1. Основні задачі, які розв'язуються в математичній статистиці. Характеристика методів розв'язування цих задач. Приклади.

Задачі математичної статистики полягають в тому, що на базі знання властивості підмножини деякої множини, яка називається генеральною сукупністю, зробити висновки всієї цієї множини. Дана множина називається вибіркою з ГС. В ГС нас цікавитимуть одна або декілька сукупностей. Вони утворюю сукупність і являють собою одновимірну випадкову величину.

Приклад

ГС Х- студенти ПНТУ

Х1 – вік студентів (кількість повних років)

Х2 – курс на якому навчається

Х3 – на стипендії чи ні

Х4 – зріст

Задачі МС

1. Визначення закону розподілу ГС

2. Оцінка невідомих параметрів ГС

Після того, як з теоретичних і гіпотетичних міркувань визначається закон розподілу, шукаються її параметри.

3. Перевірка сатистичних гіпотез

Коли невідомим параметрам дано оцінки і перевірка гіпотези, проте чи можна невідомі параметри замінити ціма оцінками.

Окремим видом гіпотез є закон розподілу ГС. При перевірці яких визначається чи узгоджується вибірка гіпотез із визначеними параметрами. Якщо підтверджується, то вона данні працює з випадковою величиною.

Окремими розділами МС є дисперсійний, кореляційний, факторний аналізи. Основними задачами яких є визначення кількісної оцінки зв’язку між факторами та показниками.

2. Варіаційні ряди. Інтервальний і дискретно варйований варіаційні ряди. Вибір початку та довжини першого інтервалу. Приклади.

ГС Х

- вибірка з ГС Х. варіанти Х1,…,Хm множини представлені у вибірці і впорядковані по зростанню.

Х1<…<Xm, m<=n

Xi є ,

Кількості разів з якими зустрічається вибірка називається части варіантів.

ІВР розподілу базуються на неперервно змінному значенні ознаки, що приймає будь-які (у тому числі й дробові) кількісні вирази, тобто значення ознак таких рядів задається у вигляді інтервалу.

Дискретні ряди розподілу засновані на дискретних (перервних) ознаках, що мають лише цілі значення (наприклад, тарифний розряд робітників, число дітей у родині тощо).

Вибір початку та довжини першого інтервалу Вибір початку та довжини першого інтервалу .

3. Емпірична функція розподілу, її властивості, графік для неперервно варйованої та дискретної генеральних сукупностей, зв’язок з властивостями функції розподілу ймовірностей випадкової величини. Знаходження емпіричної ймовірності попадання в інтервал за допомогою емпіричної функції розподілу. Приклади.

Емпірична функція розподілу - це функція розподілу реалізації випадкової величини, яку будують за результатами вимірювань (спостережень).

Нехай маємо випадкову величину , де n - загальна кількість спостережень. Через позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки значення яких менше x. Тоді емпірична функція розподілу буде задаватись як .

Для побудови таблиці значень емпіричної функції розподілу використовують такий метод. Спочатку всі результати спостережень впорядковують за зростанням й визначають їх ранги (порядкові номера в отриманої послідовності). Потім кожному спостереженню приводять у відповідність число .

Графік емпіричної функції розподілу має східчастий вигляд. Із збільшенням кількості спостережень він стає більш гладким, а емпірична функція розподілу наближається до теоретичної функції розподілу генеральної сукупності чи певної теоретичної моделі розподілу.

4. Дискретний варіаційний ряд. Зв'язок із законом розподілу дискретно варьйованої генеральної сукупності. Полігон частот та його зв’язок з полігоном розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини, що являє собою генеральну сукупність. Приклади.

Дискретні ряди розподілу засновані на дискретних (перервних) ознаках, що мають лише цілі значення (наприклад, тарифний розряд робітників, число дітей у родині тощо)

Для побудови дискретного ряду з невеликим числом варіант спочатку виписуються всі ці варіанти та значення ознаки, а потім підраховується частота повторення варіант. Ряд розподілу прийнято оформляти у вигляді таблиці, що складається із стовпчиків (або/та рядків), де в одних представлені варіанти, а в інших — частоти. Для побудови ряду розподілу дискретних ознак, представлених у вигляді інтервалів, необхідно встановити оптимальне число груп (інтервалів), на які слід розбити всі одиниці досліджуваної сукупності.

В випадку дискретного розподілу генеральної сукупності функція розподілу   не має оберненої. Побудова інтервалу довіри все ж виявилась можливою завдяки вдалому підбору деякого досить простого перетворення точкової оцінки,внаслідок якого розподіл наслідку цього перетворення виявився вільним від невідомого параметра. Переглянувши точкові оцінки параметрів дискретних законів розподілу, помічаємо, що перетворень, які б усували параметр, не існує.

Полігон частот — один із способів графічного представлення щільності вірогідності випадкової величини. Є ламаною, сполучаючою крапки, відповідні серединним значенням інтервалів угрупування і частотам цих інтервалів.

5. Інтервальний варіаційний ряд. Визначення довжини інтервалу, повної шкали інтервалів. Гістограма. Побудова наближеного графіку щільності розподілу генеральної сукупності на базі гістограми. Приклади.

ІВР розподілу базуються на неперервно змінному значенні ознаки, що приймає будь-які (у тому числі й дробові) кількісні вирази, тобто значення ознак таких рядів задається у вигляді інтервалу

Для того щоб побудувати інтервальний варіаційний ряд, в першу чергу необхідно вибрати оптимальне число інтервалів і встановити довжину кожного з них. При цьому врахуйте, що довжина інтервалу повинна бути постійною, оскільки при аналізі варіаційного ряду порівнюють частоти з різних груп. Оптимальна кількість груп необхідно вибирати так, щоб відобразити різноманітність ознак сукупності і разом з тим їх закономірне розподіл, а також виключити спотворення сукупності випадковими коливаннями частот. Врахуйте, що якщо груп буде занадто мало, не буде видно закономірність розподілу, а якщо, навпаки, занадто багато - випадкові скачки одиниць сукупності спотворять ряд розподілу.

Для визначення числа груп у варіаційному ряду скористайтеся формулою Стерждеса: h = 1 + 3,322 х ln (n), де h - число груп у варіаційному ряді; n - чисельність сукупності. Якщо отримане значення виявиться дробовим, то за значення величини кроку інтервалу, візьміть будь-яке найближче ціле число .

Потім визначте величину інтервалу: i = (Хmax - Xmin)/h, де Хmax - максимальне значення ознаки в сукупності; Xmin - мінімальне значення ознаки в сукупності.

Далі заповніть кордону інтервалу. Вони можуть зазначатися різними способами: верхня межа попереднього інтервалу може повторювати нижню межу наступного (5-10, 10-15, 15-20) або не повторювати (5-10, 10,1-15, 15,1-20). За початок першого інтервалу А0 приймається таке значення: А0 = хmin - i/2, де i - довжина інтервалу. За кінець j-го інтервалу приймається значення Аj, що представляє собою верхню межу j -го інтервалу і початок (j +1)-го інтервалу: Aj = A (j-1) + i. Побудова шкали інтервалів триває до тих пір, поки величина Аj задовольняє співвідношенню Aj

- перший інтервал.

6. Вибіркове середньо арифметичне (ВСА). Різні формули обчислення ВСА і в яких випадках вони застосовуються. Зміст усіх параметрів формул для довільної вибірки, для вибірки, по якій складено варіаційний ряд. Приклади.

Нехай — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:^[2]

.