Цифровая обработка сигналов (сборник книг) / Дронов С.В. Многомерный статистическийц анализ, 2003

Приведем также вкратце результаты второго способа, использующего бинарную матрицу данных. Почему обработка этим методом приведена

не столь подробно, становится ясно при одном взгляде на матрицу Y , которая приведена на отдельной странице, ведь в ней 5 столбцов и 25

3 6 0 0 9

В этой матрице просматриваются два диагональных блока, по диагонали которых расположены суммы всех остальных элементов соответствующей строки и еще два блока, каждый из которых воспроизводит первона- чальную таблицу сопряженности. Оказывается, такой вид матрица Y tY будет иметь всегда. Она носит название матрицы Берта. Далее, строя

диагональную матрицу D, диагональные элементы которой совпадают с диагональными элементами матрицы Берта, вычислим

после чего при помощи математического пакета Mathlab вычислим собственные числа и собственные векторы этой матрицы.

Получим 1 = 1; 2 = 0; 58; 3 = 0; 5; 4 = 0; 47; 5 = 0: При этом, как мы знаем, первое собственное число использовать не имеет смысла. Как было показано в предыдущем разделе, имеет смысл привлекать только собственные векторы, отвечающие собственным числам, не меньшим,

÷åì 1=p = 0; 5 в нашем случае, поэтому используем второе и третье собственные числа. (Заметим в скобках, что для нашего случая среднее ненулевых собственных чисел, строго меньших единицы, равно 0,517,

которые дают 25 меток строк матрицы Y . К счастью, среди них много одинаковых, т.к. объекты, попавшие в одну клетку таблицы сопряженности, получают одинаковые метки. Эти метки приводятся в таблице.

Метки объектов (повторений эксперимента)

в задаче о сопряженности размеров и доходности

Соответствующие точки с приведенными обозначениями приведены на рисунке. Различия, полученные по отношению к методу анализа соответствий, легко объяснить тем, что во время того исследования мы использовали малоинформативное наибольшее собственное число, а второе (0,03) оказалось слишком малым, чтобы картинка оказалась похожей на правду ведь мы знаем, что стоило работать лишь с собственными числами, не меньшими 0,5. Итак, рисунок, полученный сейчас, следует признать более удовлетворительно описывающим реальную картину.

13.5Случай смешанных данных

Выше мы предполагали, что данные о всех объектах носят чисто ка- чественный, нечисловой характер. Но в практических задачах нередко можно встретить сочетание характеристик (см. пример с травматологи- ческим отделением больнице во вводной части главы, посвященной экспертным оценкам и прочим нечисловым данным). Поэтому здесь рассмотрен один из способов присвоения числовых меток категориям объектов, у которых некоторые из показателей числовые.

Предположим, что наши показатели пронумерованы так, что первые из них X(1); :::; X(q) качественные (нечисловые) показатели, причем X(i)

имеет m(i) категорий, i = 1; :::; q. Будем писать Xs(i) 2 (k), åñëè â s-м эксперименте показатель X(i) принял значение из своей k-й категории.

Остальные показатели X(q+1); :::; X(p) являются числовыми.

Данные наблюдений собраны в таблицу из n строк и p столбцов, в каждой строке стоят данные наблюдений, полученные в очередном экс-

перименте над всеми показателями. В первых q столбцах расположены условные обозначения категорий, в которые попал соответствующий этому столбцу признак при проведении эксперимента, его номер совпадает

с номером текущей строки, в следующих p q столбцах значения, принимаемые числовыми показателями. Задача состоит в замене условных

при каждом i = 1; :::; q. Здесь r(s) есть номер категории, который принял i-й признак в s-м эксперименте, т.е. определяется соотношением

(r(s)).

Если после присвоения числовых меток мы хотим заняться исследованием зависимостей между показателями или сокращением размерностей, то нужно подбирать числовые метки, максимизирующие величину

p 1 p

K2 = X X 2(X(i); X(j)); i=1 j=i+1

Очевидно, что когда в выписанной сумме переменная суммирования i

становится больше q, коэффициенты корреляции перестают зависеть от присвоенных меток, поэтому речь может идти только о максимизации

матрица F (i; j), имеющая m(i) строк и m(j) столбцов нормирован-

178 Глава 13. Оцифровка

Рис. 13.1: Изображение категорий величины и доходности. Метод анализа соответствий.

Рис. 13.2: Множественный анализ соответствий таблицы сопряженности в задаче о доходности и размере.

6

Глава 14

Многомерное шкалирование

В обработке данных, особенно в последние десятилетия, выделилось особое направление, которое правильнее всего было бы назвать анализом данных, понимая под этим скорее некоторый качественный процесс, чем определенные вычислительные процедуры. Выше мы уже сталкивались с проблемой анализа данных например, визуального в задачах классификации. Задачи подобного рода решались нами в предыдущей главе, когда для осознания близости определенных качественных, а не числовых объектов, мы ассоциировали эти объекты с некоторыми числами или векторами, сводя тем самым задачу к ранее решенной.

Многомерное шкалирование ориентировано в рамках этого подхода в основном на придание наглядной структуры данным, полученным в результате некоторого эксперимента, т.е. решает задачу, близкую к оцифровке качественных данных. Но здесь, в отличие от ранее рассмотренных методов, в качестве исходных данных рассматривается матрица близостей определенных объектов или категорий одного объекта. Близости эти задаются в некоторой условной шкале балльной относительно некоторого образца или порядковой, т.е. для изучаемых отношений "похожести"объектов задаются их ранги в порядке убывания этой "похожести". Затем при помощи определенных приемов эти близости переводятся в расстояния. Задача многомерного шкалирования считается успешно решенной, если удалось изобразить все данные точками в пространстве относительно небольшой размерности так, чтобы с точки зрения оцененных расстояний геометрическая структура экспериментальных данных подверглась бы минимальным возможным изменениям. Естественно, термин "геометрическая структура"нуждается в уточнении и может в принципе

179