Лекція №8 Визначення інтегралу Мора по методу Верещагіна. Потенційна енергія деформації.

План лекції

1. Суть методу Верещагіна.

2. Порядок розрахунку задач по методу Верещагіна.

3. Приклади розрахунків.

4. Аналітичні залежності визначення потенційної енергії деформації (П.Е.Д.).

5. Визначення переміщення за допомогою П.Е.Д.

Література : [1] - ст. 373 - 379, [2] - ст. 400 - 405, 415 - 419.

Метод Верещагіна дозволяє графічно визначити інтеграл Мора і застосовується для визначення переміщень в прямолінійних системах, як плоских так і просторових.

Для криволінійних стержнів цей метод не прийнятний. Розглянемо це на конкретному прикладі.

Дано:

Визначити: -?

Розв'язок.

1. Оскільки ділянка брусу прямолінійна, то інтеграл Мора запишемо так:

В нашому випадку він буде виглядати так:

Позначимо площу силової епюри через, тоді на відстані від вільного кінця виділимо елементарну ділянку, площа якої буде визначатись так:

.

–це ордината на одиничній епюрі під центром ваги елементарної площадки, що була нами виділена.

т.С – центр ваги епюри.

Знаючи кут нахилу одиничної епюри можна визначити величину згинаючого моменту в любій точці по довжині бруса, тобто

Відтак шуканий нами інтеграл Мора можемо записати так:

Таким чином інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри від дії зовнішнього навантаження на ординату прямолінійної епюри від дії одиничного навантаження, що знаходиться під центром ваги епюри від заданого зовнішнього навантаження.

А математично метод Верещагіна записується так:

–площа епюри від дії зовнішніх силових факторів і розраховується для кожної ділянки окремо (кг-см²);

–ордината на одиничній епюрі під центром ваги вантажної епюри для кожної ділянки.

Якщо визначається кутове переміщення, то – величина безрозмірна; при визначенні лінійного переміщення[] – см.

Для довідки: в трикутниках, що обмежені параболічною залежністю

Порядок розрахунку задачі за методом Верешагіна.

1. Будуємо епюру згинаючих моментів від дії зовнішніх сил для заданої пружної системи.

2. Вводимо одиничну систему також, як і по методу Мора будуємо епюру одиничних моментів.

3. Обидві системи одночасно розбиваємо на ділянки. Для кожної ділянки розраховуємо площу силової епюри і ординату під її центром ваги на епюрі одиничних моментів.

4. Якщо силова епюра і ордината на одиничній епюрі розміщується по одну сторону від бази, то добуток береться із знаком "+", в противному випадку "-". Знак "-" в кінцевому випадку говорить про те, що шукане нами переміщення відбувається в напрямку, що є протилежним до попереднього (напрямок дії одиничного навантаження нами заданий).

Приклад 1.

Дано:

Визначити:–?

Розв'язок.

;;

де;

(см⁴),

де

Приклад 2

Дано:

Визначити:–?

Розв'язок.

1. Будуємо епюри силової і одиничної систем.

2. Так як тільки на ділянці II співпадають епюри на силові і на одиничних системах, то переміщення яке визначається, буде залежати тільки від їх перемноження, тобто:

Так як значення має знак "+", то переміщення т.А відбувається в напрямку дії сили, тобто вправо.

Якщо візьмемо площу на одиничній епюрі, а ординату на силовій епюрі, то:

Але тільки в випадку, коли силова і одинична епюри обмежені прямими лініями - немає значення де брати площу, а де ординату.

Множення епюр по методу Верещагіна необхідно проводити з урахуванням знаків.

Приклад 3.

Дано: –діаметр стержня на всіх трьох ділянках; G; Е; F; М; а.

Визначити: – ?

, де;.

Потенційна енергія деформації.

П.Е.Д. є квадратичною функцією переміщень і через це завжди виступає як величина додатня. П.Е.Д. чисельно дорівнює роботі зовнішніх сил.

і тому, по аналогії з роботою зовнішніх сил буде визначатись як:

Відтак для плоскої системи:

Якщо система складається із криволінійних стержнів, то в інтегральних виразах замість ставиться.

Для балок потенційна енергія дорівнює:

При дії на стержневу систему кінцевої довжини тільки осьових сил П.Е.Д. буде дорівнювати:

Приклад 1.

Визначити:, що накопичена в пружній системі, якщо відомо

Розв'язок.

1. Значення діючого моменту на ділянці беремо із епюри.

2. Так як момент, що діє в межах одної ділянки постійний і її жорсткість постійна, то:

Приклад 2.

Дано:

см; кг/см²;кг/см²

Визначити:– ?

–П.Е.Д., що утворена дією;

–П.Е.Д., що утворена дією.

Розв'язок.

;

;

В балках і практично в усіх пружних плоских системах П.Е.Д. розраховується тільки від згинаючого моменту, оскільки набагато менша.

Таким чином:

В просторовій системі п.е.д. дорівнює:

Приклад 3

Визначити переміщення за допомогою п.е.д.

Так як П.Е.Д. чисельно дорівнює дійсній роботі зовнішніх сил, то із попереднього прикладу із виразу для визначимо переміщення, наприклад, для т.А.