Лекція № 4 Визначення переміщень в пружних системах шляхом інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки

План лекції:

1. Види переміщень у пружних системах. Правила знаків і закономірності при побудові епюр та .

2. Граничні умови.

3. Диференційні залежності між, ,,.

Література : [1] – ст.265-269, [2] – ст.351-374.

В загальному випадку переміщень чи деформацій існує два їх види: лінійні і кутові.

Так, наприклад, при згині балки:

переміщення чи лінійні деформації, що характеризуються вертикальним зміщенням центра ваги будь-якого перерізу за довжиною балки, називається прогином балки в даному її поперечному перерізі. Позначається буквою.

Кутова деформація або кутове переміщення характеризується кутом повороту поперечного перерізу по відношенню до початкового положення і позначається буквою.

Для прогинів і кутів повороту існують відповідні правила знаків:

1. Застосовується права система координат.

2. Для визначення знака прогину необхідно початок системи координат помістити в крайню ліву точку балки.

3. Прогин балки вважається додатнім, якщо центр ваги зміщується в додатному напрямку осі. Знак кривизни осі балки співпадає із знаком згинаючого.

4. Кут повороту вважається додатнім, якщо переріз повертається навкруги осі проти ходу годинникової стрілки.

Максимальна величина прогину називається стрілою прогину і позначається.

Умова жорсткості при згині брусу:

при цьому відповідно кут повороту при найбільшому прогині не перевищує.

Вигнута вісь балки називається ще пружною лінією балки (для малих деформацій). Оскільки – кут повороту має дуже й дуже малі значення, то рівняння вигнутої вісі балки ми можемо записати в наближеній формі:

. (1)

Це наближене рівняння зігнутої осі балки, або його ще називають рівнянням пружної лінії.

Таким чином при аналітичному розв’язку задачі знаходження величин і необхідно послідовно двічі проінтегрувати рівняння (1).

Проінтегрувавши один раз рівняння (1) будемо мати вираз для визначення кута повороту поперечного перерізу:

,

що включає в себе одну довільну константу.

Проінтегрувавши другий раз рівняння (1) отримаємо вираз для визначення прогину:

,

який включає в себе вже дві довільні постійні і.

Величина згину визначається із епюри для недеформованої балки. Константиі визначаються із граничних умов, тобто із умов закріплення балки:

1. Якщо балка жорстко закріплена, то в місці закріплення кут повороту і прогин будуть дорівнювати нулю:

;

2. Якщо балка знаходиться на двох опорах (шарнірах), то прогин на опорах буде дорівнювати нулю.

Розглянемо два приклади по визначенню переміщень методом інтегрування ДР зігнутої вісі балки:

Приклад 1.

Дано:;;

Визначити:,–?

Розв 'язок:

Запишемо рівняння моментів у довільній точці по довжині балки:

Запишемо ДР зогнутої вісі балки:

1. Проінтегруємо цей вираз один раз:

2. Проінтегруємо цей вираз другий раз:

При із граничних умов можемо записати, щоі, а відповідноідорівнюють нулю. Відтак:

При:

Таким чином, крива кутів повороту являє собою параболу третього порядку (або кубічну параболу), знак "–" вказує на те, що поперечний переріз повертається за ходом годинникової стрілки, а її кривизна направлена випуклістю вгору. Крива пружної лінії вісі балки являє собою параболу четвертого порядку, а знак "–" вказує на те, що прогин відбувається в напрямку протилежному напрямку осі і, оскільки стиснуті волокна балки будуть внизу, то її випуклість буде направлена вгору.

Записавши умову жорсткостізнаходимо, а знаючи, щовизначимо діаметр балки. Такий розрахунок наз. розрахунком розмірів балки, виходячи з умови жорсткості.

Приклад 2:

Дано:;;

Визначити: –?; – ?

Рішення.

1. Записуємо вираз для згинаючого моменту в довільній т.

.

2. ДР для цього випадку буде:

3. Інтегруємо ДР два рази:

Із граничних умов (умов закріплення) маємо:

При. Із другого рівняння знаходимо.

При. Із першого рівняння.

Таким чином, рівняння для визначення кутів повороту і прогину поперечного перерізу для двохопорної балки запишуться так:

1) При:; 2) При:;

Диференційні залежності між, ,,

Із рівняння. Продиференціювавши його поі врахувавши, щобудемо мати:. Таким чином маємо дві групи рівнянь (ДР):

аналогічних залежностям, на основі яких були отримані правила для побудови епюр і.

Самостійно: Вивчити правила побудови епюр для, ,,. с. 275-276.

Диференційне рівняння зігнутої осі балки

Приклад 1

Визначити максимальний прогин і кут повороту поперечного перерізу в точках і, якщо сила, що діє на брус,. Переріз має форму двотавра, матеріал – сталь.

Розв 'язок.

1. Запишемо рівняння для згинаючого моменту на 1-й ділянці.

2. Диф. рівняння зігнутої осі бруса.

3. Інтегруємо вираз для згинаючого моменту два рази:

4. Для першої ділянки ():

При:

При:

;

.

5. Для другої ділянки ():

При:

;

.

Домашнє завдання:

Стальна балка довжиною прямокутного поперечного перерізу навантажена посередині прольоту зосередженою силою.

Визначити найбільший кут повороту перерізу і найбільший прогин.