Контрольна робота № 8.

1. Розв`язати конгруенції:

   1. ,

   2. (mod 5),

   3. (mod 7),

   4. (mod 11),

   5. (mod 11),

   6. (mod 3),

   7. (mod 5),

   8. (mod 5),

   9. (mod 5),

   10. (mod 5).

2. Розв`язати конгруенції, звівши їх до двочленних:

   1. (mod 5),

   2. (mod 17),

   3. (mod 31),

   4. (mod 41),

   5. (mod 47),

   6. (mod 13),

   7. (mod 23),

   8. (mod 5),

   9. (mod 7),

   10. (mod 7).

3. Користуючись критерієм Ейлера знайти всі квадратні лишки за модулем:

   1. 5;

   2. 7;

   3. 11;

   4. 13:

   5. 17;

   6. 23;

   7. 37;

   8. 53;

   9. 19;

   10. 43.

4. Знайти порядок числа a за модулем m, якщо:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	5	2	4	10	2	7	3	4	5	5
m	13	5	5	13	17	43	7	7	7	11

5. Знайти всі первісні корені за модулем m:

варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
m	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41

5. Розв`язати конгруенції:

   1. (mod 7),

   2. (mod 13),

   3. (mod 23),

   4. (mod 31),

   5. (mod 37),

   6. (mod 61),

   7. (mod 73),

   8. (mod 73),

   9. (mod 73),

   10. (mod 79).

7. Знайти найменше натуральне число x, яке задовольняє наступній конгруенції:

   1. (mod 13),

   2. (mod 17),

   3. (mod 31),

   4. (mod 31),

   5. (mod 31),

   6. (mod 37),

   7. (mod 41),

   8. (mod 43),

   9. (mod 53),]

   10. (mod 67).

8. Знайти остачу від ділення;

   1. на 35;

   2. на 29;

   3. на 37;

   4. на 29;

   5. на 67;

   6. на 73;

   7. на 79;

   8. на 89;

   9. на 629;

   10. на 135.

Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8

1. Розв`язати конгруенцію:

(mod 5).

Розв`язання.

Конгруенцію замінимо еквівалентною їй конгруенцією степеня не вище 4 за тим же самим модулем 5.

Поділимо на. Дістанемо

Замінивши всі коефіцієнти остачі найменшими лишками за модулем 5, дістанемо, що дана конгруенція еквівалентна конгруенції (mod 5). (1)

Замінимо цю конгруенцію еквівалентною їй конгруенцією із старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1. Розв`яжемо конгруенцію:

(mod 5).

Додамо до правої частини модуль:

(mod 5).

Обидві частини ділимо на 3:

(mod 5).

Домножимо конгруенцію (1) на 2:

(mod 5).

Останню конгруенцію замінимо еквівалентною їй:

(mod 5). (2)

Оскільки(mod 5), то (x, 5)=1, а тому (mod 5). Тоді конгруенція (2) матиме вигляд (mod 5). (3)

Оскільки (x, 5)=1, то обидві частини конгруенції (3) можна скоротити на x:

(mod 5) (4)

Конгруенція (4) має такі розв`язки:

(mod 5) і (mod 5).

Отже, конгруенція (1) має розв`язки:

2; 3 (mod 5).

Зауваження: Замість того, щоб ділити на, можна було б замінитина, деr – остача від ділення s на 5-1= 4, причому якщо s ділиться на 4, то покладаємо r=4. Тоді

(mod 5);

;

;

.

Отже, .

2. Розв`язати конгруенцію, звівши її до двочленної: .

Розв`язання.

Для простого модуля старший коефіцієнт взаємнопростий з ним. Визначимо множник k так, щоб . Матимемо . Домножаючи обидві частини заданої конгруенції на 10 за модулем 13, дістаємо

,

або .

Виділимо в лівій частині цієї конгруенції повний квадрат

,

або .

Остаточно .

Отже, або.

2. За критерієм Ейлера знайти всі квадратні лишки за модулем 11.

Розв`язання.

За критерієм Ейлера при простому непарному p число a є квадратичним лишком за модулем p тоді і тільки тоді, коли , і квадратичним нелишком тоді і тільки тоді, коли.

Отже, для розв`язання задачі випробуємо числа 1, 2, 3, .., 10 за допомогою критерія Ейлера. Маємо

, тоді

(mod 11).

Тому числа 1, 3, 4, 5, 9 – квадратичні лишки за модулем 11.

2. Знайти порядок числа a = 2 за модулем m = 15.

Розв`язання.

Щоб знайти порядок числа a за модулем m, необхідне виконання таких вимог:

1. (a, m)=1;

2. - дільник числа ;

3. - найменше з тих натуральних чисел k, для яких виконується конгруенція .

Маємо (2, 15)=1; знаходимо :

=.

Отже, міститься серед чисел 1, 2, 4, 8. Записуємо послідовно:

,

,

.

Отже, =4.

2. Знайти всі первісні корені за модулем m=7.

Розв`язання.

Первісних коренів за простим модулем m=7 є . Вони містяться серед чисел:

.

Оскільки m-1=6 у канонічному розкладі має вигляд , то досліджувати слід числа видуі, тобто числаі. Де.

Знайдемо перший первісний корінь. Перевіряємо число 2.

,

.

Оскільки 3<6, то 2 не є первісним коренем за модулем 7.

Тоді . Отже, порядком числа 3 є 6, тобто 3 є первісним коренем за модулем 7.

Другий первісний корінь міститься серед чисел виду , де (k, m-1)=(k, 6)=1 і 1<k<6/

Цій умові задовільняє тільки число k=5. отже, другим первісним коренем є число . Оскільки, то первісними коренями за модулем 7 є числа 3 і 5.

2. Розв`язати конгруенцію . (1)

Розв`язання.

Беремо індекси від обох частин конгруенції

.

За таблицею індексів маємо:

; і тому

, або

(2)

Дістали лінійну конгруенцію відносно indx. Розв`яжемо її. Оскільки (18, 22)=2 і 4 ділиться на 2, то ця конгруенція має 2 розв`язки.

Скоротимо спочатку обидві частини і модуль на 2:

.

До правої частини додамо число –11:

.

Скоротимо обидві частини на 9:

.

Дістаємо розв`язки конгруенції (2):

,

.

За таблицею антиіндексів знаходимо відповідні два значення невідомого x:

, .

2. Знайти найменше натуральне число x, яке задовольняє наступну конгруенцію .

Розв`язання.

Індексуємо конгруенцію:

.

За таблицями індексів:

;

, одержуємо

.

, або приk=0, 1, 2, ..

2. Знайти остачу від ділення на 35.

Розв`язання.

Скористаємося теоремами Ейлера і Ферма.

; (13, 35)=(12, 35) = 1, тому .

Тоді .

Отже, при діленні на 35 число дає остачу 11.