2. Пошук вибіркових характеристик

2 Для спрощення розрахунків обчислення вибіркового середнього арифметичного і дисперсії виберемо (дані в таблиці 1) і застосуємо їх у формулах:

,

.

Оскільки наш варіаційний ряд – дискретний, за величину можна взяти серединний елемент вибірки (це медіана вибірки) або варіанту з максимальною частотою (це мода вибірки).

Знайдемо спочатку моду та медіану вибірки , представленої дискретним варіаційним рядом.

Медіана - серединний елемент вибірки, тобто той, справа і зліва від якого в упорядкованій за не спаданням вибірці стоїть однакова кількість елементів. Формула для визначення за впорядкованою вибіркою:

Так, у нашому випадку це буде середина між -им та -им елементами вибірки. За стовпчиком накопичених частот знайдемо варіанти, на які попадають 21-ий та 22-ий елементи вибірки. Це будуть варіанти та , отже, за формулою

Мода - варіанта з максимальною частотою, якщо така варіанта визначена однозначно. У нашому випадку ця варіанта визначена неоднозначно, оскільки максимальна частота – 3 – припадає на варіанти 143, 148, 149, 160, 163. Отже, не визначена. За можна вибрати довільну з указаних варіант або визначену вище . Зручніше вибрати варіанту, найближчу до середини варіаційного ряду. З цих міркувань візьмемо за :

.

Для дискретного варіаційного ряду .

Заповнимо решту стовпчиків таблиці 1, підіб’ємо суму за стовпчиками , .

Після підстановки у формули одержуємо значення вибіркового середнього, дисперсії та середньоквадратичного відхилення:

,

,

.

2 , 2 Аналогічні дії робимо при визначенні основних вибіркових характеристик генеральних сукупностей, представлених вибірками (дані беремо і результати заносимо у таблиці 2,3).

2 для застосування формул обчислення вибіркових статистик виберемо (дані в таблиці 4). і в даному випадку будуть обчислені наближено. Для спрощення розрахунків зручніше, щоб нові варіанти були цілими та дозволяли, по можливості, провести обчислення без застосування електронних пристроїв, тому для інтервальних рядів за пропонується брати варіанту з максимальною частотою. В нашому випадку ця частота – 16, а відповідна варіанта , отже, визначили

.

Визначаємо суму за стовпчиками , , підставимо їх у формули для вибіркового середнього та дисперсії.

Після підстановки у формули одержуємо:

,

,

.

Моду та медіану знайдемо за формулами

,

де - номер модального інтервалу, тобто інтервалу з максимальною частотою (зауважимо, що не визначається, якщо інтервалів із максимальною частотою декілька);

,

де - номер медіанного інтервалу, тобто інтервалу, що містить серединний елемент упорядкованої вибірки. Цей номер визначається за формулою

.

Номер медіанного інтервалу визначаємо за стовпчиком накопичених частот. Бачимо, що до 7-го інтервалу включно є , елементи вибірки, а у 8-ий інтервал попадає 14 елементів і, в тому числі, середина між 63-ім і 64-им елементом упорядкованої вибірки, отже, , .

.

Номер модального інтервалу визначаємо за стовпчиком частот, вибираючи максимальну з них. Оскільки максимальна частота 16 відповідає єдиному інтервалу (7-му), модальний інтервал визначений однозначно , тобто і мода в нашому випадку визначена:

.