д — допускаемое нормальное напряжение при ударе.

коэффициент запаса nд = 2 — его значение несколько выше по сравнению с n = 1,4 — 1,6

для статического нагружения конструкции. Это объясняется упрощенностью изложенного способа расчета конструкции на ударную нагрузку.

Формула для нахождения коэффициента динамичности к имеет обобщенный вид, независимо от вида удара — продольного или поперечного. Для того чтобы определить максимальные напряжения и деформации в системах при ударе, надо сначала найти максимальные статические значения ( ст )max и (σ ст )max в ударяемом сечении.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com