Цифровая обработка сигналов (сборник книг) / Дронов С.В. Многомерный статистическийц анализ, 2003

Шкалы сравнений бывают двух видов. При заполнении графической шкалы эксперт должен поставить отметку тем правее, чем больше, по его мнению, различны рассматриваемые объекты:

Графическая шкала сравнения двух объектов Похожи x Различны

Другой вид шкалы имеет вид заранее определенных категорий сте-

пень похожести объектов изначально задается некоторым числом, имеющим, правда, не абсолютную, а относительную величину:

Для обработки предпочтительнее второй вид шкал, т.к. для приведения графической шкалы в числовую форму необходимо производить измерение величины отрезка, отмеченного экспертам, что приводит к дополнительным затратам времени и является источником ошибок. С другой стороны, графический способ дает эксперту возможность более свободно выражать свое мнение относительно похожести объектов.

Естественно, что сколько экспертов, столько и мнений, поэтому для повышения надежности оценки степени сходства/различия нужно опросить как можно больше экспертов и в качестве окончательной оценки выбрать, например, среднюю арифметическую полученных оценок. Стоит также иметь ввиду, что иногда даже один эксперт по-разному оценивает степень похожести, если объекты на шкале расположены в другом порядке. Поэтому следует с некоторым интервалом попросить его оценить сначала сходство объекта А с объектом Б, а затем объекта Б с объектом А. В качестве оценки похожести этих объектов выбирают полусумму оце-

íîêШкалы. сравнений занимают промежуточное место между числовыми и нечисловыми данными и на их примере отчетливо видны проблемы, сопутствующие переходам между этими видами данных. Обычная сфера

применения шкал сравнений - многомерное шкалирование, которому мы посвятим отдельную главу.

Слегка затронем также вопрос о придании меток категориям, выделяемым при изучении нечисловых данных. Иногда из априорных соображений бывает ясно, что те или иные категоризованные переменные должны быть сильно связаны (или наоборот, практически независимы) между собой или с какими-то из числовых переменных. В этом случае задача выбора числовых меток ставится из условия максимизации (минимизации) соответствующих коэффициентов корреляции. Подробнее см. в главе, посвященной оцифровке нечисловых данных.

4.3Экспертные оценки

Рассмотрим теперь вариант задачи об оценивании степени сходства. Пусть у нас имеется некоторое количество факторов (иногда называемых стимулами), которые предложено расположить в порядке убывания значи- мости или привлекательности. Располагая факторы в требуемом порядке, эксперт тем самым указывает для каждого из них порядковый номер, который мы будем называть рангом фактора, который ему присвоил эксперт. Так, самому важному фактору эксперт присваивает номер 1, а наи-

менее важному номер n, если всего предлагалось для ранжирования n факторов.

Особым образом оговаривается случай, когда эксперт не может или не хочет различать некоторые из предложенных факторов. В этом слу- чае ему предлагается каждому из группы неотличимых с его точки зрения факторов присвоить ранг, равный среднему арифметическому тех рангов, которые должны были быть распределены среди факторов этой группы. Делается это для того, чтобы сумма всех рангов, присвоенных экспертом, была бы одной и той же независимо от его предпочтений.

После опроса нескольких экспертов мы изучим согласованность их мнений по данному вопросу, а также постараемся выделить группы экспертов с наиболее согласованными мнениями. А пока рассмотрим пример, заимствованный из [3].

Пяти студентам, обычно добирающимися до места учебы общественным транспортом, предложили ранжировать в порядке убывания важности следующие факторы: Ч частота следования транспорта, О оборудование салона (мягкие сиденья, кондиционер, музыка), Д исправность

X; Y номера или обозначения экспертов, согласованность мнений которых изучается;

di разность рангов, которые присвоили i-му факторы эксперты

X è Y . Поскольку в формуле она возводится в квадрат, то безразлично, из чего что вычитать;

n число предлагаемых к ранжированию факторов;

где сумма берется по всем группам связанных рангов у эксперта

X, à tj количество факторов, образующих j-ю группу связанных рангов.

Коэффициент Спирмена с качественной точки зрения может так же характеризовать степень согласованности экспертов, как коэффициент корреляции характеризует степень связи случайных величин, см. таблицу в конце раздела 2.3 .

Рассмотрим пример со студентами и общественным транспортом. У первого, второго и пятого эксперта нет связанных групп рангов, поэтому

T1 = T2 = T5 = 0: У третьего есть две группы, состоящие из t1 = 2

фактора, имеющих ранги по 6,5 и t2 = 3 факторов, имеющих ранги по 2. Следовательно, T3 = (23 2) + (33 3) = 30. У четвертого тоже

одна группа связанных факторов, но их 5, значит T4 = 120. Рассчитаем теперь, например, коэффициент ранговой корреляции между первым и вторым экспертами по формуле (4.1 ).

Остальные коэффициенты Спирмена вычисляются аналогично. Заполним таблицу.

Нижняя часть таблицы не заполнена, т.к. R(i; j) = R(j; i) для произ-

вольной пары i; j.

Теперь займемся формированием групп экспертов с наиболее согласованными мнениями. Заметим, что в нашей таблице нет отрицательных коэффициентов, что означает, что среди экспертов нет противоположных (конфликтующих) мнений. Максимальное значение коэффициента

R(1; 4). Именно этих двух экспертов мы и объединим в группу. К ним мог быть подключен еще и третий эксперт, но у него с четвертым один из самых низких коэффициентов корреляции. После удаления соответствующих столбцов и строчек из таблицы, максимальная корреляция среди оставшихся наблюдается между вторым и пятым экспертами. Из них сформируем вторую группу. Третий эксперт, оставшись сам по себе, образует третью группу.

Следует подчеркнуть, что процесс формирования групп носит во многом субъективный характер и слабо формализуется. Ниже будут высказаны соображения объективного характера по поводу формирования групп с согласованными мнениями, но они связаны с большим объемом вычислений.

Следующий шаг - формирование групповых рангов, т.е. ранжирование изучаемых факторов по мнению группы в целом. Для их определения заполним две таблицы. Сначала определим коллективные ранги, которые для каждого фактора получаются суммированием рангов, присвоенных экспертами группы данному фактору. Затем, упорядочив коллективные ранги в порядке возрастания и проранжировав их в соответствии с алгоритмом предыдущего раздела, заполним вторую, итоговую таблицу.

ãäå mg число экспертов в группе, fi(g); i = 1; :::; n - коллективные ранги

Величина коэффициента конкордации может быть только неотрицательной и не большей единицы. Увеличение его означает наличие большего согласования мнения экспертов в группе.

На основе введенного коэффициента можно построить тот алгоритм оптимального разбиения на группы, о котором было сказано выше. Если число групп заранее задано, рассматриваем все возможные разбиения на такое число групп и в каждой группе считаем коэффициент конкордации. Критерием оптимальности может служить, например, сумма чисел

Wg по очередному разбиению. Оптимальным будет то, для которого эта

сумма максимальна. Впрочем, в зависимости от задачи, можно предложить и другие критерии.

Если же неизвестно и число групп, то следует рассмотреть все возможные разбиения на группы, включая выделение каждого из экспертов в отдельную группу и полный отказ от разбиения. Алгоритм остается тем же, только еще более возрастает количество требуемых вычислений.

Вернемся к нашему примеру. Расчеты показывают, что средние коллективные ранги по группам равны LI = LII = 8; LIII = 4: Средние

квадратичные отклонения для групп SI2 = 41; SII2 = 45; SIII2 = 25; 5.

Наконец, TI = T1 + T4 = 120; TII = T2 + T5 = 0; TIII = 30:

Окончательно, WI = WII = 0; 80; WIII = 1: Последний результат предугадать было нетрудно мнение каждого эксперта максимально согласовано само с собой.

Глава 5

Доверительные и толерантные множества

5.1Доверительные интервалы

Одна из задач, часто решаемых статистиками задача оценивания неизвестного параметра распределения. Если коротко напомнить ее суть, то она состоит в следующем. Исследователю нет необходимости знать всю функцию распределения в целом, а достаточно знания некоторой (или некоторых) числовых характеристик, оцениванием которых по выборке он и занимается. Часто бывает известно, что наблюдаемая случайная величина имеет одно из распределений фиксированного априори параметрического семейства например, нормально распределена, и тогда, оценивая неизвестные параметры, мы решаем все наши проблемы.

При попытке заменить неизвестный параметр значением какой-то статистики вероятность угадать истинное значение параметра за исклю- чением небольшого количества вырожденных случаев оказывается равной нулю. Поэтому, чтобы повысить надежность решений, принято в ряде случаев не ограничиваться указанием одного числа, а указывать границы, в которые оцениваемый параметр попадет с достаточно большой вероятностью. Интервал, помещающийся в указанных границах, носит название доверительного.

Приведем точные формулировки. Пусть наблюдаемая случайная величина имеет одно из распределений P ; 2 . Интервал ( ; +), границы которого являются статистиками, т.е. зависят от выборки, на-

49

50 Глава 5. Доверительные множества

зывается доверительным интервалом для уровня доверия 1 , åñëè

P ( < < +) 1 :

Иногда, когда в последней формуле стоит знак равенства, говорят о точ- ном доверительном интервале. Если требуемое неравенство становится справедливым только при достаточно больших объемах выборки, то интервал ( ; +) называют асимптотическим.

Широко известны формулы для построения доверительных интервалов для параметров одномерной нормальной совокупности:

1.если дисперсия 2 известна, то границы доверительного интервала для математического ожидания имеют вид

ãäå t

ответствующего1 =2 - квантильуровня;стандартного нормального распределения со-

2. если дисперсия неизвестна, то формулы приобретают вид

ãäå 1 =2 квантиль распределения Стьюдента с n 1 степенью свободы, а S выборочное среднее квадратическое отклонение;

3.если математическое ожидание a известно, то границы доверительного интервала для дисперсии записываются, как

( 2) = nQ2 ; t

ãäå t+ квантиль распределения хи-квадрат с n степенями свободы