1. Основні формули з розділу «Механіка»

Середня швидкість і середнє прискорення: ;,

де S - шлях, пройдений точкою за інтервал часу t.

Шлях S, на відміну від різниці координат, x = x₂ – x₁ не може приймати негативні значення, тобто S0.

Миттєва швидкість і миттєве прискорення при прямолінійному русі:

, ,

де Д– вектор переміщення.

Якщо прискорення однакове в усіх точках шляху і в будь-який момент часу, то рух буде рівнозмінним.

Кінематичне рівняння рівномірного руху матеріальної точки вздовж осі х:

,

де x₀ – початкова координата.

При рівномірному русі .

Кінематичне рівняння рівнозмінного руху матеріальної точки уздовж осі X:

,

де х_о – початкова координата рухомої точки у момент часу t = 0;

_о – швидкість точки в даний момент часу;

а – прискорення.

Швидкість і шлях рівнозмінного поступального руху:

.

Швидкість і переміщення при вільному падінні:

,

де g – прискорення вільного падіння.

Кутова швидкість і кутове прискорення при обертальному русі:

; .

Кінематичне рівняння рівнозмінного обертального руху:

Зв'язок між лінійними і кутовими величинами при обертальному русі:

, S – довжина дуги, пройдена точкою, – кут обертання точки, R – радіус обертання точки;

; ;.

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки масою m, що рухається зі швидкістю:

.

Основне рівняння динаміки поступального руху:

.

Сили, що розглядаються в механіці:

а) сила пружності:

,

де k – коефіцієнт пружності; x – абсолютна деформація.

Механічна напруга при пружній деформації тіла: ,

де F - сила, що розтягує або стискає тіло; S - площа поперечного перерізу тіла.

Відносне поздовжнє розтягування (стиснення): ,

де – зміна довжини тіла при розтягуванні (стисненні);- довжина тіла до деформації.

Закон Гука для поздовжнього розтягування (стиснення): ,

де - модуль Юнга.

б) сила тертя ковзання:

,

де µ – коефіцієнт тертя; N – сила нормальної реакції опори.

в) сила гравітаційної взаємодії (сила тяжіння):

,

де G – гравітаційна стала; m₁ і m₂ – маси взаємодіючих тіл; r – відстань між тілами (тіла розглядаються як матеріальні точки);

г) чисельне значення сили, що діє на тіло, яке рухається по дузі кола радіусом R:

.

Закон збереження імпульсу (кількості руху) для замкненої (ізольованої) системи:

,

або для двох тіл (i = 2):

,

де і– швидкості тіл до взаємодії;

і – швидкості тих же тіл після їх взаємодії.

Кінетична енергія тіла:

.

Потенціальна енергія:

а) пружно деформованого тіла:

,

де k – коефіцієнт пружності (жорсткість) тіла; x – абсолютна деформація;

б) тіла, піднятого над поверхнею Землі:

,

де g – прискорення вільного падіння; h – висота тіла над рівнем, прийнятим за нульовий (формула справедлива за умови h<<R_З, де R_З – радіус Землі).

Закон збереження повної механічної енергії (для замкненої системи, де діють консервативні сили):

W = W_к+W_П = const.

Робота А, здійснювана зовнішніми силами, визначається як міра зміни кінетичної енергії системи (тіла): A = W = W₂ - W₁

Робота:

а) постійної сили F:

,

де - кут між напрямами сили і переміщення;

б) пружної сили:

.

Потужність: .

Момент сили відносно нерухомої осі обертання:

M = F d, де d=r∙sinα – плече сили F.

Кінематичне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки:

,

де х – зсув точки, що коливається, від положення рівноваги;

А – амплітуда коливань;

– кругова або циклічна частота;

₀ – початкова фаза коливань;

t – час.

Періодом коливань називається проміжок часу між двома послідовими максимальними відхиленнями фізичної системи від положення рівноваги.

Зв’язок між періодом коливань та циклічною частотою ω:

,

де Т – період коливань точки; v – частота коливань.

Повна енергія точки, що коливається:

W = W_к+W_П = .

Період власних коливань:

а) математичного маятника

,

де l – довжина маятника; g – прискорення вільного падіння;

б) пружинного маятника

де m – маса тіла, що коливається; k – жорсткість пружини.

Довжина хвилі

,

де Т – період коливання;

–швидкість розповсюдження хвилі;

v – частота коливань.

Приклади розв`язування задач

ЗАДАЧА 1

Автомобіль першу половину шляху рухався зі швидкістю 72 км/год. Потім половину часу він рухався зі швидкістю 42 км/год, а іншу половину часу зі швидкістю 30 км/год. Визначити середню швидкість руху автомобіля.

Дано:	Розв'язок: Середня швидкість руху: . Загальний шлях, або. За умовою задачі:, або. Так як, то . Зі співвідношення визначимо.

З урахуванням цього:

t = t₁+ 2t₂ =

визначимо середню швидкість руху:

сер

скоротимо чисельник і знаменник на S₁ i будемо мати:

_сер =

Обчислимо: _сер=

(км/год)

Вiдповiдь: _сер=48 км/год

ЗАДАЧА 2

З яким прискоренням зісковзує тiло з похилої площини з кутом нахилу , якщо з похилої площини з кутом нахилувоно рухається вниз рiвномiрно?

Дано: Розв'язок:

< α < β

а - ?

На тiло дiють три сили: сила тяжiння

сила нормальної реакції опори з боку похилої площини i сила тертя_тер. Якщо по похилiй площинi з кутом нахилу тiло рухається рiвномiрно , то прискорення а = 0 i вiдповiдно:

_тер =0 (1)

Виберемо дві взаємно перпендикулярні вісі координат OX та OY і запишемо рівняння (1) в проекціях на ці вісі:

Так як сила тертя F_тер =,

де - коефіцієнт тертя ковзання, то: F_тер =mg cos.

Підставимо значення F_тер в рівняння (2):

mg sin-mg cos

=0 (4)

з рівняння (4) випливає, що =tg

(5)

Пам'ятаємо, що коефіцієнт тертя залежить від матеріалу стикових поверхонь тіл і тому буде однаковим в першому і другому випадках.

Якщо тіло рухається з прискоренням по похилій площині з кутом нахилу , то на підставі другого закону Ньютона:

_тер; (6)

в проекціях на вісі координат:

ma=mg sin- F_тер (7)

0=mg cos- N (8)

З рівняння (8) маємо: N=mg cos,

з урахуванням цього: F_тер =mg cos.

Підставимо значення з (5):

F =tgmg cos. З (7) будемо мати: ma=mg sin- tgmg cos, або остаточно: a=g sin- gtgcos.

Відповідь: a=g (sin- tgcos).

ЗАДАЧА 3

Радіус малої планети 250 км, середня густина

. Визначити прискорення вільного падіння на поверхні цієї планети.

Дано: Розв'язок:

gn -?

За законом всесвітнього тяжіння на тіло масою m на цій планеті діє сила ,

де G - гравітаційна стала,

G=; m_n - маса планети;

R - радіус планети. Позначимо прискорення вільного падіння на цій планеті g_n. Тоді: , або. Масу планети можна визначити за формулою:, де- об'єм планети.

З урахуванням цього: .

Обчислимо:

Відповідь: g_n = 0,21 .

ЗАДАЧА 4

Снаряд масою m=5 кг, що вилетів з гармати, у верхній точці траєкторії має швидкість =300 м/с. У цій точці він розірвався на 2 осколки, причому більший осколок масоюm₁=3 кг рухається в зворотному напрямку зі швидкістю ₁=100 м/с. Визначити швидкість ₂ другого, меншого осколка.

Дано: Розв'язок:

m=5 кг =300 м/с m1=3 кг 1=100 м/с

2- ?

Запишемо закон збереження імпульсу для непружного удару в умовах даної задачі: m=m₁₁+m₂₂

_В скалярному вигляді: m= –m₁₁+m₂₂. (1)

Масу другого осколка знайдемо за різницею мас снаряду та першого осколка: m₂=m –m₁. (2)

Підставимо (2) в (1): . Зробимо обчислення:(м/с).

Відповідь: ₂=60 м/с.

ЗАДАЧА 5

До нижнього кінця вертикального дроту завдовжки 5 м і площею поперечного перерізу 2 мм² підвішено вантаж 5,1 кг, внаслідок чого дріт видовжився на 0,6 мм. Визначити модуль Юнга для матеріалу дроту.

Дано: Розв'язок:

= 5 м S = 2 мм m = 5,1 кг = 0,6 мм = =	Визначимо механічну напругу: ; визначимо відносне видовження дроту: З формули виразимо модуль Юнга Е: ; Обчислимо: Відповідь:
Е - ?