Лекція № 16 Контактні напруження. Формули для їх визначення. Умови міцності

План лекції.

1. Основні поняття та припущення.

2. Стиск двох куль (шарів).

3. Стиск циліндричних тіл.

4. Загальний випадок контакту двох поверхонь.

5. Умова міцності при контактних навантаженнях.

6. Порядок розрахунку на міцність при контактних навантаженнях.

Література: [1] -ст. 613 - 617.

Деформації і напруження, що виникають при взаємному натиску одного тіла на друге, називають контактними. Як показують експериментальні дані матеріал, що не має можливості вільно деформуватись - перебуває в об'ємному напруженому стані, який досить швидко зменшується по мірі віддалення від точки контакту.

Вперше вирішення контактної задачі було запропоновано німецьким вченим Герцем (1881-1882). При розв'язанні задачі виходять із таких припущень:

1. Навантаження здійснюють в зоні контакту тільки пружні деформації, що слідують закону Гука;

2. Площадка контакту дуже мала в порівнянні з поверхнями тіл контакту;

3. Сили тиску, що розподіляються по поверхням контакту – нормальні до цих поверхонь.

І. Стиск (шарів) двох куль.

При стиску силами двох куль з радіусами і утворюється кругла

площадка контакту, радіус якої визначається по формулі:

,

де,– модулі пружності матеріалів куль.

Два інших головних напруження в центрі площадки контакту будуть дорівнювати:

.

Таким чином в найбільш напруженій точці контакту матеріал знаходиться практично в умовах всебічного стиску (об'ємний стиск). Для визначення використовуємо IV-y теорію міцності:

.

Підставивши значення головних напружень будемо мати, що: в центрі площадки контакту.

Найбільше контактне дотичне напруження в загрозливій точці, що знаходиться на відстані по напрямку осівід площини контакту буде дорівнювати:

,

У випадку увігнутої поверхні одної із куль:

Якщо одна із поверхонь є площиною, тобто, то

ІІ. Стиск циліндричних тіл.

В цьому випадку зоною контакту буде вузька прямолінійна смужка, ширина якої визначається за формулою:

Найбільші напруження будуть вздовж смужки контакту.

Найбільш небезпечна точка розміщується на глибині по осіі напруження, що діють в ній дорівнюють:

; ;;.

У випадку увігнутої циліндричної поверхні радіуса максимальні нормальні напруження будуть дорівнювати:

.

При тиску циліндричної поверхні на площину:.

Ці формули отримані для, але вони справедливі і для любих коефіцієнтів Пуассона.

ІІІ. Загальний випадок контакту двох поверхонь.

В загальному випадку контакту двох тіл площадка контакту являє собою еліпс з напівосями:

;

,

де – коефіцієнт Пуассона;і– радіуси кривизни в двох взаємно перпендикулярних напрямках одного із контактуючих тіл;і– радіуси кривизни в двох взаємно перпендикулярних напрямках другого контактуючого тіла.

Коефіцієнти ітабульовані і функціонально залежні від кута. Кут– це кут між головними плоскостями кривизни тіл, що контактують:

Максимальні напруження в цьому випадку:

Із наведених формул видно, що контактні напруження залежать від пружних властивостей матеріалу і не мають лінійної функціональної залежності від навантаження. При зростанні навантаження зростання величина напружень уповільнюється так, як площадка контакту не залишається постійною, а починає збільшуватись.

Умова міцності при контактних напруженнях.

Враховуючи те, що в зоні контакту точки тіла знаходяться практично в об'ємному напуженому стані, то перевірку міцності необхідно проводити по ПІ чи IV теорії міцності:

Виразивши головні напруження через в центрі площадки контакту, умову міцності запишемо так:

(*)

де – допустиме напруження длямаксимальних напружень у зоні контакту. Значення коефіцієнту вибирається залежно від відношенняпівосей еліпса площадки контакту із таблиць. Для цілого ряду конструктивних матеріалів табульовані і значення.

Порядок розрахунку на міцність елементів конструкцій при контактних навантаженнях.

1. Визначаються головні радіуси кривизни контактуючих тіл:,,,, а також;

2. Визначаються величини півосей еліптичної площадки контакту;

3. Визначаються найбільші напруження стиску в центрі площадки контакту.

4. Розрахунок на міцність ведуть за формулою (*). Як правило, виходячи при цьому із четвертої теорії міцності.