Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)
.pdfВідповідь: ребро ВС: |
x |
|
|
y 6 |
|
z 3 |
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ребро DE: |
x 6 |
|
y 30 |
|
z |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||
ребро EF : |
|
x |
|
y 24 |
|
|
|
z |
|
; |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
гребінь BE: |
|
x |
|
y 6 |
|
z 3 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Учимося самостійно розв’язувати завдання
3.23.
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||||||
Складіть |
|
рівняння |
Складіть |
|
|
|
|
рівняння |
Складіть |
рівняння |
|||||||||||
прямої, |
що |
проходить |
прямої, |
що |
|
проходить |
прямої, що |
проходить |
|||||||||||||
через точку M ( 1;2;1) |
через |
точку |
|
M (1; 2;0) |
через точку |
M (1; 2;0) |
|||||||||||||||
паралельно |
вектору |
паралельно |
|
|
|
прямій |
паралельно |
прямій |
|||||||||||||
|
|
2; 3;1 . |
|
|
|
x |
|
y 6 |
|
|
z 3 |
|
|
x y 2z 1 0, |
|
||||||
|
а |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 y z 2 0. |
||||||||
|
|
Скористайтесь рів- |
|
|
|
|
Оскільки |
|
прямі |
Оскільки |
прямі |
||||||||||
|
|
няннями прямої, що |
|
|
|
|
паралельні, |
то |
паралельні, |
то |
|||||||||||
|
|
проходить |
через |
|
|
|
|
напрямний вектор |
напрямний вектор |
||||||||||||
|
|
точку |
паралельно |
|
|
|
|
однієї |
є напрям- |
однієї |
є напрям- |
||||||||||
заданому вектору. |
|
ним вектором іншої прямої. |
ним вектором іншої прямої. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
ІІІ рівень |
|
|||||||||
Складіть параметричні |
Дано вершини трикут- |
Дано вершини трикут- |
|||||||||||||||||||
рівняння |
прямої, |
що |
ника |
A(3;6; 7), B(1;0;1), |
ника A(3;6; 7), B(1;0;1), |
||||||||||||||||
проходить через точки |
|
C( 1; 2;1). |
|
Складіть |
C( 1; 2;1). |
Складіть |
|||||||||||||||
|
M ( 1;2;1) і N (0;1;3). |
параметричні |
рівняння |
параметричні |
рівняння |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
прямої, |
що |
|
|
містить |
середніх |
|
ліній |
||||||||
|
|
|
|
|
|
медіану |
|
|
|
трикутника |
трикутника. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
BM . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Розбийте задачу на |
|
|
|
|
Розбийте задачу на |
Розбийте задачу на |
|||||||||||||
|
|
підзадачі: |
|
|
|
|
|
підзадачі: |
|
|
підзадачі: |
|
|||||||||
1) |
складіть |
кано- |
|
|
|
|
1) |
знайдіть |
коор- |
1) знайдіть коор- |
|||||||||||
|
|
нічні рівняння пря- |
|
|
|
|
динати точки М – |
динати середин |
|||||||||||||
мої, що проходить через дві |
середини відрізка АС; |
|
сторін трикутника АВС; |
||||||||||||||||||
точки; |
|
|
|
2) складіть рівняння пря- |
2) складіть рівняння пря- |
||||||||||||||||
2) запишіть канонічні рів- |
мої, що проходить через дві |
мих, що проходять через |
|||||||||||||||||||
няння цієї прямої. |
|
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дві точки. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
3.25.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Знайдіть |
|
|
|
|
|
|
|
кут |
|
|
|
|
|
між |
Знайдіть |
|
кут |
між |
Знайдіть |
|
кут |
|
|
|
|
між |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2t 1, |
|
прямими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
y 2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 4 z 5 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямими |
y 3t 2, |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x y |
2 z 4 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
y 3 |
|
|
|
z 5 |
|
|
|
z 6t 1 |
|
x 6 y 6z 2 0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
і |
|
|
|
|
|
2x y 4z 2 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0. |
|
|
2x 2 y 9z 1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y 5z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Кут |
|
|
між |
|
|
прямими |
|
Знайдіть |
напрямні |
|
|
|
|
|
Знайдіть |
напрямні |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
визначається кутом |
|
вектори |
заданих |
|
|
|
|
|
вектори |
|
|
заданих |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
між |
|
|
|
|
напрямними |
|
прямих. |
Кут |
між |
|
|
|
|
|
прямих. |
|
Кут |
|
між |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
прямими |
визна- |
|
|
|
|
|
прямими |
|
|
визна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чається |
кутом |
між |
чається |
|
|
|
кутом |
|
|
|
|
між |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напрямними векторами. |
|
напрямними векторами. |
|
|||||||||||||||||||||||||
3.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
З’ясуйте, чи |
|
є прямі |
З’ясуйте, чи |
є прямі |
Знайдіть |
|
|
|
|
|
значення |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3t 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2t 1, |
|
|
|
|
параметра , за якого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y 1 |
|
|
z |
|
|||||||||
y 2 3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
y |
3t 2, |
|
|
|
і |
прямі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 6t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
z 1,5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
3x y 5z 1 0, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y 6 |
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 4z 2 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3y 8z 3 |
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x y 5z |
|
|
перпендикулярні. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярними? |
|
перпендикулярними? |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямі |
|
|
|
перпенди- |
|
Прямі |
перпенди- |
|
|
|
|
|
|
Скориставшись |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кулярні |
|
|
|
тоді й |
|
кулярні |
тоді |
й |
|
|
|
|
|
умовою перпенди- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лише |
тоді, |
коли |
|
лише |
тоді, |
коли |
|
|
|
|
|
кулярності |
|
|
пря- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярні |
|
|
перпендикулярні |
|
|
|
|
|
мих, складіть рів- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
їхні напрямні вектори. |
|
|
|
|
|
їхні напрямні вектори. |
|
|
няння з невідомою . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Доведіть паралельність |
Чи |
|
є |
|
прямі |
Знайдіть, |
при |
|
|
|
яких |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямих |
|
|
x |
|
|
|
y 1 |
|
z |
та |
2x y 2z 5 0, |
|
і |
значеннях |
|
|
|
|
|
|
прямі |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 y |
z |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|||
3x y 5z 1 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x y 3z 1 0, |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2x 3y 8z 3 0. |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y 9z |
|
|
3y |
5z |
8 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
паралельними? |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
паралельні? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
|
|
|
|
|
|
Прямі |
|
паралельні |
Прямі |
паралельні |
|
|
|
Скориставшись |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тоді й лише тоді, |
тоді й лише тоді, |
|
|
|
умовою |
паралель- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
коли колінеарні їхні |
коли колінеарні їхні |
|
|
|
ності |
|
прямих, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
напрямні вектори. |
напрямні вектори. |
|
|
|
складіть рівняння з |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
невідомою . |
|
|
|
|
|
|||
3.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||
Знайдіть |
|
|
|
|
|
точку |
Доведіть, |
що |
пряма |
Знайдіть, при яких |
||||||||||||||||||||
перетину |
|
|
|
|
прямої |
5x 3y 2z 5 0, |
пряма |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
y 1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2x y z 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
лежить |
в |
площині |
|
|
|
||||||||||||||||
|
з площиною |
|
|
|
|
|
|
|
перетинає |
|
площину |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3y 7z 7 0. |
|
|
||||||||||||||||||||
2x 3y z 1 0. |
|
|
|
x ( 1) y z 15 0? |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Розв’яжіть систему |
Переформулюйте |
|
|
|
Переформулюйте |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
рівнянь, що скла- |
задачу: доведіть, що |
|
|
|
задачу: |
за |
|
яких |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дається |
|
|
з |
рівнянь |
система, яка скла- |
|
|
|
значень система, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
прямої та площини. |
дається |
з |
рівнянь |
|
|
|
яка складається |
з |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої та площини, має |
рівнянь прямої та площини, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
безліч розв’язків. |
|
|
має єдиний розв’язок? |
|
|||||||||
3.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|||||||||||
Складіть рівняння пло- |
Знайдіть |
|
проекцію |
Складіть |
|
рівняння |
||||||||||||||||||||||||
щини, |
|
|
що |
проходить |
точки P(2; 1;3) |
на |
перпендикуляра, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
через |
точку |
|
P(2; 1;3) |
x 3t, |
|
|
проведеного |
з |
точки |
|||||||||||||||||||||
перпендикулярно |
пря- |
|
5t |
7, |
|
|
P(2; 1;3) |
на |
пряму |
|||||||||||||||||||||
пряму y |
|
x 3t, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
мій |
x |
|
y 7 |
|
|
z 2 |
. |
|
2t |
2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y 5t |
7, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь тим, |
Проекцією точки Р |
|
|
|
Розбийте задачу на |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
що напрямний век- |
на |
пряму |
є |
точка |
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тор прямої є нор- |
перетину площини, |
|
|
|
1) знайдіть проек- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
мальним вектором |
що |
|
проходить |
|
|
|
цію |
точки |
|
Р |
на |
|||||||||||||
до площини. |
|
|
|
|
|
|
|
через точку Р перпенди- |
пряму; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кулярно прямій, з прямою. |
2) складіть рівняння пря- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мої, що проходить через |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку Р та її проекцію на |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пряму. |
|
|
|
|
|
|
75
3.30.
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Складіть |
рівняння |
пря- |
Знайдіть |
|
проекцію |
Знайдіть |
точку |
|
|
|
Р0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мої, що проходить через |
точки P( 5;1;0) на |
симетричну |
|
|
|
|
|
|
|
|
точці |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точку P(1;3; 4) перпен- |
площину 3x y 2z 0. |
|
P( 5;1;0) |
|
|
|
|
|
|
|
відносно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дикулярно до площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3x y 2z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y 2z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
Проекція |
точки |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
Розбийте задачу на |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
тим, що нормаль- |
|
|
|
на площину |
|
– |
це |
|
|
|
|
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ний вектор площи- |
|
|
|
точка |
|
|
перетину |
|
|
|
|
|
1) |
знайдіть |
|
|
|
О |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ни |
|
є напрямним |
|
|
|
прямої, що прохо- |
|
|
|
|
|
|
|
проекцію точки Р |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектором прямої. |
|
дить через точку Р перпен- |
на площину; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дикулярно |
|
з |
|
|
|
цією |
2) |
|
знайдіть |
|
координати |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площиною |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки Р0 |
за умови, що О |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
середина відрізка РР0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Знайдіть |
відстань |
між |
Знайдіть відстань від |
Знайдіть відстань між |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
паралельними прямими |
точки |
|
P( 5;1;0) |
|
|
до |
мимобіжними прямими |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y 7 |
|
z 2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
y |
z 2 |
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|
y 4 |
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
прямої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
||||||||
|
3 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
y |
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
y 5 |
|
|
|
z 2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
Знайдіть |
будь-яку |
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть |
|
будь-яку |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
формулою відстані |
|
|
|
|
точку |
M 0 , |
|
що |
|
|
|
|
|
|
|
точку |
|
|
|
|
|
M1 , |
|
|
|
що |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
між |
паралельними |
|
|
|
|
належить |
|
|
|
цій |
|
|
|
|
|
|
|
належить |
|
|
першій |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
прямими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямій, |
|
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
прямій та M 2 , що |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напрямний |
вектор |
|
|
а |
|
належить іншій прямій. Якщо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої. |
|
У |
такому |
разі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1, |
а2 напрямні |
|
|
вектори |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відстань |
|
від |
точки |
|
Р |
до |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цих прямих, то відстань між |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої |
|
дорівнює |
|
|
висоті |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямими |
|
дорівнює |
висоті |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
паралелограма, |
|
|
|
|
|
|
що |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
паралелепіпеда, побудованого |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
побудований на векторах а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
векторах |
а1, |
а2 , М1М2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та M0 Р (рис.3.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис.3.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.4. Відстань від точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до прямої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.5. Відстань між |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мимобіжними прямими |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учимося застосовувати ППЗ Gran-3D для знаходження відстані
між прямою і площиною
3.32. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник. Бічні скати покрівлі ABEF та BCDE мають рівний ухил і задані координатами своїх вершин Знайдіть
відстань від гребня до прямокутника, що створено звисами.
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно ППЗ Gran-3D.
2.Побудуйте зображення площин ABEF та BCDE за допомогою опції
Об’єкт-Створення-Площина-Три точки за координатами відповідних точок А (– 6; 0; 0), В(0; 6; 3), Е(0; 24; 3); С (6; 0; 0).
3. За допомогою опції Обчислення-Відстань-Між прямою і площиною, за відповідними запитами програми, послідовно вкажіть у полі програми об’єкти площин ABEF та BCDE. У полі звіту з’явиться результат обчислення відстані між прямою і площиною.
Як пов’язані криві другого порядку з інженерною практикою
Механізм (антипаралельний кривошип) складається з чотирьох попарно рівних ланок АВ = СD й АD = ВС, шарнірно з'єднаних між собою, як показано на рисунку 4.1. Ланку АВ закріплено нерухомо, а ланки АD й ВС обертаються навколо центрів А і В. Виникає необхідність визначення траєкторії руху точки М (х;у) перетину малих ланок.
Оберемо систему координат так, щоб вісь Ох пройшла через точки А і В, а вісь Оу – через середину відрізку АВ. Легко побачити, що різниця відстаней до точки М від точок А і В є величина постійною, рівною довжині малої ланки. Позначаючи цю довжину через 2а, а довжину ланки
АВ |
через |
2с, |
будемо |
мати AM BM 2a , |
або |
||
|
|
|
|
2a . |
|
|
|
|
x c 2 y2 |
x c 2 y2 |
|
|
77
Рис. 4.1. Схема механізму (антипаралельний кривошип)
Спрощуючи це рівняння, одержимо, що точка М рухається по дузі кривої, що називається гіперболою.
Оскільки найчастіше траєкторія руху різних механізмів чи каркаси металевих споруд мають вигляд ліній, що називаються кривими другого порядку, з’ясуємо, які можливості є для задання їхніх рівнянь.
|
Складаємо опорний конспект |
||
|
|
|
|
|
Криві другого порядку |
|
|
Множину точок площини, координати |
|
|
|
яких задовольняють рівняння |
|
|
|
ax2 by2 cxy dx ey f 0 , де хоча б |
|
|
|
одне з чисел a, b, c відмінне від нуля, |
|
|
|
називають |
|
… |
|
Колом називають множину точок |
|
|
|
площини, відстані від яких до заданої |
задана точка площини |
||
точки цієї ж площини дорівнюють |
називається… |
, |
|
сталому числу, де |
а стале число – |
… |
|
Рівняння |
x a 2 y b 2 R2 |
|
|
описує коло (рис. 4.2) |
|
|
|
|
|
з радіусом…, центр якого |
|
|
|
міститься в точці … |
|
|
Рис. 4.2. Коло |
|
|
|
78 |
|
|
У разі, коли центр кола – початок координат (рис. 4.3), рівняння кола набуває канонічного вигляду
...2 ...2 ...2
Рис. 4.3. Коло, центр якого співпадає з початком координат
|
|
|
|
|
|
Еліпс |
|
|
|
|
|
|
|
Множину всіх точок площини, сума |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
відстаней від яких до двох цих точок |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
площини (фокусів) є величина стала і |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
більша, ніж відстань між фокусами, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|||
Канонічне рівняння еліпса (рис. 4.4) має |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 |
|
...2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 |
...2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
де величини 2 a та 2 b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
називають відповідно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 с – |
… |
|||
Рис. 4.4. Зображення еліпса |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Міру відхилення еліпса від кола |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
характеризує величина, яку називають |
|
|
... |
, де 0 |
1 |
||||||||
ексцентриситетом еліпса й обчислюють |
|
... |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Прямі x |
a |
, або |
x |
a 2 |
|
називають |
|
|
… еліпса |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Гіпербола |
|
|
|
|
|
|
|
Множину всіх точок площини, модуль |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
різниці відстаней від яких до двох |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
фіксованих цієї площини (фокусів) є |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
величина стала і менша, ніж відстань |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
між фокусами, називають |
|
|
|
|
|
… |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|
Канонічне рівняння гіперболи (рис. 4.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 |
|
...2 |
1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 |
|
...2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
де величини 2 a та 2 b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
називають відповідно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 с – |
… |
||||
Рис. 4.5. Зображення гіперболи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Відношення |
|
фокальної |
|
відстані |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гіперболи до довжини |
її |
дійсної осі |
|
|
... |
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
називають ексцентриситетом гіперболи, |
|
|
, де |
|||||||||||
|
... |
|
||||||||||||
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямі x |
a |
, де |
а – |
дійсна |
піввісь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
… |
гіперболи |
||||||
гіперболи, називають |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Парабола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Множину |
всіх |
точок |
площини, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
рівновіддалених |
від |
даної |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(фокуса) і |
даної |
прямої |
(директриси) |
|
|
|
|
… |
|
|||||
називають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонічне рівняння параболи (рис. 4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 2 px ,
де величина p– …
Рис. 4.6. Зображення параболи |
|
Пряма x P , де p дорівнює відстані |
|
2 |
|
між фокусом і параболою, називають |
… параболи |
80
Перевіряємо готовність до практичного заняття
4.1. Рівняння кола з центром в точці 4; |
5 і радіусом R 5 має вигляд: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
x 4 2 y 5 2 5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
x 4 2 y 5 2 25 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
x 4 2 y 5 2 25 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
x 4 2 y 5 2 5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
x 4 2 y 5 2 25 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння |
кола з |
|
центром |
в точці |
О(a;b) і радіусом |
R має вигляд |
||||||
x a 2 y b 2 R2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.2. Знайдіть радіус R та координати центра О кола x 1 2 |
y 3 2 10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
Б |
|
|
|
|
В |
Г |
|
Д |
|||
R 10, |
|
|
|
|
|
R 5, |
|
|
|
|
R 10, |
|
R |
10, |
|
R 10, |
|
||||||||
O( 1;3) |
O( 1;3) |
O( 1;3) |
O(1; 3) |
|
O(1; 3) |
Використовуйте підказку до задачі 4.1.
4.3. З наведених рівнянь оберіть те, яке є канонічним рівнянням еліпса.
|
|
А |
|
|
|
Б |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
Д |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
x |
|
y |
1 |
|
x |
|
|
y |
1 |
|
x |
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
0 |
|
x |
|
y |
0 |
||
|
2 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
3 |
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
Канонічне рівняння еліпса має вигляд |
|
x2 |
|
|
y2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. З наведених рівнянь оберіть те, яке є канонічним рівнянням гіперболи.
|
|
А |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
Д |
|||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
x |
y2 |
1 |
|
x |
|
|
y |
1 |
|
x |
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
0 |
|
|
x |
|
y |
0 |
||
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд |
x2 |
|
y2 |
1, або |
x2 |
|
y2 |
|
1. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.5. З наведених рівнянь оберіть те, яке є рівнянням параболи.
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
Б |
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y2 1 |
|
x |
|
y 1 |
x2 |
y |
|
|
x2 8y2 |
|
|
x2 y2 0 |
||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Канонічне рівняння параболи має вигляд y2 2 px, або x2 |
2 py. |
||||||||||||||||||||
4.6. Знайдіть значення малої та великої осей еліпса |
x2 |
|
y2 |
1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
Б |
В |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 та 2 |
2 3 та 4 |
3 та 4 |
|
3 та 2 |
|
2 3 та 4 |
Величини 2а та 2b називають малою та великою осями еліпса.
4.7. Знайдіть фокальну відстань еліпса |
x2 |
|
y2 |
1. |
|
|
||||
4 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
|
Б |
В |
|
|
|
|
Г |
|
Д |
2 |
|
1 |
7 |
|
|
|
|
14 |
інша |
|
|
|
|
|
|
відповідь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо |
a, b велика та мала півосі еліпса, |
то |
с2 a2 |
b2 . Фокальна відстань |
||||||
дорівнює 2с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.8. Відстань між фокусами еліпса дорівнює 8, а велика й мала півосі
дорівнюють |
відповідно |
a 5, b 3. |
Чому |
дорівнює |
ексцентриситет |
|||||||
еліпса? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
Б |
|
В |
|
|
Г |
|
Д |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
8 |
|
|
4 |
|
5 |
|
8 |
|
8 |
5 |
|
5 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ексцентриситетом еліпса називається величина ас .
4.9. Дійсна та уявна півосі гіперболи |
|
x2 |
|
y2 |
1 відповідно дорівнюють: |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|
||
А |
Б |
|
В |
|
|
|
Г |
Д |
|
4 та 2 |
16 та 4 |
8 та 2 |
|
2 та 4 |
2 та 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82