1.3. Базовые задачи для самостоятельного решения

1. 1. Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со скоростью ₁ = 80 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью ₂ = 40 км/ч. Какова средняя скорость v движения автомобиля?

Ответ: = 60 км/ч.

2. Тело падает с высоты h = 19,6 м с начальной скоростью ₀ = 0. Какой путь пройдет тело за первую и последнюю 0,1 с своего движения?

Ответ: h₁=0,049 м, h₂=1,9 м.

3. Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением , где С = 0,14 м/с² и D = 0,01m/c³. Через какое время t тело будет иметь ускорение а = 1 м/с²? Найти среднее ускорение а тела за этот промежуток времени.

Ответ: t = 12 c; a = 0,64 м/с².

4. Найти угловую скорость: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах.

Ответ: а) ω = 72,7∙10^-6 рад/с; б) ω = 145,4∙10^-6 рад/с.

5. Найти угловую скорость: а) минутной стрелки на часах; б) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения Т = 88 мин.

Ответ: а) ω = 1,74∙10^-6 рад/с; б) ω = 1,19∙10^-3 рад/с.

6. Какова линейная скорость движения искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращенияТ = 88 мин., если известно, что его орбита расположена на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли?

Ответ: = 7,83 км/с.

7. Во сколько раз угловая скорость часовой стрелки меньше угловой скорости минутной стрелки?

Ответ: .

8. Волчок, вращаясь с частотой 360 об/мин, свободно падает с высоты h = 19,6 м. Сколько оборотов он сделает за время падения?

Ответ: n=12 оборотов.

9. Волчок свободно падает с высоты 4,9 м, вращаясь с периодом 0,02 с. Сколько оборотов сделает волчок за время падения?

Ответ: n=50 оборотов.

10. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением , гдеВ = 2 рад/с и С = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловую скорость ω; б) линейную скорость .

Ответ: а) ω = 14 рад/с; б) = 1,4 м/с.

11. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением , гдеВ = 2 рад/с и С = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловое ускорение ε; б) тангенциальное а_τ и нормальное а_п ускорения.

Ответ: а) ε = 12 рад/с²; б) а_n = 19,6 м/с²; а_τ = 1,2 м/с².

12. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением , гдеС = 5 м/с² и D = 1 м/с³. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

Ответ: F = 2 H.

13. Молекула массой т = 4,65·10^-26 кг, летящая по нормали к стенке сосуда со скоростью = 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы FΔt, полученный стенкой во время удара.

Ответ: FΔt = 5,6·10^-23 Н∙с.

14. Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 4. При каком предельном коэффициенте трения μ тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения μ = 0,03? Какое время t потребуется для прохождения при этих условиях пути s = 100 м? Какую скорость  будет иметь тело в конце пути?

Ответ: μ = 0.06993; а = -3,12·10^-5 м/с²; t = 22,6 c;  = 8,8 м/с.

15. При подъеме груза массой т = 2 кг на высоту h = 1 м сила F совершает работу А = 78,5 Дж. С каким ускорением а поднимается груз?

Ответ: a = 29,4 м/с².

16. Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью ₀ = 54 км/ч, под действием силы трения F_тр = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу А сил трения и расстояние s, которое вагон пройдет до остановки.

Ответ: A = –2,25 МДж; s = 375 м.

17. Камень падает с некоторой высоты в течение времени t = 1,43 с. Найти кинетическую W_к и потенциальную W_п энергии камня в средней точке пути. Масса камня т = 2 кг.

Ответ: W_к = W_п = 98 Дж.

18. Тело массой m = 2 кг движется навстречу второму телу массой m₂ = 1,5 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были ₁ = 1 м/с и ₂ = 2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела после удара, если коэффициент трения μ = 0,05?

Ответ: t = 0,58 c.

19. Найти момент инерции І и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

Ответ: І = 97,36·10³⁶ кг∙м²; L = 7·10³³ кг∙м² /с

20. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой т = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН∙м?

Ответ: ε = 2,35 рад /с².

21. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается уравнением , где В = 8 рад/с². Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Ответ: ε = 2,35 рад /с².

22. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью  = 4 м/с. Найти кинетическую энергию W_к диска.

Ответ: W_к = 24 Дж.

21. Горизонтальная платформа массой т = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой ν₁ =10 об/мин. Человек массой т₀ =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой ν₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Ответ: ν₂ = 22 об/мин.

22. Горизонтальная платформа массой т = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой ω₁ = 10 об/мин. Человек массой т₀ =60 кг стоит при этом на краю платформы. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру? Радиус платформы R = 1,5 м. Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.

Ответ: A ≈ 162 Дж.

23. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой ν₁ = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой ν₂ будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от І₁ = 2,94 до І₂ = 0,98 кг∙м²? Считать платформу однородным диском.

Ответ: ν₂ = 21 об/мин.

24. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой ω₁ = 20 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия W_к платформы с человеком, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от І₁= 2,94 до І₂ = 0,98 кг∙м²? Считать платформу однородным диском.

Ответ: .

25. Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальный оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний T стержня.

Ответ: T = 1,16 с.

26. Обруч диаметром D = 56,5 cм висит на гвозде, вбитом в стенку, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча.

Ответ: T = 1,5 с.

27. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится из положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза φ = 0.

Ответ: t = 2 с.

28. Начальная фаза гармонического колебания φ = 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

Ответ: с.

29. Через какое время от начала движения точка, совершающая колебательное движение по уравнению ,проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Ответ: t = 1 с.

30. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний Т = 2 с, амплитуда A = 50 мм, начальная фаза φ = 0. Найти скорость v точки в момент времени, когда смешение точки от положения равновесия х = 25 мм.

Ответ: = 13,6 см/с.

31.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия колебаний W = 0,3 мкДж. При каком смещении x от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН?

Ответ: x = 1,5 см.

32. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?

Ответ: .

33. Логарифмический декремент затухания математического маятника δ= 0.2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

Ответ: .

34. Найти длину волны λ колебания, период которого Т = 10^-14 с. Скорость распространения колебаний с = 3∙10⁵ м/с.

Ответ: λ = 3 мкм.

35. Найти смещение x от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии в момент времени . Амплитуда колебанийА = 0,05 м.

Ответ: x = 2,5 cм.

36. К пружине подвешен груз массой т = 10кг. Зная, что пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на l = 1,5 см, найти период Т вертикальных колебаний груза.

Ответ: T = 0,78 c.

37. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия колебаний W = 0,3 мкДж. При каком смещении x из положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 22,5 мкН?

Ответ: x = 1,5 cм.

38. Найти скорость  течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время t = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа m = 0,51 кг. Плотность газа ρ = 7,5 кг/м³. Диаметр трубы D = 2 см.

Ответ:  = 0,12 м/с.

39. Какое давление P создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью  = 25 м/с? Плотность краски р = 0,8 ∙ 10³ кг/м³.

Ответ: P = 250 кПа.

40. Шарик всплывает с постоянной скоростью υ в жидкости, плотность ρ которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения F_тр, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести mg, действующей на этот шарик?

Ответ: .