Лекція 11 Багатопрольотні нерозрізні балки. Рівняння трьох моментів.

План лекції:

1. Основні особливості і поняття методу.

2. Приклади розрахунків.

Література : [1] - ст. 405 - 414

Нерозрізними називаються балки, що лежать більше ніж на двох опорах і які при цьому не мають проміжних шарнірів.

При цьому одна із опор є шарнірно-нерухома, для сприйняття осьових навантажень, а всі інші рухомі.

Опори прийнято нумерувати зліва направо, позначаючи крайню ліву опору №"О".

Так при "" шарнірних опор вона буде рази статично невизначною. Число зайвих зв'язків, таким чином, буде дорівнювати числу проміжних опор.

При защемленні одного із кінців балки ступінь статичної невизначеності збільшується на одиницю і буде дорівнювати.

Для спрощення розв'язку такого роду задач в місцях зайвих опор ставлять шарніри, а зайвими невідомими в цьому випадку будуть згинаючі моменти в місцях їх розміщення.

Напрямок невідомих згинаючих моментів вибирається довільно (в нашому випадку - додатній)

При такому виборі для навантаження на інші прольоти балки передається тільки за допомогою невідомих моментів в шарнірах.

Складаючи додаткові рівняння переміщень для опорних перерізів можемо записати:

(1)

Так як основна система складається із двох опорних балок, що не зв'язані одна з одною, то можна розглянути два найближчі прольоти, наприклад, до-ої опори:

(2)

Для визначення переміщень "" і"", що входять в рівняння (2), побудуємо епюри згинаючих моментів в основній системі окремо від заданого навантаження і від кожного "зайвого невідомого", що дорівнює одиниці.

Використовуючи метод Верещагіна запишемо:

(3)

Внесемо вираз (3) у вираз (2) будемо мати:

(4)

Оскільки зайвими невідомими у нас були згинаючі моменти. То замінивши їх на "", будемо мати рівняння, яке отримало назвутрьох моментів:

(5)

Таких рівнянь складається стільки, скільки вводиться шарнірів, що утворюють основну систему. В кожне із цих рівнянь трьох невідомих опорних моментів;;. Перше і останнє рівняння складаються із двох невідомих моментів. Його розв'язок проводиться методом послідовного виключення невідомих.

В тому випадку, коли рівняння приймає вигляд:

(6)

Приклад.

Якщо один із кінців балки має защемлення, то його або замінюють додатковим прольотом нескінченно малої довжини тобто, або ж даний прольот має нескінченно велику жорсткість тобто.

Для даного прикладу замінимо защемлення лівого кінця балки, додатковим прольотом, де. Відтак

рівняння трьох моментів будуть мати такий вигляд:

Так як, а;;;, то наша система рівняньтрьох моментів прийме такий вигляд:

Визначивши із цієї системи опорні моменти, знаходимо реакції опор від заданого навантаження і від дії знайдених опорних моментів для кожної балочки окремо.

Так, позначивши ці реакції, наприклад, для третього прольоту через ізапишемо:

де і– реакції тільки від заданого навантаження на прольоті "З". Відтак повна реакція на прольоті "З" буде дорівнювати:

Тут ­ реакція опори "З" викликана дією заданого навантаження, що прикладене до прольотіві.

Після визначення будують епюри і для кожної двохопорної балки основної системи. Сумарну епюру (і) будують складаючи епюри від зовнішніх навантажень і знайдених опорних моментів по ділянках.

(Самостійно: розібрати приклад 68 ст.410-412)