Тетрадь 2 (аналитическая геометрия)

Розбийте задачу на

Скористайтесь

Шукана гіпербола –

підзадачі:

тим, що в рівно-

спряжена до гіпер-

1)

знайдіть дійсну

сторонньої

гіпер-

2

2

піввісь а;

боли дійсна та уяв-

боли

x

y

1,

2

2

2)складіть

рівняння

на осі рівні.

a

b

тобто

має

рівняння

гіперболи.

x2

y2

1. Зверніть

увагу

a2

b2

на те, що в цьому випадку а

– уявна піввісь, b – дійсна.

4.31.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Складіть

рівняння

Складіть

рівняння

Складіть рівняння

па-

параболи,

якщо

її

параболи,

якщо

її

раболи, якщо її вер-

фокус

F( 7;0),

а

фокус

F(7;2),

а

шина має

координати

рівняння

директриси

рівняння

директриси

( ; ),

параметр дорів-

нює р,

ось паралельна

x 7 0.

x 5 0.

осі Ох і

гілки параболи

напрямлені

в

додат-

ному напрямку осі Ох.

Обчисліть

значен-

Розбийте

задачу

Виконайте

ня

параметра

р

на підзадачі:

паралельне

параболи.

1) знайдіть коорди-

перенесення па-

нати вершини

па-

раболи у2 2 pх, за

раболи (для

цього

накрес-

яким початок координат

літь схематично параболу);

переходить в точку (; ).

2)

знайдіть

параметр

р

параболи.

4.32.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Точка

рухається

Складіть рівняння

Ракета, пуск якої був під гострим

так,

що

сума

геометричного

кутом до лінії горизонту, описав-

відстаней

від

неї

місця

точок,

які

ши дугу параболи,

упала

на

до

точок

знаходяться

від

відстані

60 км від старту.

A( 4;0) i

B(4;0)

точки

A(0;3)

у

Найбільша висота, яку досягнула

дорівнює

10.

двічі

ближче,

ніж

ракета, дорівнює 18 км. Складіть

Знайдіть

рівняння

від точки B(0; 3).

рівняння параболічної траєкторії

траєкторії точки.

ракети.

Оберіть

систему

координат так, щоб місце пуску

ракети

було

початком

координат, а місце падіння

належало додатній півосі Ох.

103

Зверніть увагу

Позначте

Рівняння параболи, ось якої

на

те,

що

довільну

паралельна Оу, а гілки

шукане

ГМТ

точку

напрямлені вниз, має вигляд

є

еліпсом

з

шуканого гео-

(x x0 )2 2 p( y y0 ),

де

фокусами

в

точках

метричного

місця

х

; у

координати

вершини

A i B.

точок

M (x; y)

та

0

0

складіть

рівняння,

параболи.

виходячи

з умови

2МА МВ.

2.

За допомогою опції Об’єкт-Створити введіть функцію

y2 2 p x та

скористайтесь умовою проходження параболи через точки A 6;3 та B 6;3 .

3.

За допомогою опції Графік-Створити побудуйте графік функції.

Отримана лінія – парабола, канонічне рівняння якої y

1

x2

2,5 .

72

104

косинуси

радіуса-вектора

p

дорівнюють відповідно: cos

p1

,

1

cos

p2

, cos

p3

.

2

3

Якщо вважати, що cos2 cos2 cos2 1 , то

p12

p22

p32

1

2

2

2

1

2

3

ax2 by2 cz 2 dxy exz fyz gx hy kz l 0 ,

де хоча б один із коефіцієнтів a, b, c, d, e, f

відмінний від нуля, називають

…

Циліндричні поверхні

Поверхню, утворену множиною прямих

(твірних), які перетинають задану лінію

…

(напрямну), називають

Циліндричні поверхні, напрямними яких є

…

криві другого порядку, називають

Канонічне рівняння кругового циліндра

...2

...2

...2

має вигляд

Канонічне рівняння еліптичного циліндра

(рис. 5.2) має вигляд

Поверхню, утворену множиною всіх

прямих (твірних), які проходять через

фіксовану

точку

(вершину)

і

перетинають

задану

плоску криву

(напрямну),

причому

вершина

не

…

належить напрямній, називають

Канонічне рівняння еліптичного конуса

(рис. 5.5) має вигляд

Поверхню,

утворену

обертанням

кола

(півкола) навколо його діаметра,

називають

…

Рівняння

сфери з

центром у

точці

x ... 2

y ... 2 z ... 2 ...2

M0 x0 , y0 , z0 і радіусом

R має вигляд

Якщо центр сфери – початок координат,

...2

...2

...2

...2

то його канонічне рівняння має вигляд

107

...2

...2

2z , p, q 0 , де

p

q

р

–

…,

q –

…

Рис. 5.9. Зображення еліптичного

параболоїда

Поверхню (рис. 5.10) називають

гіперболічним параболоїдом, якщо вона

задана рівнянням

...2

...2

2z , p, q 0 , де

p

q

р

–

…,

q –

…

Рис. 5.10. Зображення гіперболічного

параболоїда

Перевіряємо готовність до

практичного заняття

5.1. Сфера з центром в точці O( 1;2;3) та радіусом R 4 має рівняння

А

x 1 2 y 2 2 z 3 2 2

Б

x 1 2 y 2 2 z 3 2 16

В

x 1 2 y 2 2 z 3 2 4

109

Г

x 1 2 y 2 2 z 3 2 2

Д

x 1 2 y 2 2 z 3 2 16

Рівняння

сфери з центром у точці O(a;b;c) та радіусом R

має вигляд

(x a)2 y b 2 z c 2 R2 .

5.2. Циліндр

задається рівнянням

(x 1)2

y 2 . Оберіть

правильне

4

твердження:

А

Б

В

Г

Д

твірні

твірні

твірні

твірні

немає

циліндра

циліндра

циліндра

циліндра

правильної

паралельні

паралельні

паралельні

паралельні

відповіді

осі Ох

осі Оу

осі Oz

площині Оху

А

Б

В

Г

Д

x2 y2 2

z2 y2 1

z 2 y2 1

xz 1

xy x2 1

А

Б

В

Г

Д

x2

y2

1

x2

y2

1

x2 y2 0

x2 2 у 1

x2 2 у2 1

4

3

4

3

А

Б

В

Г

Д

x2

y2

1

x2

y2

1

x2 y2 0

x2 2 у 1

x2 2 у2 1

4

3

4

3

А

Б

В

Г

Д

x2

y2

z2

0

x2

y2

z2

1

x2

y2

z2

1

x2

y2

z2

1

x2

y2

2z

4

3

5

4

3

5

4

3

5

4

3

5

4

3

Канонічне рівняння еліптичного конуса має вигляд

x2

y2

z2

0.

a2

c2

b2

5.7. Рівняння

x2

y2

z2

0

задає у просторі:

4

3

5

А

Б

В

Г

Д

однопорож-

двопорож-

конічну

еліптичний

нинний

нинний

еліпсоїд

поверхню

параболоїд

гіперболоїд

гіперболоїд

Поверхня,

яка задається

рівнянням

x2

y2

z2

0 ,

називається

конічною

a2

b2

c2

поверхнею.

5.8. Рівняння

x2

y2

z2

1

задає у просторі:

4

3

5

А

Б

В

Г

Д

однопорож-

двопорож-

конічну

еліптичний

нинний

нинний

еліпсоїд

поверхню

параболоїд

гіперболоїд

гіперболоїд

Поверхню задану рівнянням

x2

y2

z2

1 називають однопорожнинним

a2

b2

c2

гіперболоїдом.

5.9. Рівняння

x2

y2

z2

1

задає у просторі:

4

3

5

А

Б

В

Г

Д

однопорож-

двопорож-

конічну

еліптичний

нинний

нинний

еліпсоїд

поверхню

параболоїд

гіперболоїд

гіперболоїд

Поверхню, задану рівнянням

x2

y2

z2

1

, називають двопорожнинним

a2

b2

c2

гіперболоїдом.

5.10. Рівняння

x2

y2

1

z2

задає у просторі:

4

3

5