Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння

1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.

Розглянемо неоднорідне рівняння

Розв’язок шукають у вигляді .

Підставляючи ряд Фур’є замість ,,отримаємо, щозадовольняє рівнянню

,

при чому , задовольняє початковим умовам

що однозначно визначає .

2.Перша крайова задача.

Знайти розв’зок

Введемо невідому функцію за допомогою рівності, дерозв’язок рівняння,

що задовольняє умовам

Виберемо таким чином, щоб,, тобто.

Тим самим загальна крайова задача для зводиться до задачі для функціїз нульовими граничними умовами (див. п.1).

Приклад. Розв’язати задачу:

.

Оскільки

Маємо , дерозв’язки відповідних задач

Знайдемо .

Відповідне характеристичне рівняння для кожного п є , отже для кожногоп, маємо фундаментальну систему розв’язків ;- розв’язок неоднорідного рівняння пришукаємо у виглядіпідставляючидо рівняння отримаємоотже.

Таким чином , та

і

при

.

Отже маємо

Розв’язок задачі має вигляд .

Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння

Необхідні відомості: 1. Перша крайова задача.

2. Вигляд розв’язку першої крайової задачі з нульовими умовами на границі.

3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.

Задачі.

1.1 Струна закріплена на кінцях , має у початковий момент вигляд параболи. Визначити відхилення точок струни від осі ОХ, якщо початкова швидкість відсутня.

1.2 Визначити форму струни у момент , якщо,,

.

2.1 Розв’язати задачу

2.2

Задачі для самостійної роботи.

1.

.

2. Струна закріплена на кінцях ,. У початковий момент має вигляд ламаної, Знайти форму струни в момент, якщо початкові швидкості відсутні.

3.

4. ,

, .

5. ,

6. ,

7.

8. ,,

9. ,

10. ,

Лекція №15. Рівняння параболічного типу

1.Постанова крайових задач.

Враховуючи, що параболічне рівняння описує процес розповсюдження тепла (дифузії) в стержні, то ми отримаємо наступні задачі.

1. Задача з початковою умовою ( у випадку довгого стержня, коли граничні умови не впливають) :

знайти розв’язок параболічного рівняння на області що задовольняє умові.

2. У випадку, коли ділянка, що цікавить, знаходиться поблизу одного з кінців стержня, то розглядають задачу для напівскінченого стержня:

Знайти розв’язок рівняння теплопровідності на області , що задовольняє умови

3. У випадку, коли момент часу, що цікавить, достатньо віддалений від початкового, тоді початкова умова не впливає і розглядають задачу без початкової умови:

знайти розв’язок параболічного рівняння на області , що задовольняє умови:

Можна розглядати і інші варіанти.

Перша крайова задача:

Знайти розв’язок рівняння, що задовольняє початковій умові, та граничним умовам

де - неперервні і.

По відношенню до кожної з задач виникають запитання:

1) єдиності розв’язку,

2) існування розв’язку.

Ситуація аналогічна випадку з гіперболічним рівнянням.

2. Єдиність розв’язку.

Теорема. Якщо функція , визначена і неперервна в замкнутій областіізадовольняє рівнянню, то максимальні (мінімальні) значеннядосягаються або в початковий момент, або в точках границі.

Зауваження: з фізичної точки зору це природно, оскільки немає джерел тепла.

Доведення. Доведемо від супротивного. Нехай , де max обчислюється при, або при, або при, і припустимо щотака, щоє максимальне значення.

Порівняємо значення ів точці. Так як функціяв точцідосягає свого максимального значення , тоі.

Далі, оскільки досягає максимуму в точці, то.

Розглянемо функцію , де. Очевидноі.

Виберемо так, щоб, тобто, тоді максимальне значенняпри, або при, абоне буде перевищувати.

Однак в силу неперервності вона повинна в деякій точцідосягати свого максимального значення, тобто, що.Враховуючи вище сазане маємо, щоі. По аналогії з вище сказанимі

Звідси .

Тобто функція не задовольняє рівняння в точціщо суперечить умові і доводить теорему. Аналогічно доводиться твердження теореми для мінімального значення.

Теорема (єдиності). Якщо дві функції і, визначені і неперервні на області,, задовольняють рівнянню теплопровідності

і то.

Доведення. Розглянемо функцію , тодінеперервна на області; задовольняє рівняння теплопровідності, а також і нульовим початковому та граничним умовам. Звідси, згідно з попередньою теоремою, тобто теорему доведено.

Використовуючи вище вказаний метод, модифікуючи його під ситуацію, можна показати єдиність розв’язку задачі для нескінченної прямої, дивіться [5].