Висновок

Розв’язком є значення x₁=3 і x₂=1,5, а значення цільової функції Z=21. Це означає, що для фірми максимальний дохід в 21 тис. грн. забезпечить щоденне виробництво 3 т фарби для зовнішніх робіт і 1,5 т − для внутрішніх робіт.

Питання для контролю та самоперевірки 1

1.1 Запис системи обмежень задачі.

1.2 Побудова багатокутника розв’язків .

1.3 Знаходження точки максимуму (max) чи мінімуму (min).

1.4 Розв’язок системи рівнянь і визначення оптимального плану.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ СИМПЛЕКСНИМ МЕТОДОМ

Постановка задачі

Знайти оптимальний план для задачі лінійного програмування симплексним методом (мінімальне значення лінійної функції Z=x₁-x₂-3x₃) при заданих обмеженнях: x_j≥0, j=1, 2, 3,

(2.1)

Розв’язок

Щоб записати задачу в канонічній формі потрібно нерівності (2.1) перетворити в рівняння за допомогою введення додаткових змінних в ліві частини нерівностей (додатковим змінним в лінійній функції відповідають нульові коефіцієнти). Результатом є система:

(2.2)

x_j≥0, j=1, 2, … , 6.

Яка потім записується в векторній формі:

x₁A₁+x₂A₂+ x₃A₃+x₄A₄+ x₅A₅+x₆A₆=A₀,

.

Одиничні вектори А₄, А₅, А₆ лінійно незалежні та утворюють базис, тобто невідомі х₄, х₅, х₆ є базисними, а всі інші (х₁, х₂, х₃) є вільними.

Якщо вільним коефіцієнтам надати нульові значення можна отримати перший опорний план (розв’язок):

Х₀= (х₁=0, х₂=0, х₃=0, х₄=1, х₅=2, х₆=5).

Він задовольняє обмеженням (2.2), а отже є допустимим.

Для перевірки плану Х₀ складається в ТП Microsoft Excel перша симплексна таблиця (табл. 2.1).

Таблиця 2.1 − Перша симплексна таблиця

В перший стовпець записуються базисні вектори (одиничні), в стовпець “C” значення коефіцієнтів в цільовій функції, які відповідають додатковим змінним, в стовпець “В” значення вільних коефіцієнтів (2.2). Потім записуються коефіцієнти при невідомих для векторів A_j, над ними вводяться відповідні коефіцієнти цільової функції.

Отже таблиця сформована, значення цільової функції обчислюється в четвертому рядку (стовпець “В”) за формулою: . В інших стовпцях обчислюються оцінки, як різниця між сумою добутків значень “C” на відповідні коефіцієнти стовпців A_j та коефіцієнта С_j (верхній рядок) при невідомому x_j у цільовій функції. Якщо всі оцінки від’ємні (додатні для задачі на максимум) тоді це оптимальний план, якщо ні − визначається в цьому рядку максимальне додатне значення (якщо задача на максимум тоді найбільше за модулем від’ємне число). Також, якщо в стовпцях з додатними оцінками тільки від’ємні коефіцієнти тоді Z_min=-∞ (в задачі на максимум у стовпчиках із додатними оцінками, від’ємні числа тоді Z_mах=∞).

В рядку є додатні оцінки, максимальне значення 3 для А₃, а також є додатні коефіцієнти, отже план не оптимальний, потім обчислюється значення цільової функції (Z₀=0).

Щоб отримати новий план потрібно вивести з базису один вектор, а замість нього ввести один з небазисних векторів. Для кожного додатного коефіцієнта в стовпці А₃ обчислюється відношення В_і/а_ij: 1/1 і 5/1, мінімальне з цих чисел вказує на те, що розв’язувальний елемент це 1. Він знаходиться на перетині першого рядка і третього стовпця, тобто рядок і стовпець є розв’язувальними. Таким чином з базису виводиться розв’язувальний рядок А₄, а вводиться розв’язувальний стовпець А₃, записується значення С=-3 і всі коефіцієнти рядка діляться на розв’язувальний елемент. В першому рядку значення 1, в інші рядки А₃ записуються нулі. Всі інші значення обчислюються за правилом прямокутників (метод Жордано–Гауса).

Наприклад, Z₁=1∙0 − 3∙1 = -3.

Далі знаходиться максимальна додатна оцінка і розв’язувальний елемент, який стоїть на перетині другого рядка і другого стовпця, це 1. З базису виводиться рядок А₅, а вводиться А₂, записується значення С=-1, і всі його коефіцієнти діляться на розв’язувальний елемент. Інші значення обчислюються за правилом прямокутників, наприклад, Z₂=1∙(-3) − 3∙4=-15.

На наступному кроці всі дії виконуються аналогічно і будуються третя симплексна таблиця, а потім четверта. В якій у рядку оцінок тільки від’ємні значення, ліворуч одинична матриця тому оптимальним планом є Z₃= Z_min, його координати знаходяться в стовпчику “B”. Всі результати записуються в табл. 2.2, яка є продовженням табл. 2.1.

Таблиця 2.2 − Результати розрахунків