Висновок
Отже знайдено оптимальний план. Він єдиний, тому що нульові оцінки мають тільки базисні вектори; він має наступні координати Х3=(1/3; 11/3; 4), а найменше значення цільової функції в області, заданій нерівностями (1.1) є Zmin=1/3 − 11/3 − 3∙4=-46/3=-15,33.
Питання для контролю та самоперевірки 2
2.1 Запис канонічної форми задачі.
2.2 Визначення опорного плану задачі.
2.3 Перевірка плану на оптимальність.
2.4 Побудова нового плану.
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
ВИЗНАЧЕННЯ ОПОРНОГО ПЛАНУ ТРАНСПОРТНОЇ ЗАДАЧІ
Постановка задачі
Є три заводи (А1, А2, А3) з яких потрібно перевезти цукор в чотири крамниці (В1, В2, В3, В4). Запаси цукру на заводах, потреби цукру в крамницях і вартість перевезення 1 т цукру з кожного заводу до кожної крамниці відомі й наведені в табл. 3.1. Розробити такий план перевезень, щоб цукор весь був вивезений з заводів, потреби всіх крамниць задоволені й загальна вартість перевезень була мінімальною.
Розв’язок
Ітераційний процес розв’язку задачі розпочинається з побудови опорного плану. Комірки, в яких знаходяться значення, що відповідають ненульовим перевезенням, називаються зайнятими, інші − незайнятими. Зайняті комірки відповідають базисним невідомим і для не виродженого опорного плану їх кількість повинна дорівнювати m+n−1. Згідно з обмеженнями обчислюються сума потреб і сума запасів, вони однакові, тобто задача закрита.
Існує кілька простих алгоритмів побудови першого опорного плану, це метод північно-західного кута (ПЗК) і метод мінімальної вартості (МВ) та інші.
Таблиця 3.1 − Початкові дані транспортної задачі
|
Завод |
Крамниця |
Запаси пункту | |||
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 | ||
|
A1 |
2 |
3 |
4 |
7 |
20 |
|
A2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
40 |
|
A3 |
4 |
7 |
5 |
6 |
30 |
|
Потреби пункту |
10 |
20 |
30 |
30 |
|
За методом ПЗК в лівому верхньому куті (комірка (1, 1)) записується мінімальний із обсягів запасів чи потреб і відповідно розраховується залишковий запас (потреба). Якщо запаси вичерпані чи потреби пункту задоволені тоді рядок (стовпець) викреслюється. В таблиці, що утворилася, знову в комірку в лівому верхньому куті записується мінімальний із обсягів запасів чи потреб і відповідно розраховується залишковий запас (потреба). Якщо запас і потреба однакові, тоді записується це число, а викреслюється на вибір рядок чи стовпець. Розрахунки виконуються до тих пір, поки не залишиться одна комірка.
В комірку (1, 1) записується 10, це мінімум (В1=10, A1=20), викреслюється стовпець В1 (потреби крамниці задоволені), а залишковий запас на заводі A1з=20−10=10.
В таблиці, що утворилася, в комірку в лівому верхньому куті (1, 2) записується 10, це мінімум (В2=20, A1з=10), викреслюється рядок A1 (запаси заводу вичерпані), а залишкові потреби крамниці В2з=20−10=10.
Далі в комірку (2, 2) в лівому верхньому куті записується 10, це мінімум (В2з=10, A2=40), викреслюється стовпець В2 (потреби крамниці задоволені), а залишковий запас на заводі A2з=40−10=30.
Потім в комірку (2, 3) записується 30 (В3=30, A2з=30), викреслюється (на вибір) рядок A2 (запаси заводу вичерпані), а залишкові потреби крамниці В3з=30−30=0.
В новій таблиці в комірку (3, 2) записується 0, тому що потреби крамниці теж задоволені й викреслюється стовпець.
В останню комірку (3, 4) записується 30 (В4=30, A3=30). Таким чином всі запаси заводів вичерпані, а потреби крамниць задоволені. Результати розрахунків наведені в табл. 3.2. Потім виконуємо обчислення загальної вартості перевезень (Х1) за побудованим опорним планом.
Таблиця 3.2 − Результати розрахунків за методом ПЗК
Опорний план не вироджений, кількість зайнятих комірок дорівнює m+n−1= 3+4−1=6. Загальна вартість перевезень цукру (метод ПЗК):
Х1= 2∙10+3∙10+4∙10+5∙0+6∙30+6∙30 =450.
При визначенні першого опорного плану методом ПЗК не враховуються тарифи перевезень Сij, які впливають на загальну вартість. Цей недолік ліквідовується в методі МВ, де на кожному кроці вибирається комірка з мінімальним тарифом, якщо є кілька тарифів є мінімальними значеннями − вибирається той тариф, що вище, а якщо в рядку їх кілька потім ліворуч. Всі розрахунки виконуються аналогічно методу ПЗК. Отримані результати представлені в табл. 3.3.
Таблиця 3.3 − Результати розрахунків за методом МВ
В комірку (1, 1), яка містить мінімальний тариф С11= 2, записується мінімум серед (В1=10, A1=20), викреслюється рядок (стовпець) з мінімальним значенням, це стовпець В1 (потреби крамниці задоволені), а залишковий запас на заводі A1з=20−10=10. В таблиці, що утворилася, в комірку з мінімальним тарифом 3 (1, 2) записується 10, це мінімум (В2=20, A1з=10), викреслюється рядок A1 (запаси заводу вичерпані), а залишкові потреби крамниці В2з=20−10=10. Потім в комірку (2, 2) з мінімальним тарифом 4 записується 10, це мінімум (В2з=10, A2=40), викреслюється стовпець В2 (потреби крамниці задоволені), а залишковий запас на заводі A2з=40−10=30. Далі в комірку з мінімальним тарифом 5 (2, 3) записується 30 (В3=30, A2з=30), викреслюється (на вибір) рядок A2 (запаси заводу вичерпані) і потреби крамниці задоволені В3з=30−30=0.
В таблиці, що утворилася, в комірку (3, 3) з мінімальним тарифом 5 записується 30 (В3=30, A3=30), викреслюється стовпець В3 (потреби крамниці задоволені) і запаси заводу вичерпані A3з=30−30=0. В останню комірку (3, 4) записується 0 (В4=0, A3з=0). Таким чином всі запаси заводів вичерпані, а потреби крамниць задоволені. Опорний план не вироджений, кількість зайнятих комірок дорівнює m+n−1=3+4−1=6. Загальна вартість перевезень за методом МВ:
Х1= 2∙10+3∙10+4∙10+5∙30+5∙30+6∙0 =390.