Завдання 1.

Первинна обробка вибірок. Варіаційні ряди. Вибіркові статистики. Надійні інтервали математичного сподівання, дисперсії, середньоквадратичного відхилення. Перевірка статистичних гіпотез

Фірма має три торговельні точки, вибіркові значення денних прибутків яких представлені у вибірках (див. таблицю 1 додатків).

1. Первинна обробка вибірок:

   1. за вибірками (- вибірки з генеральних сукупностей (ГС) ( - прибуток по тому магазину, ) скласти дискретні варіаційні ряди (ДВР);

   2. за вибіркою , яка є об’єднанням вибірок і яка представляє собою вибірку з генеральної сукупності - прибуток по одному магазину фірми (без урахування номеру), - інтервальний варіаційний ряд (ІВР) із заданою величиною інтервалу

;

3. для вибірок обчислити відносні та накопичені частоти;

4. побудувати полігон частот для та гістограму для ;

5. скласти емпіричну функцію розподілу для та побудувати графіки емпіричних функцій розподілу для .

2. Пошук вибіркових характеристик генеральних сукупностей по ДВР, складених за вибірками , по ІВР, складеному за вибіркою , знайти наступні вибіркові характеристики:

• вибіркове середнє арифметичне ;

• вибіркову дисперсію ;

• вибіркове середньоквадратичне відхилення ;

• моду ;

• медіану .

3. Оцінки основних числових характеристик генеральних сукупностей . За вибірками обчислити незсунені оцінки:

   1. математичного сподівання ;

   2. дисперсії ;

   3. середньоквадратичного відхилення .

4. Інтервальні оцінки основних числових характеристик генеральних сукупностей за вибірками . Вважаючи генеральні сукупності нормально розподіленими, з надійною ймовірністю знайти надійні інтервали:

   1. Математичного сподівання :

• при відомій дисперсії ;

• при невідомій дисперсії;

2. Дисперсії ;

3. Середньоквадратичного відхилення .

5. Мінімальний обсяг вибірки для пошуку надійного інтервалу математичного сподівання заданої наперед довжини. Вважаючи генеральні сукупності нормально розподіленими, а вибірки з генеральних сукупностей - пробними, з надійною ймовірністю визначити мінімальний об’єм вибірки для пошуку надійного інтервалу математичного сподівання довжини для ; довжини для , якщо

,

1. відоме середньоквадратичне відхилення :

;

2. середньоквадратичне відхилення невідоме.

6. Перевірка статистичних гіпотез про параметри генеральних сукупностей за вибірками . Вважаючи генеральні сукупності нормально розподіленими, за всіма можливими альтернативними гіпотезами перевірити нульові гіпотези:

   1. за вибіркою при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність дисперсії ГС гіпотетичному значенню :

;

2. за вибіркою при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність математичного сподівання ГС гіпотетичному значенню :

,

якщо

а) відоме середньоквадратичне відхилення :

;

б) якщо середньоквадратичне відхилення невідоме;

6.3 за вибірками при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність математичних сподівань , якщо відомо, що генеральні сукупності незалежні, а вибірки - достатньо великі,

;

4. за вибірками при рівні значущості :

   1. перевірити спочатку гіпотезу про рівність дисперсій ;

   2. якщо приймається перевірити також гіпотезу про рівність математичних сподівань , якщо

.

7. Перевірка статистичних гіпотез про розподіл генеральних сукупностей за вибірками . За допомогою критерію згоди Пірсона при рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральних сукупностей , вважаючи всі параметри нормального розподілу невідомими, якщо

.

8. Факторний аналіз (однакова кількість спостережень на кожному рівні фактора). Розглянути наступний фактор – розподіл на окремі магазини. За вибіркою при рівні значущості перевірити гіпотезу про рівність середніх прибутків за всіма магазинами. З цією метою:

   1. перевірити гіпотезу про рівність дисперсій на всіх рівнях фактора: . Якщо вона не приймається, виокремити рівень фактору з відмінною від інших дисперсією і повторити процедуру;

   2. для факторів, стосовно яких підтвердилася гіпотеза про рівність дисперсій, перевірити гіпотезу про рівність математичних сподівань, якщо

.

9. Економічна інтерпретація результатів та розробка рекомендацій. Порівняти очікувані прибутки та стабільність роботи кожного магазину та фірми в цілому, зробити висновки та виробити рекомендації про шляхи вдосконалення діяльності фірми загалом та окремих її магазинів.

Розв’язання

Введемо наступні позначення для завдань, хід розв’язання яких наводиться в даному пункті: - номер завдання, . У цих позначеннях

• 1.3 означатиме, що завдання 1.3 виконується для генеральної сукупності за вибіркою ;

• 1.2 означатиме, що виконується саме це завдання.