Лекція №7 Застосування принципу можливих переміщень до пружних систем.

План лекції.

1. Принцип початку можливих переміщень.

2. Теорема про взаємність робіт (теорема Бетті).

3. Теорема про взаємність переміщень (теорема Максвела).

4. Загальний метод визначення переміщень (метод Мора).

5. Правила розв'язку задач по методу Мора.

Література : [1] - ст. 361 - 370, [2] - ст. 400 - 422.

Принцип можливих переміщень є загальним принципом визначення переміщень в механічних пружних системах.

Стосовно до пружних систем даний принцип можна сформулювати так: якщо пружна система знаходиться в рівновазі, то сума можливих (віртуальних) робіт зовнішніх і внутрішніх сил на можливих нескінченно малих переміщеннях точок системи дорівнює нулю.

Можливим (віртуальним) переміщенням називається любе нескінченно мале пружне переміщення точок системи, що не приводить до порушення зв'язків.

а) – можлива робота сил стану на переміщення стану;

б) – можлива робота сил стану на переміщення стану. Відтак сумарна можлива робота всіх зовнішніх сил буде дорівнювати:

,

а сумарна можлива робота всіх внутрішніх сил буде дорівнювати:

.

Оскільки система знаходиться в рівновазі то:

Розглянемо дійсні переміщення як можливі переміщення точок пружної системи:

Розділивши всі доданки на 2 будемо мати:

Таким чином ми показали, що робота зовнішніх сил дорівнює по величині роботі внутрішніх сил і протилежна їй по знаку.

Теорема про взаємність робіт (Теорема Бетті)

Робота сил пертого стану на переміщеннях, обумовлених силами другого стану, дорівнює роботі сил другого стану на переміщеннях, що визвані дією сил першого стану.

Розглянемо довільну пружну систему, що навантажена в першому випадку узагальненим навантаженням, яке прикладене в т.1. В другому випадку навантажену узагальненою силою, що прикладена в т.2.

–дійсне переміщення або власне переміщення для сили ().

–можливе переміщення для сили ().

- можливе переміщення для сили ().

–дійсне переміщення для сили ().

Запишемо вираз для можливих робіт зовнішніх і внутрішніх сил обох станів системи:

І-ий стан

Можлива робота зовнішніх сил першого стану на переміщеннях, що викликані дією сил другого стану

Можлива робота за рахунок внутрішніх сил відповідно

Аналогічно для другого стану:

Оскільки праві частини І-го і ІІ-го стану рівні, то ми можемо записати:

Це закономірність отримала назву теореми про взаємність робіт (теорема Бетті)

Теорема про взаємність переміщень (теорема Максвела).

Питоме переміщення точок системи прикладення сил першого стану під дією одиничних сил другого стану дорівнює питомому переміщенню точок системи прикладення сил другого стану під дією одиничних сил першого стану.

Переміщення, що викликане одиничною силою, називається питомим і позначається буквою.

Тільки-но ми отримали, що:. Так як, то можна записати:

(*)

Вираз (*) і носить назву теореми про взаємність переміщень (теорема Максвела).

Приклад.

Використовуючи теорему про взаємність робіт, визначимо прогин () балки посередині прольоту при дії на неї зосередженого моменту, що прикладений на опорі в т.А. Використовуючи ДР пружної лінії для двохопорної балки, що навантажена посередині прольоту зосередженою силою, визначимо кутове переміщення при.

.

Тоді відповідно до теореми про взаємність робіт можемо записати:

Загальний метод визначення переміщень.

Метод (інтеграл) Мора

Метод Мора – це універсальний, який застосовується для любої пружної системи. При вирішенні задач по визначенню переміщень Мор запропонував на рівні з основною силовою системою використовувати допоміжну систему, що навантажена лише одним силовим фактором, що прикладається в перерізі, який нас цікавить.

Розглянемо приклад.

Необхідно в довільній плоскій стержневій системі, що навантажена заданими силовими факторами визначити узагальнене переміщення довільної точки в напрямку i-j, тобто–?

–повне переміщення (т.т) по напрямку (i-j) від дії всіх зовнішніх силових факторів, що прикладені до даної пружної системи.

Застосовуючи принцип можливих переміщень для допоміжного стану і використовуючи як можливі переміщення дійсні для заданої силової системи, будемо мати інтеграл Мора для плоскої системи.

В загальному випадку дії сил на пружну систему інтеграл Мора буде мати такий вид:

В більшості випадків при визначенні переміщень в брусах, рамах, фермах величиною поздовжньої деформації і деформаціями зсуву нехтують, а враховують лише переміщення, що виникають від дії згинаючих і крутних моментів. Тоді для плоскої системи переміщення через інтеграл Мора визначають так:

Для просторової пружної системи:

Для шарнірних ферм, що складаються із прямих стержнів, балок, рам будемо мати:

Для кінцевої довжини прямолінійних ділянок:

–формула Максвела.

Правила розв'язання задач методом Мора

Для того, щоб визначити лінійне переміщення т.А в пружній системі за допомогою інтеграла Мора необхідно:

1. В силовій системі при необхідності визначити реакції від дії всіх зовнішніх сил;

2. Побудувати одиничну систему, навантаживши її при цьому одиничним навантаженням, в точці, переміщення якої необхідно визначити;

3. При необхідності визначаються реакції в одиничній системі;

4. Обидві системи розбити на ділянки;

5. Для кожної ділянки скласти закон змін згинаючих моментів від дії зовнішніх сил і одиничних сил;

6. Скласти інтеграл Мора і визначити його.

Якщо отриманий результат буде від'ємний, то знак "-" вказує на те, що переміщення заданої точки буде відбуватись в напрямку протилежному дії введеного нами одиничного навантаження.

При визначенні кутових переміщень увесь порядок розрахунків зберігається. Тільки замість одиничної системи в заданій точці прикладається одиничний момент.