6.. Системи відліку . Натуральні координатні осі

Система відліку — це тіло відліку, пов’язана з ним система координат і засіб для вимірювання часу.

Часто застосовуються інерційні системи відліку, які складаються з тіла відліку, що рухається інерційно, декартової системи координат і вимірювальних засобів, що описуються законами класичної механіки.

Просторова система координат X, У, Z, тіло відліку, з яким вона пов’язана, та прилад для вимірювання часу (годинник) утворюютьсистему відліку, відносно якої розглядається рух тіла (рис. 1.1). 

(1.1)

Тілом відліку називають тіло, відносно якого розглядається зміна положення інших тіл у просторі. 

Систему відліку можна вибрати довільно. У кінематиці всі системи відліку рівноправні. В задачах динаміки можна використовувати будь-які системи відліку, але найбільш зручніінерціальні системи відліку, оскільки в них характеристики руху мають простіший вигляд.

Тіловідліку, пов'язана з ним система координат і прилад для відлічування часу утворюють систему відліку.

7.. Прискорення точки при натуральному способі задання руху

Визначення швидкості та прискорення точки при натуральному способі завдання руху точки.При натуральному способі завдання руху задається траєкторія точки і закон її руху уздовж траєкторії у видіs = f(t).

У цьому випадку значення векторів івизначають за їх проекціями не на осі нерухомої системи відліку Охуz, а на осі рухомої прямокутної системи координат Mnb,щомає початок у точціМ і рухається разом з нею по траєкторії (рис. 1.5). Ці осі є осями натурального тригранника, спрямовані в такий спосіб: вісь М (дотична) – по дотичній до траєкторії у бік додатного відліку відстані s; вісь Мп(головна нормаль) – по нормалі до траєкторії, що лежить у дотичній площині, в бік угнутості траєкторії; вісь Mb(бінормаль) – перпендикулярна до перших двох осей, утворюючи з ними праву систему осей. Тут відповідно орти (одиничні вектори) осей системи координат.

Вектор швидкості при натуральному способі завдання рухуточки буде

(1.17)

де ds– елементарне переміщення точки по дузі траєкторії.

Введемо одиничний вектор , спрямований по дотичній до траєкторії точки у бік додатного відліку відстані s.

Тоді

або, (1.18)

де

, (1.19)

тобто –числове (алгебраїчне) значення швидкості в даний момент часу, яке дорівнює першій похідній від відстані (криволінійної координати) s цієї точки за часом.

Величина, будучи проекцією вектора на дотичну, буде мати знакплюс або мінус: якщо > 0, то швидкістьспрямована у бік додатного відліку відстані s; якщо <0– у протилежну сторону. Отже, знак визначає напрям вектора відносно осі. На рис. 1.5 векторзображений для випадку, коли> 0, тобто напрями вектора й осі збігаються. З (1.18) маємо, що модуль швидкості буде.

1. Рис. 1.5

Визначимо прискорення точки за формулою (1.9), продиференціючи за часом вираз (1.18):

. (1.20)

Знайдемо

,

де – елементарнийкут повороту вектора ; – радіус кривини траєкторії в розглянутій точці.

Підставивши цей вираз в (1.20), маємо

. (1.21)

Отже, прискорення точки дорівнює геометричній сумі двох векторів, один з яких спрямований по дотичній (дотичне прискорення), а другий – вектор спрямований по головній нормалі (нормальне прискорення):

. (1.22)

Площина, що проходить через дотичну і головну нормаль, єдотичною до розташованого в ній вектора прискорення точки.

Проекції вектора на осі натурального тригранникавизначаються за формулами:

. (1.23)

Оскільки складові і взаємно перпендикулярні, для модуля вектораодержимо:

. (1.24)

На підставі формул (1.23) маємо: величина(проекція вектора на напрям) може бути додатною, від’ємною або дорівнювати нулю; величинаа_ппо криволінійній траєкторії завжди додатна, цим визначається, що складова буде завждиспрямована у бік угнутості кривої; величинаа_b(проекція прискорення на бінормаль) дорівнює нулю.

Кут відхилення вектора від нормаліМпвизначаємо за формулою

, (1.25)

його значення може бути в інтервалі .

Якщо < 0, то < 0і вектор відхилений від нормаліМ в сторону, протилежну додатному напряму осі М(рис. 1.6,а);при > 0кут >0 і вектор відхиляється від нормалі занапрямом осі М (рис. 1.6,в);якщо = 0, то = 0і вектор спрямований по нормалі Мп(рис. 1.6,б).

У загальному випадку рухуточки може змінюватися і модуль, і напрям вектора швидкості. Аналіз формул (1.23) приводить до висновку: дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за величиною, нормальне прискорення – зміну напряму вектора швидкості.

а) б) в)