1. 3. Векторний спосіб завдання руху точки

ПоложенняточкиМ, щорухається відносно системи відліку Oxyz, можна визначити, задаючи її радіус-вектор ,проведений з початку координат О в дану точку М (рис. 1.1). При русіточкиМ її радіус-вектор буде з плином часу змінюватися замодулем, і напрямом, тобто буде вектором-функцією: . (1.1)

1. Рис. 1.1

Рівність (1.1) визначає положення точки М у просторі, а отже, закон її руху у векторній формі.

Неперервна лінія, яку описує точка, що рухається, відносно даної системивідліку, називається траєкторією точки.Якщо траєкторією точкиє пряма лінія, рухточки називається прямолінійним, а якщо крива – криволінійним.

При векторному способі завдання руху траєкторією точки є геометричне місце кінців її радіуса-вектора (годографа цього вектора).

2. 4.. Координатний спосіб завдання руху точки

Положенняточки в просторі можна визначити також її декартовими координатами х, у, z, які під час руху точки будуть змінюватися з плином часу.

Отже рівняння руху точки в будь-який момент часу має вигляд

(1.2)

Функціональні залежності (1.2) є рівняннями руху (законом руху) точки в прямокутних декартових координатах. Зазначимо, що задати рухточки можна й іншими системами координат, наприклад, полярними, сферичними і т.д.

Рівняння руху (1.2) можна розглядати як рівняння траєкторії точки в параметричній формі, де параметром є час t. Вилучивши з рівнянь руху час , можна визначити рівняння траєкторії в звичайній координатній формі, тобто увигляді залежності між координатами точки.

Перехід від координатного способу завдання рухуточки до векторного, і навпаки, може бути здійснений у такий спосіб.

Задаючи одиничні вектори (орти) координатних осей і позначаючи проекції радіуса-векторана ці осі(рис. 1.1),одержимо для вектора вираз

. (1.3)

Приклад. Нехай рухточки в площиніОхузадано рівняннями

(1.4)

За цих рівнянь можна визначити, що в момент часу точказнаходиться в положенні (0, 0), а у момент часу с – уположенні(2; 1,5) і т.д. Даючи часу t різні значення і зображуючи відповідні положенняточок, можемо побудувати її траєкторію (рис. 1.2).

3. Рис. 1.2

Іншим шляхом траєкторію можна знайти, вилучивши t з рівнянь (1.4). З першого рівняння знаходимо і, підставляючи це значенняt у друге рівняння, одержуємоу = (3/8)х². Отже, точка рухається по дузі параболи, вершина якої розташована на початку координат. Траєкторією руху буде тільки права вітка параболи (оскільки при буде).

2. 5.. Натуральний спосіб завдання руху точки

Цей спосіб завдання руху може бути застосований, якщо заздалегідь відома траєкторія руху точки (наприклад, заздалегідь відома траєкторія, залізничноговагона, що рухається порейках, іт.д.). Нехай крива АВє траєкторією точкиМ щодо системи відліку Oxyz(рис. 1.3). Зазначимо на траєкторії нерухому точкуО', яку приймемо за початок відліку дугової координати s, і домовимося про напрями додатного і від’ємного відліку координати s.

Отже, на рис. 1.3 координата s для точок, щознаходяться на траєкторії праворучпочатку відліку О',буде вважатисядодатною, ліворучО'– від’ємною.

Рис. 1.3

Тоді, щоб визначити положенняточки в будь-який момент часу, треба знати залежність дугової координати від часу:

. (1.4)

Рівняння (1.4) описує закон рухуточкиМ уздовж траєкторії. Зазначимо, що величинаs у рівнянні (1.4) визначаєположенняточки на лінії її руху, через відстань від точки О до точки М, вимірювану уздовж дуги траєкторії і взятуз відповіднимзнаком, а не пройденийточкою, що рухається, шлях.

При натуральному способі завдання руху задається траєкторія точки і закон її руху уздовж траєкторії у видіs = f(t).