Зміст

1. Комплексні числа. Алгебраїчна, геометрична, тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами…………………………...3

2. Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд….6

3. Функція з в. Границя, неперервність……………………9

4. Похідна функції комплексної змінної. Умови диференційованості………………………………………………13

5. Геометричний зміст модуля та аргументу похідної комплексної функції……………………………………………..16

6. Означення аналітичної функції. Поняття конформного відображення……………………………………………………...18

7. Лінійна функція………………………………………………...21

8. Дробово-лінійна функція………………………………………22

9. Степенева функція. Поверхня Рімана………………………...25

10. Функція Жуковського………………………………………28

11. Показникова функція комплексної змінно………………..30

12. Тригонометричні функції…………………………………..31

13. Логарифмічна функція. Точка розгалуження…………….34

14. Радикал. Загальна степенева функція……………………..35

15. Обернені тригонометричні функції………………………..36

16. Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру…………………………………………………37

17. Теорема Коші………………………………………………..39

18. Невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца……40

19. Формула Коші. Принцип максимуму модуля…………….42

20. Цілі функції. Теорема Ліувіля. Основна теорема алгебри..44

21. Розкладання функції в ряд Тейлора. Оцінки коефіцієнтів степеневого ряду………………………………………………….45

22. Нулі аналітичної функції. Ізольованість нулів. Теорема єдинності…………………………………………………………..46

23. Аналітичне продовження. Елементарні функції як аналітичні продовження………………………………………….48

24. Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана…………...49

25. Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається…………………………………………………………51

26. Критерій полюса…………………………………………….52

27. Теорема Сохоцького-Вейєрштрасса……………………….53

28. Раціональні і міроморфні функції………………………….55

29. Означення лишка. Обчислення лишків……………………55

30. Основна теорема теорії лишків…………………………….57

31. Застосування теорії лишків до обчислення визначених інтегралів………………………………………………………….59

32. Зразки розв’язування задач з теорії функції комплексної змінної……………………………………………………………..62

33. Контрольні роботи. Денна форма навчання,4 курс, 8 семестр…………………………………………………………….76

34. Контрольна робота з теорії функції комплексної зміної для студентів 4 курсу (заочна форма навчання)…………………...110

35. Література………………………………………………….117

Комплексні числа. Алгебраїчна, геометрична, тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа. Дії над комплексними числами

Комплексні числа складають клас математичних об’єктів, які визначаються описаними нижче властивостями.

Кожному комплексному числу можна поставити у відповідність єдину упорядковану парудійсних чиселтаі навпаки. Сума і добуток двох комплексних чиселівизначаються відповідноі. Дійсні числа– комплексні числа. Уявна одиниця, визначається, тоді, тобто дійсне число. Тому кожне комплексне числоможе бути записане у вигляді сумидійсного числаі чисто уявного числа. Така форма запису називаєтьсяалгебраїчною, при цьому – дійсна частина,– уявна частина.

Геометрично комплексне число можна інтерпретувати, як точку площини з декартовими координатами, або вектор площини з координатами.

З цього легко випливає тригонометрична форма запису комплексного числа

,

де ,

і називається модулем комплексного числа .

;

і називається головним значенням аргументу комплексного числа .

Так як кожній точці на комплексній площині можна поставити у відповідність безліч значень аргументу, які відрізняються на , то

.

Крім того, використовуючи формулу Ейлера , отримуємо показникову форму запису комплексного числа.

Використовуючи різні форми запису комплексних чисел, отримуємо результати дій над числами.

;

, .

Більш детальне викладення цього матеріалу див. [1, 2, 3].

Приклад 1

Обчислити .

Розв’язання

, ,

.

, .

,

,

,

, .

Вправи

1. Виконати дії:

1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

2. Знайти модуль і аргумент та представити в тригонометричній формі:

7) ; 8); 9); 10); 11).

3. Обчисліть:

12) ; 13); 14); 15).

4. Визначте геометричний зміст:

16); 17); 18);

19); 20).

Послідовності і ряди комплексних чисел. Степеневий ряд

Означення: Послідовністю комплексних чисел називається пронумерована нескінченна множина комплексних чисел і позначається символом

.

Означення: Число називаєтьсяграницею послідовності , якщо

, ,

виконується нерівність .

Позначається цей факт символом .

Теорема 1. Необхідною і достатньою умовою збіжності послідовності ,є збіжність послідовностей дійсних чисел,.

Доведення можна знайти в [1, с. 19] .

Приклад: ,,, тоді,,.

Завдяки цій теореми всі властивості збіжних послідовностей дійсних чисел переносяться на випадок комплексних чисел.

Ряд , декомплексні числа, називаєтьсячисловим рядом з комплексними членами і позначається ,– часткова сума ряду.

Означення: Ряд називаєтьсязбіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум . Границяназивається сумою ряду.

З теореми 1 випливає, що ряд збігається тоді і тільки тоді, коли збігаються ряди дійсних чисел,.

При цьому отримуємо: .

Ряди вигляду , ,,називаютьстепеневими рядами з центром . Множину точок, для яких степеневий ряд збігається називають областю збіжності ряду. При цьому областю збіжності степеневого ряду є круг , де,, якщо границя кінцева і відмінна від нуля. Якщо границя дорівнює, то, якщо границя дорівнює 0, то.

Детальне викладення матеріалу можна знайти в [1, 2, 3].

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд та обчислити його суму.

Розв’язання. Ряди і збігаються, так як вони є нескінченно спадними геометричними прогресіями.

.

Приклад 2. Знайти область збіжності ряду .

Розв’язання. ,,,

тобто , відповідно.

Область збіжності круг .

Вправи:

Дослідити збіжність рядів. Знайти область збіжності.

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5.