Лабораторна робота № 1
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ГРАФІЧНИМ МЕТОДОМ
Постановка задачі
Фірма виготовляє два види продукції, фарбу для внутрішніх (Р1) і зовнішніх (Р2) робіт, із сировини двох типів − S1 і S2; максимально можливі щоденні витрати сировини, кількість одиниць сировини на виготовлення одиниці продукції, а також величина доходу, який отриманий від реалізації одиниці продукції наведені в табл. 1.1.
Таблиця 1.1 − Початкові дані
Відділ маркетингу обмежив щоденне виробництво фарби для внутрішніх робіт до 2 т (відсутність більшого попиту), а також ввів обмеження, щоб виробництво фарби Р2 не перевищувало більше, ніж на 1 т виробництво фарби Р1 щоденно. Визначити оптимальне (найкраще) співвідношення між видами продукції та скласти такий план випуску продукції, щоб при її реалізації отримати максимальний щоденний дохід.
Розв’язок
В задачі невідомими є щоденні обсяги виробництва фарби Р1 і Р2, вони позначаються відповідно через змінні x1 і x2. Потім будується цільова функція з використанням цих змінних, таким чином відповідно до постановки задачі потрібно максимізувати Z=5x1+4x2.
Обмеження задачі повинні враховувати максимально можливі щоденні витрати сировини, це 6x1+4x2≤24 за сировиною S1 і 1x1+2x2≤6 за сировиною S2 та обмеженість попиту на продукцію, таким чином маємо: x2-x1≤1 і x2≤2. Ще одне неявне обмеження полягає в тому, що невідомі повинні бути додатними числами (умови щодо цілих чисел немає).
Побудована лінійна цільова функція і система обмежень утворюють математичну модель даної економічної задачі. Тоді задачу можна записати так:
, (1.1)
при виконанні обмежень:
(1.2)
Кожне з рівнянь (1.2) визначає півплощину з граничною прямою ai1x1+ai2x2=bi (i=1, 2, … , m), x1=0, x2=0. Лінійна функція (1.1) при фіксованих значеннях Z є рівнянням прямої лінії: C1x1+C2x2=const. Потрібно побудувати багатокутник розв’язків системи обмежень при Z=0, тобто знайти таку точку, в якій пряма лінія є опорною, а функція Z досягає максимуму (max).
Потім будується вектор N, координатами якого є коефіцієнти відповідних невідомих у цільовій функції. Значення Z зростають в напрямку вектора N. Його початок можна розмістити в довільній точці, наприклад в початку координат. Координати іншої точки знаходяться шляхом підстановки x1=0 в рівняння і визначення x2, аналогічно для x2=0 визначається значення x1.
Наступним етапом є побудова лінії рівня функції Z, тобто лінії, в кожній точці якої функція має одне і те саме значення. Ця лінія перпендикулярна до N, її також можна провести через довільну точку, наприклад О. Далі пряму Z потрібно пересунути паралельно до самої себе в напрямку вектора N. Ця пряма (лінія рівня) двічі (перший і останній рази) торкнеться допустимої області спочатку (min), а потім (max). Для знаходження координат точки оптимального розв’язку задачі (max) потрібно розв’язати систему рівнянь, що складається з рівнянь прямих, що перетинаються у відповідній точці. Таким чином графічний метод розв’язання задачі ЛП складається з 2-х етапів:
1) побудова простору допустимих розв’язків, які задовольняють всі обмеження моделі;
2) пошук оптимального розв’язку серед всіх точок простору допустимих розв’язків.
Запропонований алгоритм реалізований для розв’язку задачі, тобто спочатку будуються горизонтальна та вертикальна вісі, це x1 і x2. Обмеження додатності невідомих змінних вказує на те, що область допустимих значень буде вище вісі x1 і праворуч від вісі x2.
Щоб врахувати інші обмеження (1.2) потрібно нерівності замінити рівняннями прямих і побудувати їх на площині. Наприклад нерівність (1) 6x1+4x2≤24 замінюється на рівняння прямої 6x1+4x2=24. Потім визначаються дві точки, через які проходить пряма. Якщо x1=0 тоді x2=24/4=6, аналогічно для x2=0 x1=4, тобто пряма проходить через дві точки з координатами (0, 6) і (4, 0). Кожна нерівність ділить площину (x1, x2) на дві на півплощини і тільки точки однієї на півплощини будуть задовольняти нерівності, “тестовою” точкою може бути точка (0, 0). Допустимі на півплощини вказані стрілочками з номером нерівності (рис. 1.1).
Рис. 1.1 − Простір допустимих розв’язків моделі
Простір допустимих розв’язків обмежений замкнутою ламаною лінією, яка наведена на рис. 1.1 і проходить через точки з координатами (0, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1.5), (4, 0). Він містить безкінечну кількість точок, оптимальне значення цільової функції знаходиться на межі (кутова точка простору), в точці перетину Zmaх та прямих 1 і 2. Тому координати x1, x2 знаходяться з системи двох рівнянь:
6x1+4x2=24,
1x1+2x2=6.
Розв’язок системи можна знайти з використанням вбудованих функцій Microsoft Excel МОБР() і МУМНОЖ().