3. Метод хорд

Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F(x) и найти значения функции на концах отрезкаF(a)иF(b). Затем провести хордуМ₁M₂ c концами в точках М₁(a, F(a))и M₂(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хордыМ₁M₂ с осью OX это и есть приближенный корень x₁. Далее найти точку M₃(X₁ ,F(x₁ )), построить следующую хорду и найти второй приближенный кореньx₂. И так далее. В зависимости от поведения функции возможныдва случая:

Рис. 1

Рис. 2

Для первого случая(Рис. 1) справедлива следующаяформула(8):

и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)>0, где x₀=b.

Для второго случая(Рис. 2) справедлива следующаяформула(9):

и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)>0, гдеx₀=a.

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е.:

4. Метод простых итераций

Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

х = (х) (14)

Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение

х³- 9х + 3 = 0

можно представить так:

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравнения (14) берут: Подставляя значение х₀в правую часть уравнения (14), получают первое приближение х₁=(х₀). В качестве второго приближения берут х₂=(х₁). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (х_n), определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1=(x_n), (n= 0, 1, 2, ...) (15)

Полученная последовательность х₀, х₁, ..., x_n, x_n+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (х_n) к решению х^*уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (х_n) сходится, то есть существует пределто, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция(х) непрерывна, получаем:

или x^* = (x^*). (16)

Следовательно, в этом случае х = х^*является корнем уравнения х =(х), а значит, и уравнения F(x) = 0.

Если же последовательность (х_n) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела построенной последовательности приближений (х_n), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:

‘(x)  M₁ < 1 (18)

для всех х,принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М₁; если же‘(x)> 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величиныm₁, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М₁= max‘(x),где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].

5. Пример решения Mathcad

_{Найти решение уравнения:}

Примечание:TOL– системная переменная для задания точности вычислений.