Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)
.pdfумову, що сума осей еліпса дорівнює 16, запишіть систему рівнянь для визначення невідомих півосей еліпса. Розв’яжіть отриману систему. За отриманими значеннями a і b запишіть канонічне рівняння еліпса.
c
с2 a2 b2 |
|
a2 b2 ... |
||||
|
2 |
b |
2 |
... |
|
|
a |
|
|
|
|
||
... ... 16 |
|
|
||||
a ... |
|
|
b ... |
|||
|
Для |
|
розв’язку |
системи скористайтесь для першого рівняння формулою |
||
a2 b2 |
(a b)(a b) . |
Після цього отриману систему двох лінійних рівнянь із двома |
||||
невідомими розв’яжіть будь-яким відомим вам методом. |
Крок 6. З умови 2с 6 знайдіть значення с половини відстані між фокусами. З означення ексцентриситету знайдіть значення a великої півосі еліпса. Знайдіть значення b – малої півосі еліпса та запишіть його канонічне рівняння (див. крок 3).
с |
|
0,6; |
a |
... |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
b ...2 ...2 |
|
|
|
|
||||
x2 |
|
y2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
... ... |
|
|
|
|
|
Ексцентриситетом еліпса називається відношення aс .
Відповідь: 1). |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
1; 2). |
|
x2 |
|
y2 |
1; 3). |
|
x2 |
|
y2 |
1; |
4). |
x2 |
|
y2 |
1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
16 |
9 |
|
|
36 |
20 |
|
100 |
19 |
|
|
64 |
16 |
|
|||||||||||
5). |
|
x2 |
|
y2 |
|
1; 6). |
x2 |
|
y2 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
25 |
9 |
|
|
25 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.22. Написати рівняння траєкторії точки M (x, y) , якщо точка M у двічі ближча до точки A(0; 1) , ніж до прямої y 2 .
93
Хід розв’язання.
Крок 1.Знайдіть відстань AM та відстань d від точки M (x, y) до прямої y 2 0 .
AM |
|
|
|
|
|||
d |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
... |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь тим, що коли A1 (x1; y1 ), A2 (x2 ; y2 ) , то відстань між точками A1 |
та |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
обчислюється за формулою |
A A |
(x x )2 |
( y |
y )2 . |
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
Відстань від |
точки M0 (x0 , y0 ) до прямої |
Ax By C 0 обчислюється |
за |
||||||||||||
формулою d |
|
Ax0 By0 C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крок 2. За умовою задачі d 2 AM . Запишіть відповідну рівність. Піднесіть обидві частини цієї рівності до квадрата та спростіть її.
y 2 2 x2 ( y 1)2
4x2 3y2 4 y 0
Перетворення здійснюйте за допомогою формули скороченого добутку
a b 2 a2 2ab b2 .
Крок 3. Згрупуйте доданки, які містять тільки y та доповніть їх до повних квадратів.
4x2 3 ( y2 43 y) ...
94
Перетворення здійснюйте за допомогою формул скороченого добутку a2 2ab b2 a b 2 .
При |
виділенні |
повного |
x2 px q x2 2 2p x q x2 2 2p x
квадрату
p2 p2 q x 4 4
скористуйтесь схемою
p 2 |
|
p2 |
|
|
|
|
q |
|
. |
|
|
|||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x )2 |
( y y )2 |
|
|||||
|
Крок 4.Запишіть отримане рівняння у вигляді |
0 |
|
|
0 |
1. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зробіть висновки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x ...)2 |
|
( y ...)2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
...2 |
...2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
; |
|
|
|
b |
|
|
; x0 |
; y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(x x )2 |
( y y )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рівняння |
0 |
|
|
|
0 |
1 описує еліпс |
із півосями |
a,b , центр якого |
|||||||||||||||
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаходиться в точці C(x0 ; y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
( y |
|
2 |
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
Відповідь: |
|
|
|
3 |
1, еліпс із півосями |
a |
, b |
, |
центр якого |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
3 |
3 |
3 9
знаходиться в точці C(0; 23) .
4.23. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої розміщено на осі абсцис, симетрично початку координат, якщо:
1)її осі 2a 14 і 2b 10 ;
2)відстань між фокусами 2c 10, а вісь 2b 8;
3)відстань між фокусами 2с 6 , а ексцентриситет 1,5 ;
4)рівняння асимптот y 43 x , а відстань між фокусами 2с 20 .
Хід розв’язання. |
|
|
|
|
Крок 1. З умови |
2a 14 та 2b 10 |
знайдіть |
значення |
a дійсній |
півосі та b уявної |
півосі гіперболи. |
Запишіть |
канонічне |
рівняння |
гіперболи з відомими a та b .
95
a |
b |
x2 y2 1
... ...
Канонічне рівняння гіперболи має вигляд |
x2 |
|
y2 |
1, де величини a |
та b |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
називають відповідно дійсна та уявна півосі.
Крок 2. З умови 2c 10 та 2b 8 знайдіть значення с половини відстані між фокусами та b уявну піввісь гіперболи. Зі співвідношення між a,b та с , установіть значення a дійсної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.
c ... |
|
|
b ... |
||
|
|
|
|
|
|
a |
...2 ...2 |
||||
x2 |
|
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
... ... |
|
|
|
Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис,
симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд |
x2 |
|
y2 |
1, де |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 .
Крок 3. З умови 2с 6 установіть значення с половини відстані між фокусами. Використовуючи означення ексцентриситету гіперболи, знайдіть значення a дійсної півосі. За відомими значеннями a і с , використовуючи співвідношення між a,b та с , установіть значення b уявної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.
с |
|
|
|
... |
|
|||
|
1,5; |
a ... |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
b ...2 ...2 |
|
|||||||
|
|
|
||||||
x2 |
|
y2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
... ... |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
96 |
|
|
Ексцентриситетом гіперболи називається відношення aс .
Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис,
симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд |
x2 |
|
y2 |
1, де |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 .
Крок 4. З умови 2с 20 знайдіть значення c половини відстані між фокусами. Використовуючи означення рівняння асимптот гіперболи та співвідношення між a,b та с , установіть значення a дійсної півосі гіперболи. Запишіть відповідне канонічне рівняння гіперболи.
с
|
|
|
|
|
b |
|
4 |
|
4 |
|
...2 a2 |
|
b |
c2 a2 |
...2 a2 |
||||||||||
|
a |
|
3 |
|
3 |
|
a |
a |
b |
x2 y2 1
... ...
Прямі y |
b |
x називаються асимптотами гіперболи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скористайтеся тим, що коли фокуси гіперболи розташовано на осі абсцис, |
|||||||||||||||||||||||
симетрично початку координат, то канонічне рівняння гіперболи має вигляд |
x2 |
|
y2 |
1, де |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|||
величини a та b називають відповідно дійсна та уявна півосі і b2 c2 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Відповідь: 1) |
x2 |
|
|
y2 |
1; 2) |
x2 |
|
y2 |
1; 3) |
x2 |
|
y2 |
1; |
4) |
x2 |
|
y2 |
1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
49 |
|
25 |
|
9 |
16 |
|
4 |
5 |
|
36 |
|
64 |
|
|
|
4.24.Складіть канонічне рівняння параболи, якщо:
1)відстань від фокуса, що лежить на осі Ox , до вершини дорівнює 4;
2)відстань від фокуса, розміщеного на осі Oy до директриси
дорівнює 6; 3) парабола симетрична осі абсцис і проходить через точку
M (1;2) .
97
Хід розв’язання.
Крок 1. Скористайтеся канонічним рівнянням параболи. Відомо, що відстань фокуса, що лежить на осі Ox , до вершини дорівнює 4. Тобто фокус параболи знаходиться в точці F(4;0) . Знайдіть параметр p
параболи та запишіть її канонічне рівняння.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
2 |
2 px , |
||
Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці F |
|
|
; 0 має вигляд |
|
y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
де p параметр параболи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Крок 2. Так як фокус параболи розміщено на осі Oy , то її директриса |
|||||||||||||||||||
має рівняння y |
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, а фокус F 0; |
|
. Тому, так як відстань від фокуса до |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
директриси дорівнює 6, |
то це і є параметр параболи |
p , що |
дозволяє |
||||||||||||||||
записати її канонічне рівняння. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 2 py |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пряма y |
p |
, |
де p параметр параболи, з фокусом на осі Oy , називається |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
директрисою параболи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
2 py , |
|||
Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці F 0; |
|
має вигляд |
x |
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
де p параметр параболи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Крок 3. Через те, що парабола симетрична осі абсцис, то її фокус |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 px . |
||
знаходиться в точці |
F |
|
|
;0 |
і канонічне рівняння має вигляд |
y |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставте координати точки M у рівняння параболи та |
знайдіть параметр |
||||||||||||||||||
p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 2 p ... |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 ..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо точка M (x; y) |
належить кривій, то її координати задовольняють рівняння |
|||||||||
кривої. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонічне рівняння параболи з фокусом у точці |
p |
|
|
має вигляд |
y |
2 |
2 px , |
|||
F |
|
; 0 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
де p параметр параболи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: 1) y2 16x ; 2) x2 |
12 y ; 3) y2 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
4.25. З’єднали під прямим кутом дві циліндричні труби радіуса 5 см. Визначте вид кривої у площині перерізу, якщо відомо, що при зварюванні вийшло необхідне коліно.
Хід розв'язання.
Крок 1. Скористаємося прийомом, що застосовується під час виготовлення колінчатих труб.
Накреслимо півколо радіуса 5 см і приймемо його діаметр за вісь абсцис Ox1 , а центр O – за початок координат. На відрізку, рівному випрямленій довжині півкола, побудуємо півхвилю синусоїди з амплітудою 5 см й півпериметром 5 . Виріжемо фігуру, обмежену синусоїдою й випрямленим півколом, і сполучимо основу цієї фігури, поставивши її вертикально, з півколом. Синусоїда (півколо) займе положення AВМA1 (рис. 4.7).
99
Рис. 4.7. Схема з’єднання під прямим кутом двох циліндричних труб
Крок 2. Складіть рівняння лінії (коло) AВМA1 . Для цього знайдіть значення x1 і y1 для рівняння x12 y12 R2 .
Оберіть площину, у якій лежить крива AВМA1 , за нову координатну площину хОy. Система координат хОу може бути отримана з раніше уведеної системи
x1Oy1 поворотом останньої навколо осі Ox1 |
на кут 45 . Для з’ясування значення y1 |
|||||
скористайтесь співвідношеннями для прямокутного трикутника. |
|
|
|
|||
Крок 3. Підставте значення |
x |
і y |
у рівняння кола |
x2 |
y2 |
R2 . |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Отримане рівняння є шуканим рівнянням лінії AВМA1 у площині розрізу.
У ході схематичного зображення побудова починалась із зображення півкола радіуса 5 см.
100
Крок 4. Запишіть отримане рівняння в канонічному вигляді.
Канонічний вигляд рівняння еліпса |
x2 |
|
y2 |
1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Відповідь: отримана лінія – еліпс.
Учимося самостійно розв’язувати завдання
4.26.
|
|
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||
Знайдіть точки перети- |
З’ясуйте |
|
взаємне |
За яких |
значень |
k |
|
|||||||
ну прямої |
|
y х 1 та |
розташування |
прямої |
пряма |
y kx |
дотика- |
|
||||||
кола x |
2 |
y |
2 |
1. |
y 2x 3 |
та |
кола |
ється кола |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x2 y2 3x 2y 3 0. |
x2 y2 10x 16 0. |
|
|
||||||
|
|
Переформулюйте |
|
Знайдіть |
кількість |
|
Переформулюйте |
|
||||||
|
задачу: розв’яжіть |
|
спільних |
точок |
|
задачу: за яких |
|
|
||||||
|
систему |
|
кола та прямої. |
|
значень k система |
|
||||||||
|
|
y х 1, |
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
10x 16 |
0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 1. |
|
|
|
|
|
у kx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
має єдиний розв’язок? |
|
|
|||
4.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|
||||||
Складіть рівняння кола |
Складіть рівняння кола, |
Складіть рівняння кола, |
|
|||||||||||
з центром О(1; 1) , яке |
описаного навколо три- |
якщо |
центр |
кола |
– |
|
||||||||
проходить |
через точку |
кутника |
з вершинами |
точка |
О(1; 1) |
і пряма |
|
|||||||
А(1;0). |
|
|
|
А(1;1), B(1; 1), C(2;0). |
5x 12y 9 0 є дотич- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ною до цього кола. |
|
|
|||
|
Зверніть увагу на |
|
Складіть |
систему |
|
|
|
Радіусом |
|
|||||
|
те, що відрізок АО |
|
рівнянь, |
виходячи |
|
шуканого кола |
є |
|
||||||
|
є радіусом кола. |
|
з того, що в разі |
|
відстань від точки |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
належності точки |
|
О до дотичної. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
колу, |
її |
координати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задовольняють |
рівняння |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
кола. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
4.28.
І рівень |
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
||||||||
Установіть, |
що |
|
Зведіть |
|
рівняння |
|
кривої |
Зведіть рівняння кривої |
|||||||||||||||||
рівняння |
|
|
|
другого порядку |
|
|
|
|
другого порядку |
|
|
||||||||||||||
x 2y2 12y 18 |
|
x2 2 x 1 4 y 2 |
8 y 4 1 |
9x2 |
16y2 90х 32y 367 0 |
||||||||||||||||||||
задає |
параболу. |
|
до канонічного вигляду та |
до |
канонічного |
вигляду |
|||||||||||||||||||
Знайдіть |
коорди- |
|
побудуйте її |
|
в |
декартовій |
та |
|
побудуйте її в декар- |
||||||||||||||||
нати |
вершини |
|
системі координат. |
|
|
|
|
товій системі координат. |
|||||||||||||||||
параболи та пара- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
метр р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Виділіть пов- |
|
|
|
Виділіть |
|
|
|
|
повні |
|
|
|
|
Виділіть |
|
повні |
|||||||||
ний квадрат у |
|
|
|
квадрати |
|
лівій |
|
частині |
|
|
|
|
квадрати |
|
лівій |
||||||||||
|
|
правій |
|
|
|
рівняння. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частині рівняння. |
|||||||||
|
частині |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
||||||||||
Складіть |
|
рівняння |
Складіть |
|
|
|
рівняння |
|
Складіть |
|
рівняння |
||||||||||||||
еліпса, |
якщо |
його |
еліпса, |
|
|
фокуси |
|
якого |
|
еліпса, |
фокуси |
якого |
|||||||||||||
фокуси |
лежать на осі |
знаходиться |
в |
точках |
|
лежать |
на |
осі |
Ох |
||||||||||||||||
Ох симетрично початку |
F1( 10;0), F2 (14;0), а ве- |
|
симетрично |
початку |
|||||||||||||||||||||
координат, мала піввісь |
лика вісь дорівнює 26. |
|
|
координат, якщо від- |
|||||||||||||||||||||
b 5, а |
відстань |
між |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стань |
між директри- |
||||||||
фокусами 2с 24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сами |
дорівнює |
32 і |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розбийте задачу на |
|
|
|
Рівняння |
|
еліпса |
з |
|
|
|
|
|
За |
даними |
задачі |
||||||||||
підзадачі: |
|
|
|
|
центром |
|
у |
точці |
|
|
|
|
|
складіть |
систему |
||||||||||
1) знайдіть велику |
|
|
|
О(х0 ; у0 ) , осі якого |
|
|
|
|
|
рівнянь, з якої знай- |
|||||||||||||||
піввісь а; |
|
|
|
|
паралельні |
осям |
|
|
|
|
|
діть значення с і а. |
|||||||||||||
2) складіть рівняння еліпса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
координат, |
має |
|
вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
х х 2 |
|
y у |
|
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
||||||||||
Складіть |
|
рівняння |
Складіть |
|
|
|
рівняння |
|
Складіть |
|
рівняння |
||||||||||||||
гіперболи, фокуси якої |
рівносторонньої |
|
гіпер- |
|
гіперболи, |
фокуси якої |
|||||||||||||||||||
лежать |
на |
осі |
Ох, |
боли, фокуси якої ле- |
|
лежать |
на |
осі |
Оу |
||||||||||||||||
відстань між фокусами |
жать |
|
на |
осі |
Ох |
|
симетрично |
початку |
|||||||||||||||||
симетрично |
|
|
початку |
|
координат, |
|
відстань |
||||||||||||||||||
2с 10 і ось |
2b 8. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
координат, |
|
|
|
якщо |
|
між фокусами |
2с 10, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
відстань |
|
між |
фокусами |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|