Цифровая обработка сигналов (сборник книг) / Дронов С.В. Многомерный статистическийц анализ, 2003

чтобы, после стандартных сокращений, получить формулу

На практике последним слагаемым обычно пренебрегают в силу его малости. Поэтому справедлива

Теорема 23 Для (чисто) случайного временного ряда из n членов среднее число фаз длины d задается формулой (15.3), а математическое ожидание числа фаз во всем ряду приближенно равно (2n 7)=3.

К сожалению, распределение числа фаз весьма далеко от нормально-

го, и даже не сходится к нему при увеличении n, поэтому на практике применяют следующий критерий: вычисляют по формуле (15.3) число ожидаемых фаз фиксированной длины, затем по наблюдаемым данным подсчитывают фактическое количество таких фаз и сравнивают два получившихся ряда чисел при помощи одного из критериев. Если значи- тельных различий не наблюдается, гипотезу о случайном характере временного ряда следует принять.

Рассмотрим следующий числовой пример, заимствованный из [10, c.476]. В таблице приведены урожайности ячменя в Англии и Уэльсе с 1884 по 1939 годы в центнерах на акр:

Как видно без дальнейших вычислений, любой разумный критерий сравнения двух выписанных числовых последовательностей укажет на их совпадение. Таким образом, наш временной ряд следует признать чи- сто случайным.

Приведем здесь также и вывод критерия подсчета числа экстремальных точек. Внимательное изучение данных приводит нас к выводу, что

имеется e = 34 экстремальных точки. При этом дважды экстремальная точка соседствует с равным ей значением (1906-7 и 1910-11 годах). Тем

самым, мы принимаем n = 54, уменьшая на два общее число членов наблюдаемого временного ряда. Формула (15.2) дает значение t = 1; 09,

которое меньше по абсолютной вели чине, чем например, t0;95 = 1; 64, что дает основание и при работе с этим критерием принять гипотезу о случайном характере наблюдаемого ряда. Заметим, что если бы мы не

уменьшили число n при расчете, формула (15.2) дала бы t = 1; 50, что все равно меньше любого разумного критического, хотя и несколько хуже значения, получившегося у нас.

Признаком случайности ряда будет близость r к нулю, точнее говоря, незначимость его отличия от нуля. Проверку можно осуществлять методами, описанными в разделе 2.3, и, более точно, по формулам в конце подраздела 3.3.1. К сожалению, нужно отметить, что проверка гипотезы случайности только что описанным методом требует гораздо больших вычислений, чем методы, описанные выше. Но этот метод дает и большую информацию в случае, если гипотеза случайности будет отвергнута.

Обратимся снова к примеру с урожайностью ячменя. Ниже приводится таблица рангов урожайностей по годам, упорядоченных в порядке возрастания.

Сумма квадратов разности рангов

корреляции Спирмена r = 0; 41. Как видим, в этом случае коэффициент получился умеренно отрицательным, что дает, в отличие от всех предыдущих методов, основание заподозрить наличие тренда, направленного в сторону уменьшения. Проверка по критерию, описанному в

3.3.1, дает значение критерия Стьюдента T = 3; 30, что дает возможность принять гипотезу о чисто случайном характере временного ряда только на уровне 0,999. При меньших доверительных уровнях гипотеза случайности отвергается, например, двусторонняя критическая точ-

ка распределения Стьюдента с 54 степенями свободы t0;99 = 2; 68. Это означает, что принять гипотезу случайности в этой ситуации мы можем, только если априори верим в нее очень сильно.

15.2.4Коррелограмма

При переходе от чисто случайных временных рядов к рядам, несущим на себе все больший отпечаток зависимости между соседними членами, большое значение имеют так называемые коэффициенты сериальной корреляции. Коэффициентом сериальной корреляции с запаздыванием

k (или с лагом k) называется число

выборочные среднее и дисперсия наблюдаемого ряда.

Последовательность r ; r ; :::r

ного ряда, то же слово употребляют1 2 n 1 называютидля диаграммы,коррелограммойнаглядновременпока--

зывающей зависимость rk îò k. Ясно, что чем больше k (по отношению к n), тем меньшее число слагаемых содержит сумма в числителе (15.7).

Чтобы "уравнять в правах"малые и большие k, предположим, что ряд продолжен циклическим образом, т.е.

un+1 = u1; :::; un+k = uk:

Тогда можно определить

Этот коэффициент называют коэффициентом циклической или круговой сериальной корреляции с лагом k. Åñëè k мало по сравнению с n, òî

коэффициенты обычной и круговой сериальной корреляции с лагом k практически совпадают.

15.3Тренд и сезонность

Наличие тренда (в отсутствие сезонных изменений) предполагает, что наблюдаемый временной ряд может быть записан в виде

ut = f(t) + t; t = 1; :::; n;

ãäå f(:) неслучайная функция, определяющая тренд, а ; :::; довательность независимых одинаково распределенных случайных1 n послевели--

чин, на которую можно смотреть как на чисто случайный временной ряд. Тем самым, понятие тренда можно рассматривать, как некую "основную"составляющую, на которую накладываются нерегулярные колебания.

В ряде практических задач вид функции f известен с точностью до параметров, и тогда оценка этих параметров делается при помощи обыч- ных методов регрессионного анализа об одном особо важном частном случае мы будем говорить подробнее чуть ниже. Иногда же и никаких предположений о виде функции уверенно сделать нельзя. В этом случае принято применять гладкое приближение к истинной функции тренда об этом мы поговорим в подпункте "Сглаживание".

15.3.1Полиномиальные тренды

Здесь мы будем предполагать, что тренд является полиномом степени q:

f(t) = a0 + a1t + ::: + aqtq:

Обычно q бывает мало по сравнению с n. Для оценки коэффициентов

aj; j = 0; :::; q можно воспользоваться обычными методами регрессионного анализа (см. главу 6). Однако там же доказано, что оценки коэффициентов получаются лучше, если данные, по которым производится их оценка, предварительно ортогонализованы.

'j(n; t) = tj + Cj 1(j; n)tj 1 + ::: + C0(j; n); j = 1; :::; (n 1):

При этом мы дополнительно предположим, что '0(n; t) = 1. Ортогональ-

ность 'j(n; t) всем полиномам с меньшими номерами эквивалентна его ортогональности 1; t; :::; tj 1. Поэтому

n

X 'j(n; t)ti = 0; i = 0; :::; (j 1);

i=1

что можно переписать в виде

Формулы (15.8) представляют собой систему уравнений для нахождения Cs(j; n), которая всегда однозначно разрешима. Например, для нахожде-

íèÿ C0(1; n) положим в (15.8) i = 0; j = 1:

nn

XX

C0(1; n) 1 = t;

t=1 t=1

откуда n + 1

C0(1; n) = 2 :

Аналогично, полагая j = 2 и рассматривая i = 0; 1, получаем систему

и т.д. Здесь полезной бывает таблица сумм степеней натуральных чисел, которая приведена ниже.

Запишем тренд через ортогональные полиномы

q

X

f(t) = s's(n; t):

s=0

Все задействованные в наших выкладках коэффициенты связаны формулой

q

X

aj = j + Cj(s; n) s; j = 0; :::; q:

s=j+1

Согласно (6.9) в условиях ортогональности исходных данных, метод наименьших квадратов дает оценки для s

а несмещенной оценкой для дисперсии чисто случайной составляющей (остаточной дисперсии) будет

Здесь использовано обозначение

n

2j = X '2j (n; t):

t=1

Осталось только добавить, что формулы для ортогональных полиномов нетрудно найти в специальной литературе, даже не занимаясь специально решением системы (15.8). См., например, [6, c. 376 и далее].

(Следует иметь ввиду, что в упомянутой книге значения t первоначаль-

но центрируются числом (n + 1)=2). Заметим, наконец, что, поскольку постоянные множители не влияют на условие ортогональности, ортогональные полиномы для удобства вычислений (например, чтобы добиться целых, а не дробных коэффициентов), можно умножать на произвольные числа, каждый на свое.