Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)
.pdfКрок 2. Знайдіть кут між прямими 2x 3y 1 0 і 4x 2y 3 0 .
cos |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Звідси |
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Скористайтесь |
тим, |
що коли |
|
прямі |
l1 і |
l2 |
задані |
загальними рівняннями |
|||||||||||||||||||||||
A1 x B1 y C1 |
0 і A2 |
x B2 |
y C2 0 , то один з кутів між цими прямими визначають |
||||||||||||||||||||||||||||
через кут між їхніми нормальними векторами |
|
|
|
A1, |
B1 та |
|
A2 , B2 і |
||||||||||||||||||||||||
|
n1 |
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
обчислюють за формулою cos |
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
A1 A2 |
|
|
B1 B2 |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|||||||
Відповідь: arccos |
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. Точка A(2, 5) є вершиною квадрата, одна зі сторін якого лежить на прямій x 2y 7 0. Обчисліть площу цього квадрата.
Хід розв’язання.
Крок 1. Перевірте, чи належить точка A(2, 5) прямій x 2y 7 0. Для цього підставте координати точки у рівняння прямої.
Скористайтесь тим, що коли точка M (x, y) належить прямій Ax By C 0 , то її координати задовольняють рівнянню прямої.
Отже, отримали, що точка A(2, 5) не належить прямій x 2y 7 0.
Крок 2. Знайдіть відстань від точки A(2, 5) до прямої x 2y 7 0.
d
23
Скористайтесь тим, |
що коли точка M (x, y) |
є вершиною квадрата, то довжина |
||||||
сторони квадрата дорівнює відстані від точки M (x, y) до прямої Ax By C 0 , |
яка |
|||||||
задає протилежну сторону квадрата. |
|
|
||||||
Відстань від точки |
|
M0 (x0 , y0 ) до прямої |
Ax By C 0 обчислюється |
за |
||||
формулою d |
|
Ax0 By0 C |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Крок 3. Знайдіть площу квадрата зі стороною d 5 .
S
Площа квадрата зі стороною a дорівнює S a2 .
Відповідь: S 5 кв. од.
Учимося моделювати професійну діяльність інженера
1.25. |
Матеріальна точка М рухалася |
під дією деякої сили по |
колу |
x2 y 2 |
10 x 6 y 9 0 проти годинникової стрілки. Дія сили припинилася |
||
в момент часу, коли положення точи |
визначилося координатами |
2; 1 . |
Складіть рівняння подальшої траєкторії руху точки М.
Хід розв'язання.
Крок 1. З’ясуйте, по якій лінії відбувається рух точки після припинення її руху, як розташовані завдане коло й отримана лінія руху відносно одна одної.
Починаючи з моменту, коли дія сили на точку M припинилася, її рух буде відбуватися по прямій, що є дотичною до заданого кола в точці 2; 1 .
24
Крок 2. Приведіть рівняння кола до канонічного вигляду.
x2 y2 10 x 6 y 9 (x2 10 x 25) ( y2 6 y 9) 25 .....
Виокремлюйте повний квадрат двочлена для виразу x2 y 2 |
10 x 6 y 9 . |
||
Канонічне рівняння кола має вигляд x - a 2 y b 2 R2 . |
|
||
Крок 3. |
З’ясуйте за отриманим рівнянням кола координати його |
||
центра. |
|
|
|
x - 5 2 |
y 3 2 25 |
С (....; ....) |
|
|
Для |
канонічного рівняння кола x - a 2 |
y b 2 R2 центр – точка з |
|||
координатами a; b . |
|
|||||
|
Крок 4. Знайдіть рівняння прямої СМ, що проходить через точки |
|||||
С (5.; 3) і |
|
М (2; 1) . |
|
|||
|
x - ... |
|
y ... |
... x ... y - 11 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
... - ... |
|
... .. |
|
Рівняння прямої, заданої за двома точками, має вигляд |
x - xC |
|
y yC |
. |
||||
x |
- x |
y |
M |
y |
||||
|
|
|||||||
|
M |
C |
|
|
C |
|
Крок 5. З’ясуйте взаємне розташування прямої СМ із шуканою прямою. Проаналізуємо умови взаємного розташування двох прямих.
4x 3y -11 0 k1 |
|
4 |
. |
Якщо k |
k |
|
1, то k |
|
.... |
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дотична перпендикулярна до радіуса кола, який проведений до точки дотику. Кутовий коефіцієнт дотичної і прямої радіуса, відповідно до умови перпендикулярності двох прямих, пов’язаний рівнянням k1 k2 1.
25
Крок 6. Знайдіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k2 34 , що проходить через точку М (2; 1) .
y ... |
|
3 |
(x - ...), |
або ... x .... |
y 2 0. |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
Рівняння дотичної прямої до заданого кола має вигляд y yM k2 (x xM ) .
Це і є рівняння траєкторії точки М з моменту припинення дії сили.
Відповідь: 3x 4y 2 0 – рівняння траєкторії точки М.
Учимося самостійно розв’язувати завдання
1.26.
|
|
|
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|||||||
Складіть |
рівняння |
Складіть |
рівняння |
У |
паралелограмі |
||||||||||
прямої, що |
проходить |
прямої, |
що |
проходить |
ABCD |
сторона |
AB |
||||||||
через точку A( 1;2) |
через точку A( 1;2) |
лежить на прямій, що |
|||||||||||||
перпендикулярно |
паралельно |
прямій |
задана |
рівнянням |
|||||||||||
вектору |
|
3; 5 . |
a : 2x y 9 0. |
|
3x 15y 1 0. |
Одна з |
|||||||||
s |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершин має координати |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1;2). |
Складіть |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівняння прямої CD. |
|
|||
|
|
|
Скористайтесь за- |
|
Оскільки шукана |
З’ясуйте, чи нале- |
|||||||||
|
|
|
гальним виглядом |
|
пряма |
паралельна |
жить точка з коор- |
||||||||
|
|
|
рівняння прямої з |
|
прямій |
a, |
то |
динатами |
(1; 2) |
||||||
|
|
|
нормальним век- |
|
нормальний вектор |
прямій |
AB, |
та |
|||||||
тором |
|
|
|
|
прямої |
a є |
нормальним |
зробіть |
висновок |
про |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
вектором шуканої прямої. |
належність |
цієї |
точки |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямій CD. |
|
|
||
1.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
І рівень |
|
ІІ рівень |
|
ІІІ рівень |
|
|||||||
Складіть рівняння пря- |
Складіть рівняння пря- |
Задано середини сторін |
|||||||||||||
мої, |
що |
проходить |
мих, |
що |
проходять |
трикутника |
M (2;1), |
||||||||
через |
точку |
A(3; 2) |
через |
вершини |
три- |
K(5;3), P(3; 4). |
|
|
|||||||
кутника |
A(5; 4), |
|
|
||||||||||||
паралельно |
вектору |
Складіть |
рівняння |
||||||||||||
B( 1;3), C( 3; 2) |
пара- |
||||||||||||||
|
|
2; 1 |
|
сторін трикутника. |
|
||||||||||
b |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
лельно |
протилежним |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
сторонам. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
Скористайтесь за- |
|
|
|
|
Оскільки |
шукані |
|
Середні |
лінії три- |
|||||||||||||
гальним |
вигля- |
|
|
|
|
прямі |
паралельні |
|
|
кутника MK, KP, MP |
||||||||||||
дом |
рівняння |
|
|
|
|
прямій |
a, |
то |
|
паралельні |
проти- |
|||||||||||
прямої з напрям- |
|
|
|
|
|
|
|
|
вектори |
|
лежним |
сторонам, |
||||||||||
ним вектором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тобто відповідні вектори є |
||||||||
|
|
|
|
AB, |
BC, AC є напрямними |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
напрямними |
|
|
векторами |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
векторами |
шуканих |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
шуканих прямих. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
прямих. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||
Складіть рівняння сто- |
Складіть рівняння |
ме- |
Складіть рівняння сто- |
|||||||||||||||||||
рін трикутника ABC, |
діан |
трикутника |
ABC, |
рін |
трикутника |
ABC, |
||||||||||||||||
якщо A(5; 4), |
B( 1;3), |
якщо A(5; 4), |
B( 1;3), |
якщо A(5; 4), |
B( 1;3), |
|||||||||||||||||
C( 3; 2). |
|
|
|
|
|
C( 3; 2). |
|
|
|
а O( 3; 2) точка пе- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ретину |
медіан |
цього |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трикутника. |
|
|
|
|
|||
|
Скористайтесь |
|
|
|
|
Розбийте задачу на |
|
Розбийте задачу на |
||||||||||||||
рівнянням |
|
пря- |
|
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|
підзадачі: |
|
|
|||||||||
мої, що прохо- |
|
|
|
|
1) знайдіть коорди- |
|
1) знайдіть коорди- |
|||||||||||||||
дить |
через |
дві |
|
|
|
|
нати основ |
ме- |
|
нати основ медіан, |
||||||||||||
точки. |
|
|
|
|
діан – середин |
|
сторін |
що проведені з вершин |
A і |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
трикутника; |
|
|
|
B |
(скористайтесь тим, |
що |
|||||||||||
|
|
|
|
|
2)скористайтесь |
рівнянням |
медіани трикутника точкою |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
прямої, що проходить через |
перетину |
поділяються |
у |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
дві точки. |
|
|
|
відношенні |
2:1, |
рахуючи |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
від вершин); |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) скористайтесь рівнянням |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої, що проходить через |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дві точки. |
|
|
|
|
|
|
|
1.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
|
|
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|||||||||
Визначить |
кут |
|
між |
За |
рівняннями |
сторін |
Складіть |
|
|
рівняння |
||||||||||||
прямими |
5x y 7 0 |
трикутника |
|
|
|
прямої, |
що |
проходить |
||||||||||||||
та 3x 2 y 0. |
|
|
|
3x 4 y 1 0, |
|
|
|
через точку |
M (2;1) |
та |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 7 y 17 0, |
|
|
|
утворює |
|
кут |
45 |
з |
||||||||
|
|
|
|
|
7x y 31 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
знайдіть |
прямою 2x 3y 4 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
кути трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Один з кутів, що |
|
|
|
|
Якщо один з кутів |
|
Рівняння |
|
прямої |
|||||||||||||
утворюється |
в |
|
|
|
|
трикутника |
|
пря- |
|
шукайте як рівнян- |
||||||||||||
результаті |
|
пере- |
|
|
|
|
мий, то два інших |
|
ня |
прямої |
з |
ку- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
товим |
|
коефіці- |
||||||||||||||
тину |
прямих, |
|
|
|
|
кута гострі. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
єнтом. |
|
Врахуйте, |
|||||||||||||
дорівнює |
|
куту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що |
один |
із |
кутів, |
який |
|||||||
між нормальними |
векто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утворюється |
|
|
прямими, |
|||||||||
рами цих прямих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дорівнює 45 , а інший 135 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.30.
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
||||
З’ясуйте |
взаємне |
|
За яких значень m і n |
|
За яких значень |
|
прямі |
||||||||||
розміщення прямих: |
|
прямі mx 8y n 0 |
|
mx (2m 3) y m 6 0 |
та |
||||||||||||
а) |
2x 4y 3 0 та |
|
та 2x my 1 0 : |
|
|
(2m 1)x (m 1) y m 2 0 |
|||||||||||
x 2 y 0; |
|
|
|
а) паралельні; |
|
|
|
перетинаються |
в |
точці, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) 3x 2 y 1 0 |
та |
|
б) збігаються; |
|
|
|
що |
належить |
|
осі |
|||||||
6x 4 y 1 0; |
|
|
|
в) перпендикулярні. |
|
ординат. |
|
|
|
|
|
||||||
в) |
x 5y 35 0 та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x 2y 27 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Використовуйте |
|
Використовуючи |
|
|
|
Переформулюйте |
|||||||||
|
|
умову |
паралель- |
|
умови |
паралель- |
|
|
|
задачу: за яких зна- |
|||||||
|
|
ності, |
перпенди- |
|
ності, |
перпенди- |
|
|
|
чень |
система |
зада- |
|||||
|
|
кулярності та пе- |
|
кулярності |
та |
|
|
|
них |
рівнянь |
має |
||||||
|
|
ретину прямих. |
|
збігу |
прямих, |
|
розв’язком пару (0; y). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
складіть систему рівнянь з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
невідомими m і n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
І рівень |
|
|
ІІ рівень |
|
|
|
|
ІІІ рівень |
|
|
|
||||
Знайдіть відстань від |
Знайдіть відстань між |
|
Дві |
сторони |
квадрата |
||||||||||||
точки |
M (1; 4) |
до |
паралельними прямими |
|
лежать |
на |
|
прямих |
|||||||||
прямої 5x 12y 1. |
3x 4y 10 0 |
та |
|
5x 12y 65 0 |
|
|
та |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6x 8y 5 0. |
|
|
|
5x 12 y 26 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдіть |
|
|
площу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрата. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведіть |
рів- |
Відстань між пара- |
|
|
1) З’ясуйте взаєм- |
||||||||||
|
|
няння |
прямої до |
лельними прямими |
|
|
не розміщення да- |
||||||||||
|
|
загального |
виг- |
дорівнює |
відстані |
|
|
них прямих. |
|
|
|||||||
|
|
ляду |
та |
засто- |
від будь-якої точки |
|
|
2) |
Скористайтесь |
||||||||
суйте формулу відстані від |
однієї прямої |
до |
іншої |
|
тим, що сторона квадрата |
||||||||||||
точки до прямої. |
|
|
|
прямої. |
|
|
|
|
дорівнює |
відстані |
між |
її |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
паралельними сторонами. |
|
|
Учимося застосовувати ППЗ Gran2D для |
|
|
|
знаходження рівняння траєкторії |
|
1.32. |
Матеріальна |
точка М рухалася під дією деякої сили по |
колу |
x - 5 2 |
y 3 2 25 проти годинникової стрілки. Дія сили припинилася в |
||
момент часу, коли |
положення точи визначилося координатами |
2; 1 . |
Складіть рівняння подальшої траєкторії руху точки М.
28
Хід обчислення.
1.Відкрийте вікно ППЗ Gran2D.
2.Побудуйте графік рівняння кола x - 5 2 y 3 2 25 із центром С, що
знаходиться в точці (5; -3):
–за допомогою опції Об’єкт-Створення-Аналітична точка побудуйте точки С(5; -3) та М(2;1);
–за допомогою опції Об’єкт-Створення-Коло введіть точку С, що є центром кола, і точку М, що належить колу.
3. За допомогою опції Об’єкт-Створення-Дотична до кола побудуйте дотичну до кола. У правому нижньому куті вікна буде зазначено рівняння дотичної, що і є рівнянням траєкторії точки М з моменту припинення дії сили.
Як пов’язана площина з інженерною практикою
Звиси чотирьохскатного даху цеху створюють прямокутник. Скати покрівлі мають рівний ухил (рис. 2.1). Виникає необхідність складання рівняння скатів і знаходження кількості матеріалу необхідного для поверхні покрівлі.
Рис. 2.1. Схема чотирьохскатного даху цеху
29
Оскільки скати даху плоскі, то їхні рівняння будемо знаходити, як рівняння площин , , , . Які є можливості для завдання рівнянь
площин у просторі?
Складаємо опорний конспект
Завдання площини у просторі
Рівняння площини (рис. 2.2), яка |
||
проходить через |
точку |
M0 x0 , y0 , z0 |
перпендикулярно |
до |
вектора |
n A; B; C , має вигляд |
... x ... ... y ... ... z ... 0 |
|
Рис. 2.2. Зображення площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
У |
загальному |
рівнянні |
площини |
A; B; C – |
|
|
|
|
|
||||
A x B y C z D 0 |
|
|
|
… |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
D ... x0 |
... y0 ... z0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
За умови D 0 |
для A x B y C z D 0 |
площина проходить через … |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
За умови A 0 |
для A x B y C z D 0 |
|
площина розташована паралельно |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
осі … |
|
|
|
|
|
|
За |
умови |
|
A 0 , |
B 0 |
для |
площина розташована паралельно |
|||||||
A x B y C z D 0 |
|
|
|
площині … |
|
|
|
|
|||||
За |
умови |
A 0 , |
B 0 , |
D 0 |
для |
площина збігається з площиною |
|||||||
A x B y C z D 0 |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
||||
За |
умови |
|
A 0 , |
D 0 |
для |
площина проходить через вісь … |
|||||||
A x B y C z D 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рівняння площини (рис. 2.3), яка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
проходить |
через |
точки |
M1 x1, y1, |
z1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||
M 2 x2 , y2 , z2 , M3 x3 , y3 , z3 , що не лежать |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
на одній прямій, має вигляд |
|
|
|
x ... |
y ... |
z ... |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
... x1 |
... y1 |
... z1 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
... x1 |
... y1 |
... z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. Зображення площини
30
Нехай площина перетинає осі координат |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
у точках |
A a; 0; |
0 , B 0; b; 0 і |
C 0; 0; c , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
тоді рівняння площини набуває вигляду |
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Відстань від точки до площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Відстань |
від |
точки M0 x0 , y0 , z0 до |
|
d |
|
|
... x |
0 |
... y |
0 |
... z |
0 |
|
|
D |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
площини обчислюється за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 ...2 ...2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Кут між двома площинами та умови їх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
паралельності й перпендикулярності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Для площин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 : A1x B1 y C1z D1 0 , |
|
...; ...; ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
кут : 0 90 |
між ними знаходять як |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
кут між нормальними векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n2 |
...; ...; ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для площин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 : A1x B1 y C1z D1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
кут : 0 90 |
між ними знаходять за |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...2 |
...2 |
...2 |
|
|
...2 |
|
|
|
|
...2 |
..2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||
Умова паралельності для площин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 : A1x B1 y C1z D1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Умова перпендикулярності для площин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 : A1x B1 y C1z D1 0 , |
|
|
... ... ... ... ... ... 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перевіряємо готовність до практичного заняття
2.1. Визначте, яка з наведених точок належить площині 2x 3y z 1 0.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
(1;1;0) |
( 1;1;0) |
(1;1;1) |
(0;1; 1) |
(0; 1;1) |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
Якщо точка належить площині, то її координати задовольняють рівняння площини.
2.2. За рівнянням площини 3z 2x y 2 0 вкажіть її нормальний вектор.
|
|
А |
|
Б |
|
В |
|
Г |
|
Д |
|
|
3; 2;1 |
|
2;1;3 |
|
2;0;3 |
|
3; 2;0 |
|
2;1;3 |
|
n |
n |
n |
n |
n |
Згадайте, який зміст мають коефіцієнти в загальному рівнянні площини.
2.3. Визначте розташування площини 2x y 1 0 |
у декартовій системі |
||||||||||||||||||
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
|
|
|
проходить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
паралельна |
|
через |
|
|
|
|
паралельна |
перетинає |
містить вісь |
||||||||||
площині Oxy. |
|
початок |
|
|
|
|
осі Oz. |
|
вісь Oz. |
Oz. |
|||||||||
|
|
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо в загальному рівнянні площини Ax By Cz D 0 C 0, то площина |
|||||||||||||||||||
паралельна осі |
Oz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.4. З’ясуйте, яка з наведених прямих паралельна площині Oxy. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
|
2x 3y 0 |
|
2x 3y z 0 |
|
2x z 0 |
|
2 3z 0 |
2x 3y 1 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Якщо |
в загальному |
рівнянні площини |
Ax By Cz D 0 A B 0, то |
||||||||||||||||
площина паралельна площині Oxy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.5. За наданим рівнянням площини у відрізках |
x |
|
|
y |
|
z |
1 |
вкажіть точки |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|||
перетину площини з координатними осями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
А |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Д |
|
2;0;0 |
|
2;0;0 |
|
|
|
|
2;0;0 |
|
2;0;0 |
2;0;0 |
|||||||||
(0;3;0) |
|
(0; 3;0) |
|
|
|
|
(0; 3;0) |
(0;3;0) |
|
(0; 3;0) |
|||||||||
(0;0;4) |
|
(0;0; 4) |
|
|
|
(0;0;4) |
(0;0;4) |
|
(0;0;4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Якщо площина перетинає осі координат в точках |
A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) , |
||||||||||||||||||
то її рівняння має вигляд |
x |
|
y |
|
z |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|