Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)
.pdfВідповідь: |
x 0,2 |
|
y 4,8 |
|
z |
; |
1 |
|
|
||||
|
7 |
5 |
|
x 0,2 t
y 4,8 7t
.z 5t
3.16. |
|
|
Задано |
вершини |
трикутника |
|
|
A(3; 1; 1), B(1;2; 7), C( 5;14; 3) . |
|||||||||||||||||
Складіть канонічні рівняння медіани AP . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Крок 1.Знайдіть координати точки P , яка ділить сторону BC навпіл. |
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
y |
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
... ... |
|
|
|
|
|
|
P( ... ; ... ; ... ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координати |
|
точки |
M x, y, z , яка |
ділить |
відрізок |
A1 A2 |
навпіл, де |
|||||||||||||
A (x , y , z ), A (x , y , z |
) , знаходять за формулами: x |
x1 |
x2 |
, y |
y1 y2 |
, z |
z1 z2 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Крок 2. Знайдіть рівняння медіани |
AP . Застосуйте рівняння прямої, |
|||||||||||||||||||||
яка проходить через дві відомі точки A(3; 1; 1) |
і P( 2;8; 5) |
та запишіть |
його в канонічному вигляді.
Рівняння прямої, |
що проходить через дві точки M1 x1, y1, z1 |
і M2 x2 , y2 , z2 , |
||||||||||||||
має вигляд |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
x |
|
z |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку |
M0 x0 , y0 , z0 з |
|||||||||||||||
напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
Відповідь: |
x 3 |
|
y 1 |
|
|
z 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.17. Задано площину |
x y z 1 0 і пряму |
|
x 1 |
|
y |
|
|
z 1 |
. |
Знайдіть |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
||||||
координати точки перетину прямої і площини. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Крок |
1. |
|
Запишіть рівняння прямої |
x 1 |
|
y |
|
|
z 1 |
|
у |
вигляді |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
параметричних рівнянь. Для цього прирівнюємо до t |
кожне з цих трьох |
|||||||||||||||||||||
відношень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
y |
z 1 |
|
|
x |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t; |
2 t; |
1 |
|
t |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
Параметричні рівняння |
прямої, що проходить через |
точку M0 x0 , y0 , z0 |
||
|
x x0 l t |
|
||
паралельно вектору a l; m; n |
|
0 |
|
, де t ; |
у просторі, мають вигляд y y |
|
m t |
||
|
|
|
n t |
|
|
z z0 |
|
– довільний параметр.
Крок 2. Для знаходження точки перетину площини x y z 1 0 і
прямої |
x 1 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
y
2
|
|
|
|
x y z 1 0 |
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||
|
|
, |
розв’яжіть систему: |
|
. Для цього |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
y 2t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z t |
|
підставте x, y, z у рівняння площини.
64
Для знаходження точки перетину прямої і площини, заданих рівняннями
|
x x0 |
|
|
y y0 |
|
z z0 |
, |
A x B y C z D 0 відповідно, потрібно розв’язати систему |
|||||
|
l |
|
m |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A x B y C z D 0, |
|
||||||||||
рівнянь x x |
|
y y |
|
z z |
0 |
. |
|||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
m |
|
n |
|
|
Отже, значення параметра t , при якому перетинаються пряма і
площина, є t 13 .
Крок 3. Знайдіть координати точки перетину, для цього обчисліть x, y, z при t 13 .
x y z
Якщо пряма і площина перетинаються, то існує єдина точка перетину, якій відповідає єдине значення параметра.
|
2 |
; |
2 |
|
Відповідь: 1; |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
3 |
|
3 |
|
3.18 Знайдіть |
проекцію |
P0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
точки P( 1;3;2) на |
площину |
x 2y 5z 27 0. |
|
|
|
|
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
Крок 1. |
Знайдіть |
координати |
нормального вектора |
площини |
x 2y 5z 27 0. n
Скористайтесь |
означенням загального рівняння площини: загальне рівняння |
площини має вигляд |
Ax By Cz D 0 , де A; B,C – координати вектора n , |
перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини.
65
Крок 2. Вектор |
n 1; 2;5 перпендикулярний до |
площини |
|
x 2y 5z 27 0, буде |
напрямним вектором |
прямої |
PP0 , яка |
перпендикулярна цій площині. Складіть канонічні |
рівняння прямої, що |
||
проходить через точку P( 1;3;2) з напрямним вектором s n |
1; 2;5 . |
|
|
|
Канонічні рівняння прямої, яка проходить через |
точку |
M0 x0 , y0 , z0 з |
||||||||||
напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
Крок |
3. |
Знайдіть |
координати точки |
перетину прямої |
||||||||
|
x 1 |
|
y 3 |
|
|
z 2 |
і площини |
x 2y 5z 27 0 . Ця точка і є проекцією |
|||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
точки |
|
P( 1;3;2) на площину |
x 2y 5z 27 0 . Для цього переведіть |
рівняння прямої з канонічних до параметричних та розв’яжіть систему рівнянь, яка поєднує рівняння площини й параметричні рівняння прямої.
|
x 1 |
t; |
y 3 |
t; |
z 2 |
t. |
||
|
|
2 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
5 |
|
|||
x 2 y 5z 27 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
P0 ( ... ; ... ; ... ) |
Проєкція P0 (x0 ; y0 ; z0 ) точки P(x; y; z) на площину Ax By Cz D 0 є основа перепендикуляра PP0 , що проведений із точки P(x; y; z) до площини.
66
Рис. 3.2. Рисунок до задачі 3.18.
Відповідь: P0 ( 2;5; 3)
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
|||
3.19. Знайдіть проекцію P0 |
точки P 1;2; |
|
на пряму |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Крок 1. Скористайтесь тим, що точка |
P0 |
є точкою перетину цієї |
||||||||||||||||||
прямої з перпендикулярною їй площиною. Знайдіть напрямний вектор |
s |
|||||||||||||||||||
прямої |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
та оберіть його у якості нормального вектора |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площини, яка |
проходить |
через точку |
P 1;2; |
|
перпендикулярно цій |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямій. Запишіть рівняння площини.
n s
|
|
Скористайтесь означенням канонічних рівнянь прямої, що проходить через |
|||||
точку |
M0 x0 , y0 , z0 з напрямним |
вектором a l; m; n , які у просторі мають вигляд |
|||||
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
l |
|
m |
|
n |
|
67
Рівняння площини, яка проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) з нормальним вектором n A; B;C , має вигляд A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .
|
|
Крок |
2. |
Знайдіть |
координати точки перетину прямої |
||
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
і площини |
x 2z 2 0. Скористайтесь методом, який |
|
1 |
|
|
|
||||
0 |
2 |
|
|
був описаний у попередніх задачах.
x 2z 2 0x
yz
t |
P0 ( ... ; ... ; ... ) |
|
Для знаходження точки перетину прямої і площини, заданих рівняннями |
|||||
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
, A x B y C z D 0 відповідно, потрібно розв’язати систему |
|
l |
m |
n |
||||
|
|
|
|
A x B y C z D 0, |
|
||||||
рівнянь |
|
|
|
y y |
|
z z |
|
. |
x x |
|
|
0 |
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
l |
m |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Відповідь: P0 (0; 2;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.20. Знайдіть кут між прямими |
x 2 |
|
y 3 |
|
|
z 1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
||||||
|
|
|
Хід розв’язання.
x 3t 2y t 4
і .
z 2t 1
Крок 1.Скористайтесь тим, що кут між прямими дорівнює куту між їх напрямними векторами. Запишіть координати напрямних векторів цих прямих, враховуючи, що перша пряма задана канонічними рівняннями, а друга – параметричними.
a1 a2
68
Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку |
M0 x0 |
, y0 , z0 |
з |
|||||||
напрямним вектором a l; m; n у просторі, мають вигляд |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
l |
|
m |
|
|
n |
|
|
|
Параметричні рівняння прямої, що проходить |
через |
точку |
|
M0 |
x0 , y0 |
, z0 |
||||
|
|
x x0 l t |
|
|
|
|
|
|
||
паралельно вектору a l; m; n у просторі, мають вигляд |
y y |
m t |
, |
де t ; |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n t |
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
– довільний параметр.
Крок 2. Знайдіть скалярний добуток a1 a2 , та модулі векторів a1 , a2 .
a1 a2
a1
a2
|
Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які |
|||||||
задано |
своїми |
координатами: |
якщо |
|
ax ; ay ; az , |
|
bx ; by ; bz , |
то |
a |
b |
a b ax bx ay by az bz .
Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :
a ax2 ay2 az2 .
Крок 3. Знайдіть косинус кута між векторами a1 і a2 .
cos
|
Скористайтесь тим, що кут між прямими l1 |
і l2 |
у просторі, знаходять, як кут між |
|||||||||||||||||||||||
їх напрямними векторами |
1 |
|
1 |
1 1 |
та |
|
2 |
|
2 |
2 2 |
|
, і обчислюють за формулою |
||||||||||||||
a |
|
l ; m ; n |
a |
l ; m ; n |
|
|
||||||||||||||||||||
cos |
a1 |
|
|
|
a2 |
|
|
l1 l2 |
|
m1 m2 |
|
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a1 |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l2 m2 n2 |
l2 |
m2 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Відповідь: cos |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.21. |
Знайдіть |
кут |
між прямою |
x 4 |
|
y 5 |
|
z 2 |
і |
площиною |
|||||||||
|
|
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
||
2x 5y z 3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Крок |
1. |
|
Запишіть координати |
напрямного |
вектора |
a прямої |
|||||||||||
|
x 4 |
|
y 5 |
|
z 2 |
|
і нормального вектора n |
площини 2x 5y z 3 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n
Скористайтесь означенням канонічних рівнянь прямої у просторі: канонічні
рівняння |
прямої у просторі мають |
вигляд |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
, де M |
|
x |
, y , z |
|
|
|
|
– |
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
m |
|
n |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точка, яка належить прямій, a l; m; n – напрямний вектор прямої. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Скористайтесь означенням загального рівняння площини: загальне рівняння |
|||||||||||||||||||||||||||
площини |
має вигляд |
Ax By Cz D 0 , де |
A; B,C – координати |
|
вектора |
|
n , |
|||||||||||||||||||||||||
перпендикулярного до прямої, тобто нормального вектора площини. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Крок 2. Знайдіть скалярний добуток a n та модулі векторів |
|
a |
|
, |
|
n |
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Скористайтесь формулою для обчислення скалярного добутку векторів, які |
|||||||||||||||||||||||||||
задано |
своїми |
координатами: |
якщо |
|
|
|
ax ; ay ; az , |
|
bx ; by ; bz , |
|
|
|
|
то |
||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
|
|
|
|
a b ax bx ay by az bz .
70
Скористайтесь формулою для знаходження модуля вектора a ax ; ay ; az :
a ax2 ay2 az2 .
Крок 3. Знайдіть синус кута між векторами a і n .
sin
Якщо пряма і площина задані рівняннями |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
, |
|
l |
m |
n |
|||||
|
|
|
|
A x B y C z D 0, то кут між ними визначають через кут між нормальним вектором
площини n A; B; C і напрямним вектором прямої |
a l; m; n та обчислюють за |
|||||||||||||
формулою sin |
|
|
|
|
|
A l B m C n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
B2 C2 l2 m2 n2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Відповідь: sin |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
195 |
|
|
|
|
|
|
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
3.22. Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник, сторони якого рівні 12 і 30 м. Скати покрівлі мають рівний ухил, що дорівнює 12 .
Вибравши систему координат, як показано на рисунку 3.3, складіть рівняння ребер і гребня, запишіть рівняння ребер і гребня в канонічній формі.
Рис. 3.3. Схема чотирьохскатного даху цеху
71
Хід розв'язання.
Крок 1. Звиси даху – це відрізки прямих AC, CD, DF, AF; гребінь – відрізок прямої ВЕ; кут нахилу ската – кут , що створений прямою скату ВК та її горизонтальною проекцією. З’ясуйте, чому дорівнює ухил скату та координати точок А, С, D, F в обраній системі координат.
tg ...... 12 ; А(...; ...; ...); С(...; ...; ...); D(...; ...; ...); F (...; ...; ...);
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
... |
|
1 |
|
||
zB BO ... tg |
... |
|
|
...; |
yB OO |
|
... |
|
|
... . |
||||
2 |
tg |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для знаходження ухилу скату застосовуйте співвідношення у прямокутному |
||||||||||||||
ВО / К , |
тобто tg |
|
BO |
. Враховуйте, що точка О збігається з початком координат і |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
O K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
належить |
відрізку АС : АО ОС . |
Координати (ординати, аплікати) |
точок В і Е |
знаходьте зі співвідношень у прямокутному трикутнику.
Крок 2. З’ясуємо рівняння ребер АВ, ВС, DE, EF й гребня ВЕ.
y 2z 0,
ребро АВ :
... x ... у ... z 6 0,
... х ... y ...z ... 0,
ребро ВС :
x 2z 6 0,
... х ... y ...z ... 0,
ребро DE :
... х ... y ...z ... 0,
... х ... y ...z ... 0,
ребро EF :
... х ... y ...z ... 0,
|
x ... |
|
|
y ... |
|
|
z ... |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
... |
... |
... |
|
||||||||
|
x ... |
|
y ... |
|
z ... |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
... |
... |
... |
|
x ... y ... z ...
... ... ...
x ... y ... z ...
... ... ...
|
|
y |
z |
0, |
|
x ... |
|
y ... |
|
z ... |
|
... х ... |
|
|
|
|
|
|
|||
гребінь BE : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
... х ... |
y ... |
z ... |
0, |
|
... |
|
... |
|
... |
Ребра АВ, ВС, DE, EF й гребінь ВЕ є лініями перетину відповідних площин
A x B y C z D 0, |
|
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
З загальних рівнянь прямих отримайте їхні канонічні |
A2 x B2 y C2 z D2 0. |
|
рівняння.
72