Цифровая обработка сигналов (сборник книг) / Дронов С.В. Многомерный статистическийц анализ, 2003

15.3.2Выбор степени тренда

Если степень полиномиального тренда q известна заранее, то процедура, изложенная выше, дает эффективный способ оценивания тренда. После этого можно, например, заниматься прогнозированием значений времен-

íîãî ðÿäà ïðè T > n по приближенной формуле

q

uT X j 'j(n; T );

j=1

а если необходимо указать интервал, в который с достаточно большой

для нормального распределения.

Отсюда, наилучший критерий для проверки гипотезы о том, что q 6=

212 Глава 15. Временные ряды

ãäå t(") двусторонняя критическая точка распределения Стьюдента с

n q 1 степенями свободы.

Опишем процедуру определения минимальной степени тренда более подробно. Допустим, нам известно из априорных соображений, что сте-

пень тренда не может быть ниже m (случай m = 0 не исключается) и не должна быть выше q. Выскажем q m + 1 гипотезу:

Условимся, что в данной ситуации мы хотим не выбрать полином более высокой степени, чем он есть на самом деле (ошибка второго рода), и при этом не хотим, чтобы степень этого полинома была бы слишком низкой. Обозначим множество тех наблюдаемых временных рядов, для которых

принимается гипотеза Hj, через Rj; j = m; :::; q: В [12, c.53-55] доказано,

что множества R

оптимальность процедурыj можно строитьне нарушаетсянезависимо.Поэтомудруг отвседруга,эти имножествапри этом будут иметь структуру (15.9): гипотеза Hj принимается, если

ãäå t("i) двусторонняя критическая точка распределения Стьюдента с

n i 1 степенями свободы.

Если мы хотим добиться уровня ошибки первого рода не выше, чем ", то можно положить

"i = "(1 ")q i; i = m; :::; q:

Таким образом, процедура нахождения оптимальной степени тренда носит последовательный характер: мы должны, начиная с q, проверять со-

ответствующие гипотезы до тех пор, пока какая-то Hj не примется. Тогда j и есть наилучшая степень полинома, аппроксимирующего тренд.

15.3.3 Сглаживание

s= m

т.е. как взвешенное среднее с учетом значений ряда, удаленных не более чем на m точек как влево, так и вправо. Сразу договоримся, что мы

2 .

В простейшем случае все коэффициенты могут быть выбраны равными по 1=(2m + 1), но обычно пытаются подобрать по рассматривае-

ìûì 2m + 1 точке полином некоторой заранее заданной степени, график

которого максимально близок к этим точкам. Предположим, что тренд f(t + s) ïðè s = m; :::; m можно приблизить полиномом

q

ft(s) = X aj(t)sj:

j=0

В частности, f(t) f (0) = a (t): Коэффициенты a

меньших квадратов. Нормальныеt 0 уравнения для ихj оценимопределенияметодомимеютнаи-

Заметим, что все суммы, степени в которых нечетны, равны 0. Поэтому, если i четно, то равны нулю коэффициенты при всех нечетных номерах a

и наоборот. Поскольку нам достаточно найти a0(t), воспользуемся этими уравнениями при четных i. Для этого положим

m = 2; q = 2, описывая параболой поведение нашего временного ряда в пяти соседних точках. Поскольку q четно, то a1 = 0. Нормальные уравнения имеют вид

Как видим, в этом примере найдены коэффициенты cs; s = 2; :::; 2. Èç

самого алгоритма видно, что если p не меняется, то не меняются и найденные коэффициенты. Это означает, что одни и те же коэффициенты

используются для четного и соседнего нечетного q. Ниже приводится таблица коэффициентов cs; s = 0; :::; m äëÿ p = 1; 2; m 5. Напомним, что

c s = cs:

Более полные таблицы коэффициентов можно найти в [10].

К методике скользящих средних пришли давно, и совсем не из соображений, имеющих какое-либо отношение к математической статистике, в результате чего практически невозможно описать получающиеся оценки коэффициентов с точки зрения их вероятностных характеристик.

Одна из часто используемых процедур сглаживания использует последовательное, несколько раз примененное усреднение. Такова, например, формула Спенсера для 15 точек. Сначала вычисляем

ut = 14( 3ut 2 + 3ut 1 + 4ut + 3ut+1 3ut+2);

затем усредняется с равными весами 5 последовательных u

го усредняются (снова с равными весами) 4 последовательныхt и послечлена этопо--

следнего ряда. Имеется также вариант этой процедуры, использующий 21 последовательную точку.

К сожалению, использование техники сглаживания не позволяет оце-

нить значения тренда в m крайних левых и m крайних правых точках. И если левые "начальные"точки, возможно и не так важны, но крайние правые точки сильно влияют на точность прогноза значений временного ряда. Поэтому при применении метода скользящих средних имеются специальные методики для восстановления значений тренда в последних точках. Мы не будем здесь на них останавливаться.

15.3.4Оценка сезонных колебаний

Пусть на временной ряд накладываются регулярные периодические колебания. Не ограничивая общности, условимся считать, что эти колебания обуславливаются сезонными изменениями в природе в течение календарного года. Т.о., мы предполагаем, что

6n(n + 1)(2n + 1)(3n4 + 6n3 3n + 1)=42

7n2(n + 1)2(3n4 + 6n3 n2 4n + 2)=24

8n(n + 1)(2n + 1)(5n6 + 15n5 + 5n4 15n3 n2 + 9n 3)=90

Таблица 15.2: Коэффициенты формул сглаживания

k = 1

т.е., например, сезонный эффект первого квартала равен разности средних по всем первым кварталам и общего среднего.

Используя формулы (15.13) и (15.14), можно оценить в нашей задаче значения тренда (во всех точках, кроме крайних) и сезонности одновременно. Аналитические аппроксимации сезонных изменений можно полу- чить, проводя аппроксимацию численных значений формулы (15.14) в рамках одного периода комбинациями синуса и косинуса времени (например, методом наименьших квадратов).

Отметим, что аддитивная модель вклада сезонности (15.12) может быть также исследована методом двухфакторного дисперсионного анализа на наличие существенного вклада сезонности в значения временного ряда, а также на взаимодействие сезонности и тренда.

Иногда рассматривают вклад сезонности как мультипликативный, т.е. вместо (15.12) полагают

Простейший способ оценки сезонного эффекта в этой модели состоит в

том, чтобы разделить u

ющиеся частные, как оценкиt;j на значенийегосреднее, а затем рассмотреть получа-

g. Другой способ заключается в логарифмировании исходных данных. Тогда модель (15.15) перейдет в (15.12) относительно логарифмов, и мы придем к уже рассмотренной выше задаче.

Иногда к хорошим результатам приводит итеративный процесс. Сна- чала исключаем первое приближение тренда, затем оцениваем сезонный фактор, вносим поправки в исходные данные, чтобы исключить его, повторно оцениваем тренд (прибавляя его к уже имевшемуся) и так далее.

Приложение A

Приложение 1. Нормальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет нормальное распределение с

параметрами a; 2, если она является величиной абсолютно непрерывного типа и имеет плотность

Это распределение мы будем обозначать N(a; 2), а соответствующую ему функцию распределения через a; (x) :

Åñëè a = 0; = 1, то такое распределение называется стандартным нормальным, и его плотность и функцию распределения условимся обо-

значать '(x); (x) без индексов.

К сожалению, интеграл, выписанный выше, не берется в виде конечной формулы, поэтому при использовании нормального распределения используются таблицы или приближенные формулы для вычислений. Если у вас под рукой имеется компьютер с установленным пакетом Microsoft Office (Excel), то таблицы, приводимые ниже, вам не понадобят-

ся. Для нахождения значения (x) достаточно вызвать Мастер функций электронных таблиц Excel и найти в разделе Статистические Функции

219

220

одну из функций НОРМРАСП, НОРМСТРАСП или НОРМОБР, НОРМСТОБР. Первые две функции позволяют получить значения функции или плотности (в зависимости от вводимого параметра) произвольного и стандартного нормального распределений, а следующие две - найти аргумент функции нормального распределения по заданному ее значению, то есть решить обратную задачу.

От произвольного нормального распределения

рейти к стандартному N(0; 1) путем следующего преобразования

Это позволяет ограничиться табулированием стандартного нормального распределения. Более того, стандартное нормальное распределение сим-

метрично, т.е. распределение совпадает с распределением , откуда просто выводится, что для произвольного x справедливо

(x) + ( x) = 1;

что ограничивает потребность в таблицах лишь аргументами одного зна-

êà. Ниже приводятся таблицы стандартного нормального распределения.

Отметим еще два обстоятельства. Во-первых, функция , как и любая функция распределения, монотонно не убывает, и имеет предельные зна- чения 0 и 1 на бесконечностях разных знаков. Во-вторых, при использовании этих таблиц для расчетов, описанных в других пособиях, следует иметь ввиду, что разные авторы под словами "функция нормального распределения"и близкими к ним иногда понимают нечто иное, чем в

нашем курсе. Например, интеграл в определении функции может счи-

таться в пределах от 0 до x, или как-либо еще. Различие в определениях приводит к различным свойствам и иным численным значениям. Будьте внимательны.

Пример на считывание: (2; 92) = (2; 5 + 0; 42) = 0; 99825 (в строке

0,42 и столбце 2,5 написано 0; 92825, степень девятки означает ее повторение, целая часть и запятая опущены).

Функция стандартного нормального распределения

x

(x) = R e t2=2dt

1