Лекція №9 Побудова епюр внутрішніх силових факторів для плоских кривих брусів.

План лекції:

1. Аналітичні залежності по відзначенню внутрішніх силових факторів.

2. Диференційні залежності між,і.

3. Приклади визначення внутрішніх зусиль та переміщень в криволінійних брусах.

Література : [1] - ст. 66 - 75, [2] - ст. 580 - 609.

Ми будемо розглядати плоскі криві бруси у яких силова, геометрична і вісь симетрії лежать в одній площині.

При такому навантаженні бруса в його поперечних перерізах виникають три внутрішніх силових фактори:

1. Поздовжня сила всіх зовнішніх сил на дотичну до бруса в точці, що розглядається;

2. Поперечна сила всіх зовнішніх сил на нормаль до осі (поздовжньої) стержня;

3. Згинаючий момент всіх зовнішніх силових факторів по одну сторону від відсіченої частини стержня.

Правило знаків для поздовжніх та поперечних сил таке ж саме, як і для прямого брусу. Згинаючий момент вважається додатнім, якщо він збільшує кривизну бруса. При побудові епюр величини сил і, згинаючих моментіввідкладаються по нормалі до геометричної осі бруса.

Приклад. Необхідно побудувати епюру внутрішніх силових факторів для кривого брусу, що показано на рис.

Розв'язок.

1. Визначимо опорні реакції.

1.1.

1.2.

1.3.

Перевірка:

Таким чином, опорні реакції визначили вірно. Заданий брус має одну ділянку навантаження. Проведемо довільний переріз І-І під деяким кутом і розглянемо рівновагу відсіченої лівої його частини.

Визначимо положення перерізів, в яких і дорівнюють нулю, а також перерізи, де вони екстремальні:

. Так як, то. Розділимо на. Тодіабо.

При згині криволінійних брусів великої кривизни існують наступні

диференційні залежності:

.

Оскільки, довжина дуги дорівнює: запишемо ці диференційні залежності так:

.

Виходячи з цього, ми можемо записати, що екстремум функції буде мати:

Прирівнюючи праву частину виразу до нуля і враховуючи, що F*0, будемо мати:.

Використовуючи вираз для будемо мати:

.

Для того, щоб визначити максимальні значення епюр,, а такожнеобхідно підставити в вирази для цих величин значення кутів через визначені проміжки, наприклад.

ІПриклад 1.

Для брусу що показано на рис., необхідно визначити вертикальне, горизонтальне і кутове переміщення перерізу в точці В, де прикладена силу.

Розв'язок.

Вертикальне переміщення

1. Правило Верещагіна не працює.

2. При складанні рівняння згинаючого моменту використаємо полярну систему координат, фіксуючи положення, довільного перерізу кутом і радіусом кривизни брусу.

3. Згинаючий момент від зовнішньої сили буде дорівнювати:

4. Для визначення вертикального переміщення в т.В прикладемо одиничну силу, що має напрямок вертикально вниз, відтак, відповідній їй згинаючий момент в довільному перерізі буде дорівнювати:

А вертикальне переміщення в перерізі В:

,

де – диференціал дуги, виражений через куті радіус кривизни.

Горизонтальне переміщення

Для визначення горизонтального переміщення прикладемо в т.В горизонтальну силу і запишемо вираз для згинаючого моменту:

.

Тоді горизонтальне переміщення в т.В дорівнює:

.

Кутове переміщення

Для визначення кутового переміщення прикладемо в т.В одиничний момент і запишемо для нього рівняння згинаючого моменту.

.

Тоді кутове переміщення дорівнюватиме:

При необхідності визначення повного лінійного переміщення в т.В. необхідно визначити геометричну суму і.

Приклад 2.

Для брусу, що показаний на рисунку, визначити повне переміщення правого торцевого перерізу в т.В, де приложена силу.

Розв'язок.

Як уже відомо, для того, щоб знайти повне лінійне переміщення т.В, необхідно визначити переміщення цієї точки по двом взаємно перпендикулярним напрямкам і.

1. Запишемо вирази для визначення внутрішніх силових факторів,,від зовнішньої сили.

; ;.

2. Ці ж внутрішні силові фактори, але вже від вертикального одиничного зусилля:;;.

3. Внутрішні силові фактори від горизонтального одиничного зусилля:

; ;.

4. Визначимо вертикальне переміщення.

5. Визначимо горизонтальне переміщення.

Підставимо значення: кН.;м;МПа;;;мм²; мм⁴.

1. мм.

2. мм.

Оскільки у виразі для визначення вертикального переміщення другий і третій доданки менше за перший приблизно у 2260 і 1870 разів відповідно, ми їх відкидаємо.

3. Тоді повне лінійне переміщення т.В буде дорівнювати:

мм