Практичне заняття №2. Однорідні рівняння

Необхідні відомості: 1. Означення однорідного рівняння та його розвязок.

2. Рівняння, що приводяться до однорідних.

Задачі.

1. Знайти загальні рішення рівнянь.

1) ху′-y=

2) y′=+

2. Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє даним початковим умовам.

(y²-3x²)dy+2xydx=0; y|=1

3. Привести рівняння y′=+ φ() до квадратури. Яка повинна бути функція φ(), щоб загальним рішенням даного рівняння було y=?

4. Знайти лінію, у якої квадрат довжини відрізка, що відтинається будь-якій дотичній від осі ординат, дорівнює добутку координат точки торкання.

5. Знайти лінію, у якої довжина полярного радіуса будь-якої її точки М рівняється відстані між точкою перетинання дотичній у точці М с віссю Оу й початком координат.

6. Розв’язати за допомогою заміни:

1. , 2..

Задачі для самостійної роботи.

Знайти загальні рішення рівнянь.

1. y′=- 2

2.y′=

3. xdx - ydx=ydy

4. y′=

5. y′=+

6. y+ xy′=xyy′

7. y′=+

8. xy′=yln

9. (3y+3xy+x) dx=(x+2xy) dy

Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам.

10.(xy′-y) arctg () =x; y|=0

11. y′=; y|= - 1

12.y + 2x– y=0; y|=

13. Якою поверхнею обертання є дзеркало прожектора, якщо промені світла, що виходять із точечного джерела, відбившись, направляються паралельним пучком?

Знайти розв’язки за допомогою зміни змінної.

14.15.

Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля

1. Лінійні рівняння першого порядку.

Означення. Рівняння виду y′=а(х)у+b(х) називається лінійним рівнянням першого порядку.

Теорема. Нехай а(х), b(х) неперервні на [a, b], тоді задача Коші в будь-якій точці смуги [a,b] має єдине рішення.

Доведення теореми випливає з загальної теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, оскільки f(x,y)=а(х)у+b(х) неперервна на області [a,b], а обмежена (а(х) – неперервна на [a, b]).

Знайдемо рішення рівняння методом невизначених коефіцієнтів. Спочатку вирішимо однорідне рівняння y′=а(х)у, або =a(x)dx. Інтегруючи, будемо мати. Отжеln|y|=∫a(x) dx+lnc, c>0, або y=c_. Рішення лінійного рівняння будемо шукати у вигляді y=c(х) , де c(х) – невідома функція.

Оскільки y=c (х) , то y′= c (х) +c(x) a(x). Підставляючи y та y′ у рівняння y′=а(х)у+b(х) будемо мати c′ (х) +c(x) a(x)=a(x) c(x)+ b (х). Отже c′ (х) = b (х) , або с (х)= ∫ b(х) dx. Таким чином отримаємо розв’язок рівняння у вигляді y(x) = (∫ b (х) dx)∙_.

Приклад. Розв’язати y′=xy+x.

Оскільки а(х)=х, а b(х)= x² маємо y=(∫ x²∙ dx)∙ =(∫ x²∙ dx)∙ _.

2. Рівняння Бернуллі.

Означення. Рівняння виду y′=a(x) y+ b (х) у, n1 називається рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі зводиться, за допомогою заміни невідомої функції, до лінійного рівняння. Представимо рівняння у вигляді =a(x)+ b (х) . Нехай u=, тоді u′= ( 1-n) y′і =u′.

Отже, підставляючи у вихідне рівняння отримаємо u′= a(x)u+ b(х) - лінійне рівняння відносно u.