2.2. Примеры решения задач к разделу «Молекулярная физика и термодинамика»

Пример № 1. 1 кг двухатомного газа находится под давлением р=810⁴ Па и имеет плотность . Найти энергию теплового движения молекул газа при этих условиях.

Дано: m = 1 кг i = 5 р=8104 Па	Решение: Внутренняя энергия газовой системы определяется уравнением U=(1), гдеi – количество ступеней свободы. Уравнение состояния идеального газа имеет вид: pV = RT.
U - ?

Поскольку плотность , тогда p =но(2)

Таким образом из уравнений (1) и (2) имеем

U = . Подставив значения, получаем: U = =Дж

Проверка размерности

Ответ: U = 5  10⁴ Дж.

Пример № 2. Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул кислорода при температуре Т = 273 К?

Дано: T = 273 K μ = 32 ∙10-3 кг/моль	Решение: Наиболее вероятная скорость молекул определяется по формуле: , где R – газовая постоянная, μ – молярная масса.
в – ?

Подставим численные значения:

Ответ:    

Пример № 3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27^оС и давлении 100 кПа.

Дано:	Решение: Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле: (1), где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация, т.е. число молекул в единице объема. Давление связано с концентрацией: , где k – постоянная Больцмана.
<λ>, z - ?

Выразим n:

(2)

Подставим формулу (2) в (1) и получим:

(3)

Число соударений, происходящих между всеми молекулами за 1 с равно:

(4)

где N - число молекул в сосуде объемом V, < z > - среднее число соударений одной молекулы за 1 с.

Число молекул в сосуде равно:

(5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с:

(6)

где <  > – средняя арифметическая скорость молекулы, равная

(7)

Подставим в формулу (4) выражения (5), (6), (7):

Учтем формулу (2):

Проверим справедливость формулы по размерности величин

Подставим числовые значения:

Ответ: ,.

Пример № 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение: Обозначим температуру горячей воды Т₁, холодной Т₂, а температуру смеси Q. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса:

,

где с – удельная теплоемкость, m – масса воды. Тогда:  .

Отсюда температура смеси равна:

(1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды, равно:

.

Элементарное количество теплоты равно:

.

Тогда изменение энтропии, происходящее при охлаждении воды, равно:

.

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды, равно:

.

Изменение энтропии системы равно:

.

С учетом (1) получим:

.

Так как , то, следовательно:и. Тогда, т.е. энтропия возрастает.

Ответ: энтропия возрастает.