Функції із с в с. Границя, неперервність

Комплексною функцією комплексної змінної називається функція , у якої область визначеннята множина значеньналежать множині комплексних чисел. Ці функції також можна вважати як відображення ізв.

Частіше за все ми будемо розглядати функції , у яких областю визначення є область.

-окіл –– відкритий круг радіусаз центром.

Означення: Множина називаєтьсяобластю, якщо виконуються наступні умови:

1. кожна точка множини – внутрішня (існує-окіл точки, всі точки якого належать);

2. будь-які дві точки множини можна з’єднати ламаною, всі точки якої належать.

Приклад області:

Однозначна функція комплексної змінної , яка задана в області, визначається законом, який ставить кожномуу відповідність одне визначене комплексне число. Символічно це записується.

Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел, то задання комплексної функції комплексної змінноїеквівалентне заданню двох дійсних, тобто,, визначені в області . При цьому, а.

Приклад: ,, тобто, .

Означення: Однозначна функція називаєтьсяоднолистковою функцією в області , якщо в різних точкахцієї області вона приймає різні значення.

Далі ми будемо вважати, що множина – значень функції– область, тоді рівністьвстановлює закон відповідності між точками областіплощиниі точками областіплощини. Тоді можливо встановити і обернену відповідність – кожнійставиться у відповідність одна або декілька. Це означає, що взадана (однозначна або багатозначна) функція– обернена. Відмітимо, що обернена функція до однолисткової функції – однозначна.

Приклад: , тоді обернена функціяоднозначна функція.

Нехай визначена на області, а– гранична точка.

Означення Коші: називаєтьсяграницею при, якщотаке, щоі такого, щовиконується нерівність

.

Означення Гейне: називаєтьсяграницею при, якщо для будь-якої послідовності, яка збігається до, послідовністьзбігається до. Це записується

.

Теорема: Нехай ,гранична точка області визначення. Тоді для того, щобнеобхідно і достатньо, щоб виконувались співвідношення

, .

Доведеннядив. [2, с. 60].

З цієї теореми слідує виконання всіх властивостей границі функції аналогічні властивостям границі дійсних функцій.

Розглянемо функцію , тоді нескінченно віддалена точкавизначається як точка, що відповідає початку координатпри цьому.

Означення: Функція називаєтьсянеперервною в точці , якщо.

Неперервність веквівалентна неперервності,в точці.

Всі властивості неперервних функцій аналогічні властивостям неперервних функцій дійсної змінної див. [2, 3]. Якщо функція неперервна в кожній точці області , то кажуть, що вона неперервна на області.

Приклад 1

. Знайти образ лінії .

Розв’язання

;

при ,,.

Тоді абоі підставляючи вотримаємо– парабола. Таким чином прямапереходить при відображеннів параболу.

Приклад 2

.

Розв’язання

.

Вправи

1. , ,– ?

2. . Знайти образ .

3. . Знайти образ .

4. . Знайти образ .

5. . Знайти образ .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості

Нехай задана в області.

Означення: Функція має в точціпохідну, якщо існує скінчена границя .

Означення: Функція називаєтьсядиференційованою в точці , якщо приріст функціїв точцімає вигляд

,

де , нескінченно мала більш високого порядку ніж .

Як і у випадку дійсної функції диференційованість в точці еквівалентна існуванню скінченої похідної функції в (див. [2]). Крім того, з диференційованості функції в точці слідує її неперервність в цій точці.

Безпосередньо із означення похідної слідує, що всі властивості похідної функції дійсної змінної виконуються і в нашому випадку.

Приклад 1

, тоді .

Приклад 2

. Знайти .

Похідну знайдемо за означенням

, ,.

тобто границя не існує, а отжене має похідної в точці.

У випадку, коли функція задана в термінах ,, тобто, то диференційованість її, як умова еквівалентна існуванню похідної по, перевірити важко. В цьому випадку корисна наступна теорема.

Теорема. Для того, щоб функція буда диференційованою в точці, необхідно і достатньо, щоб функції, були диференційованими в точці як функції двох дійсних зміннихіта виконувалися умови Коші-Римана:

, .

Доведення див. [1, с. 31] або [2, с. 85], [3, с. 33].

При цьому виконується рівність

.

Означення: Якщо функція диференційована у всіх точках області, тоназиваєтьсяаналітичною в .

Приклад 1

Дослідити на диференційованість .

Розв’язання

, ,, , , тобто . Отже, не диференційована в.

Приклад 2

. Знайти , якщо вона диференційована.

Розв’язання

, , . Оскільки , , то , . З останніх рівностей отримаємо, що

, .

Вправи

Показати, що функції диференційовані

1. .

2. ,

3. ,

Довести, що функції не диференційовані.

4. .

5. .

6. Знайти ,,, при якихбуде аналітичною.

Знайти аналітичну функцію .

7. , .

8. , .

9. .

10. При якому – аналітична?