Контрольна робота № 4

І. Для квадратичної форми f знайти:

а) матрицю та її ранг;

б) записати форму f у матричному вигляді;

в) методом Лагранжа привести форму f до нормального виду;

г) знайти лінійне перетворення, що приводить форму f до

нормального виду;

д) з’ясувати, чи є форма f позитивно визначеною.

1. f=x₁²+5x₂²+4x₃²-2x₁x₂+4x₁x₃;

2. f=4x₁²+4x₂²+x₃²-4x₁x₂+4x₁x_3-3x₂x₃;

3. f=x₁²-3x₃²+2x₁x₂-6x₂x₃;

4. f=7x₁²+6x₂²+5x₃²-4x₁x₂-4x₂x₃ ;

5. f=6x₁^2-2x₂²+6x₃²+4x₁x_3;

6. f=2x₁²+5x₂²+x₃²⁺2x₁x₂+2x₂x₃-16x₁x₃;

7. f=x₁²-2x₂²+3x₃²+4x₁x₂-4x₂x₃-8x₁x₃;

8. f=2x₁x₂+3x₂x₃-x₁x₃;

9. f=5x₁x₂-x₂x₃+x₁x₃;

10. f=4x₁²+5x₂²+6x₃²-4x₁x₂+4x₂x₃.

II.Запишіть квадратичні форми з матрицею А, якщо

1. A= ; 2. A= 3. A=

4. A= 5. A=6. A=

7. A= ; 8. A=9. A=

10. A=

Знайти ортогональні перетворення, що приводять квадратичні форми задані в евклідовому просторі ₃ до канонічного виду. Записати цей канонічний вид.

1. f=2x₁x₂+x₂²+x₁²+x₃ ² +4x₁x₃+2x₂x₃;

2. f=11x₁²+5x₂²+2x₃²+16x₁x₂+4x₁x₃-20x₂x₃;

3. f=x₁²+x₂²+5x₃²-6x₁x₂+6x₁x₃ –6x₂x₃;

4. f=x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂+4x₁ x₃+4₂x₃;

5. f=17x₁²+14x₂²+14x₃² –4x₁ x₂-4x ₁x₃-8x₂ x₃;

6. f=6x₁²+5x₂²+7x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃ ;

7. f=4x₁²⁺x₂²+x₃²-4x₁x₂+4x ₁x₃-3x₂x₃;

8. f=x₁²+2x₂²+3x₃²-4x₁x₂-4x₂x₃;

9. f=2x₁²+x₂²-4x₁x₂-4x₂x₃;

10. f=5x₁²+7x₂²+6x₃²-4x₁x₃+4x₂x₃.

IV. Записати канонічне рівняння поверхні другого порядку, визначити її тип та знайти канонічну систему координат.

1. x₁²+y²+z₃²+2xy+4xz+2yz-6x+8y-2z-5=0;

2. 11x²+5y²+2z²+16xy+4xz-20yz+4x-6y+8z+1=0;

3. x₁²+y²+5z²-6xy+6xz-6yz-2x+4y-6z-4=0;

4. x²+y²+z²+4xy+4xz+4yz-6x+4y-2z-1=0;

5. 17x²+14y²+14z²-4xy-4xz-8yz-2x+6y-8z-4=0;

6. 6x²+5y²+7z²-4xy+4xz-8x+2y-2z+3=0;

7. 4x²+y²+z²-4xy+4xz-3yz+4y-6z+2y-4=0;

8. x²+2y²+3z²-4xy-4yz+2y+4z-2x+1=0;

9. 2x²+y²-4xy-4yz+2x-2y+6z-2=0;

10. 5x²+7y²+6z²-4xz+4yz-4x-2y+8z-2=0;

Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4 і. Для квадратичної форми fзнайти:

а) матрицю та її ранг;

б) записати квадратичну форму у матричному вигляді;

в) методом Лагранжа привести форму f до нормального виду;

г) знайти лінійне перетворення, що приводить форму f до

нормального виду;

д) з’ясувати, чи є форма f позитивно визначеною.

Розв’язання:

Нехай f=2x₁x₂-12x₁x₃-x₂²-8x₃²;

а) Знаходимо матрицю А форми f:

A==

Обчислюємо ранг матриці А.

A=~~ r=3.

б) Запишемо квадратичну форму f у матричному вигляді:

Нехай Х=, тодіX^T=(х₁,х₂,х₃) і f=X^T·A·X

Дійсно, Х^Т·А·Х=(х₁,х₂,х₃)··.

в) Методом Лагранжа перетворюємо квадратичну форму f до нормального виду.

1-е перетворення:

За допомогою 1-го перетворення виділяємо квадрат невідомого х₂.

Матриця цього перетворення Q=.

Знаходимо матрицю, обернену до матриці Q

Q/E=~

отже, G^-1=, тоді (Q^-1)^T=

Знаходимо матрицю форми f₁, яка одержується з матриці форми f в результаті лінійного перетворення з матрицею Q:

=^T·A_{f ·}Q^-1

=··=.

За одержаною матрицею записуємо формулу f₁:

f₁=y₁²-y₂²-8y₃²-12y₁y₃.

2- перетворення:

, за допомогою якого виділяємо

квадрат невідомого у₁. Його матриця .

Знаходимо тоді.

Обчислюємо матрицю ·.

··=.

Матриці відповідає квадратична формаf₂:

=z₁²-z₂²-44z₃², яка має канонічний вид.

Зводимо форму f₂ до нормального виду за допомогою лінійного перетворення: Його матриця , тоді .

Тоді

··=.

Отже, f₃=t₁²-t₂²-t₃² – нормальний вид форми f.

,

тоді

д) З’ясуємо, чи є позитивно визначеною квадратична форма f. Квадратична форма f не буде позитивно визначеною, оскільки її другий головний мінор від’ємний.

II. Записати квадратичну форму з матрицею А =

Розв’язання:

Матриці А відповідає наступна квадратична форма f:

f=5x₁²+x₂²+5x₃²+4x₁x₂-8x₁x₃-4x₂x₃.

III. Ортогональним перетворенням невідомих звести до канонічного виду квадратичну форму f=6x₁²+5x₂²+7x₃²-4x₁x₂+4x₁x₃.

Розв’язання. Матриця даної квадратичної форми f має вигляд:

А=, її характеристична матриця А- λE =.

Розв’яжемо характеристичне рівняння:

|A- λE |=0;

Власні числа цієї матриці λ₁=3; λ₂=6; λ₃=9.

Знаходимо власні вектори, що відповідають цим власним значенням. Для цього розв’яжемо систему лінійних однорідних рівнянь:

(A-λ_iE)·X=0

Нехай λ₁=3. Тоді відповідна система однорідних рівнянь

рангу 2 має фундаментальну систему розв’язків, що складається з одного вектора який є власним вектором, відповідним власному значенню λ₁=3.

Нехай λ₂=6; одержуємо систему однорідних рівнянь

Розв’язавши її, знаходимо власний вектор ,

Нехай λ₃=9. Відповідна система лінійних однорідних рівнянь

має фундаментальну систему розв’язків, що складається з вектора

, який і буде власним вектором, відповідним власному значенню λ₃=9.Одержана система векторів ортогональна, отже, лінійно незалежна і тому є одним з базисів трьохвимірного векторного простору. Нормуємо її, відповідні ортонормовані власні вектори

є ортонормованим базисом, в якому задана квадратична форма має канонічний вид:

f₁=3y₁²+6y₂²+9y₃².

Відповідне лінійне перетворення координат має вигляд:

х₁=-y₁-y₂+y₃;

х₂=-y₁+y₂-y₃;

х₃=y₁+y₂+y₃.

IV. Записати канонічне рівняння поверхні другого порядку, визначити її тип та знайти канонічну систему координат:

6х²+5y²+7z²-4xy+4xz-2x+6y-4z-1=0.

Розв’язання. Квадратична частина многочлена лівої частини рівняння має вигляд:

f=6х²+5y²+7z²-4xy+4xz, її матриця А=має власні числа=3;=6;=9.

Відповідні ним ортонормовані власні вектори:

Виконаємо ортогональне перетворення невідомих за формулами:

Одержуємо:

.

-1=0;

;

Виконаємо перетворення зсуву за невідомими x₁, y₁, z₁.

Друге перетворення координат має вигляд:

Одержуємо:

або - канонічне рівняння еліпсоїду.

Остаточне перетворення координат:

Канонічна система координат: