5. Содержание дисциплины (модуля) «Математика».

Наименование темы. Форма и ее описание.

Тема 2. Определители и их свойства:

Круглый стол. Аргументировать свои соображения и излагать мысли о нескольких взаимосвязанных по содержанию списков, состоящих из одинакового количества чисел. Студенты называют, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом месяце квартала или нормы затрат ресурсов нескольких видов на производство продукции. Основываясь на этих примерах, приведенных студентами в ходе тематической дискуссии в группе, преподаватель делает вывод о том, что такие числовые данные удобно записывать в виде прямоугольных таблиц, которые называются матрицами, состоящими из m строк и n столбцов. Эти числа таблицы называются элементами матриц. В ходе беседы студенты обосновывают, аргументируют свои соображения о практическом применении квадратной матрицы, введя новое алгебраическое понятие определителя (или детерминанта), которое обозначается как |А|; det А или ∆.

Основываясь на результатах дискуссии студентов за круглым столом, преподаватель делает вывод о том, что определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1) ^n+m, где n-число строк, m-число столбцов определителя. Для закрепления данной темы преподаватель совместно с группой решает следующую задачу:

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей А=). Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей – строкой В= (10 15).Нужно определить общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида,200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида.

Тема 3.Обратные матрицы:

Проблемностьв изучении данной темы (выделение проблемы, поиск путей ее решения, выявление и разрешение противоречий).

Матрица А^-1называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица Е, т.е. А^-1·А = А·А^-1=Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную матрицу А^-1и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Почему? Возникла проблема. На основе коллективного обсуждения данной проблемы приходим к выводу: действительно, А^-1=, т.е. необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является требование, чтобы |А|≠0. Если определитель матрицы |А|≠0, то такая квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если |А|=0, то такая матрица называется вырожденной или особенной. Таким образом, студенты выясняют, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы А^-1является то, что исходная матрица А должна быть невырожденной, т.е. |А|≠0. Исходя из полученных выводов, преподаватель формулирует алгоритм вычисления обратной матрицы:

1.Вычисляем определитель исходной матрицы ∆= |А|=det А. Если ∆=|А|=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы А^-1не существует. Если ∆=|А|≠0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А^-1существует.

2.Находим матрицу А′, транспонированную к А.

3.Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы

А′ _ij= А _ij(i=1,2,3…n;j=1,2,3…n) и составляем из них присоединенную матрицу Ã: ãij= А′ij= Ãij(i=1,2,3…nиj=1,2,3…n).

4.Вычисляем обратную матрицу по формуле А^-1=·Ã.

5.Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из А^-1·А= А^-1·А=E.

Далее студенты определяют матрицу, обратную к данной матрице A=.

Тема 4. Использование алгебры матриц на практике:

Творческое задание -это учебное задание, которое требует от студента не простого воспроизводства информации (знаний и умений) и содержит несколько подходов решения. Например: Решить систему линейных уравнений

методом Гаусса и правилом Крамера, используя матрицы и

Тема 5. Системы линейных уравнений:

Мозговой штурм, который используется на предприятиях для поиска нетрадиционных решений различных задач, также часто используется при тупиковых и проблемных ситуациях.

Учебной группе предлагается следующая экономическая задача: найти оптимальный план перевозок машин, если с двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых составляют 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй - 150 машин. В таблице даны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство:

Студенты предлагают различные методы решения задачи: составление уравнений, выражающих зависимость количества машин, поставляемых с 1 и 2 заводов первому и второму автохозяйству, потребности которых, соответственно равны 200 и 300 машин. Для активизации процесса генерирования идей студентами в ходе «штурма» (определение формул зависимости) преподаватель использует некоторые интересные приемы:

-инверсия (сделай наоборот), т.е. по затратам определить количество выпускаемых машин каждым заводом,

-аналогия (сделай так, как это сделано в таблице), т.е. определить зависимость между затратами на перевозку в автохозяйство и количеством выпускаемых машин каждым заводом (350 и 150) машин и потребностью каждого автохозяйства (200 и 300) машин,

- эмпатия (т.е. считайте себя участником данной задачи: работником 1 и 2 завода и 1 и 2-го автохозяйства и попытайтесь найти оптимальный план перевозок автомашин с заводов на автохозяйства:1 и 2). Далее преподаватель совместно со студентами составляет систему уравнений:

Решая данную систему уравнений методом Гаусса (метод треугольника), находим:

x₁₁=5,x₁₂=300,x₂₁=150,x₂₂=0. Т.к. ранг матрицы = 4, т.е. m =n=4, поэтому система имеет единственное решение.

Тема 6. Матричная форма системы уравнений:

Творческое задание - это выполнение группового творческого проекта, например, использование матричной формы системы уравнений для рассмотрения процесса производства за некоторый период времени (например, год). Для решения данной задачи студенты используют знания по экономике: х_i– общий (валовой) объем продукцииi-ой отрасли (i=1;2;3;…n); х_ij- объем продукции i-ой отрасли,потребляемой j-ой отраслью в процессепроизводства (i,j=1;2;3;...n); y-объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

В процессе выполнения творческого задания студенты выясняют, что валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, т.е. х_i=х _ij+ у _I , где i=1,2,3,...n.

Преподаватель уточняет, что эти уравнения называются соотношениями баланса. Введем коэффициенты прямых затрат: а_ij=, (где I; j=1,2,…n), которые показывают затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Коэффициенты а_ij

будут постоянными, и это означает, что материальные затраты линейно зависят от объема валового выпуска, т.е. х _ij= а _ij·х (i; j=1,2,..n). Тогда модель межотраслевого баланса примет следующий вид:

х _i=(а _ij·х _j+у _i) , где i=1,2,3,...n.

Используя матричную форму системы уравнений, можно записать

X=;A=иY=,

где X- вектор валового выпуска,Y-вектор конечного продукта, А-матрица прямых затрат (технологическая и структурная матрица). Поэтому для любого вектора конечного продуктаYможно найти необходимый объем валового выпускаXпо формуле:

X=(Е-А) ^-1·Y, гдеS=(E-A) ^-1 - матрица полных затрат,

где Е=-единичная матрица.

Тема 7. Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами:

Метод проектов - выполнение индивидуального и группового творческого задания по сложению и умножению векторов. Основываясь на школьных знаниях студентов преподаватель делает вывод о том, что вектором называется направленный отрезок, где точка А означает начало вектора, точка В – его конец. В процессе группового обсуждения множества n-мерных векторов определяются основные свойства линейных действий над векторами:

1. Сложение векторов

1) +=+(коммутативность)

2) + (+) = (+)+(ассоциативность)

3) +0 =

2.Умножение вектора на число:

4) λ·ϻ() =λ(ϻ· ) (ассоциативность)

5) λ(+) =λ·+ λ·(дистрибутивность)

6) (λ+ϻ) =λ·+ϻ·(дистрибутивность относительно сложения чисел)

7) 0·=

8) λ·=

9) -=+(-1)·

После группового изучения основных понятий и операций над векторами произведение векторов: ·=||·||·cosφ и ·=||·||·sinφ

где φ-угол меду векторами и .

Индивидуальные творческие задания студентам: установить, компланарны ли векторы ,,, если:

1) ={2;3;-1}; ={1;-1;3}; ={1;9;-1}.

2) ={3;-2;1};={2;1;2}; ={3;-1;-2}.

3) ={2;-1;2};={1;2;-3}; ={3;-4;7}.

Групповое творческое задание студентам: вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2,-1,1), В (4,1,-2), С (4,1,3).

Тема 9. Элементы аналитической геометрии. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка:

Дискуссия -всестороннее обсуждение(коллективное) данной темы в группе. На основе знаний по математике (средняя школа) преподаватель ставит вопрос пред студентами, как можно представить линию на координатной плоскости. Студенты в ходе дискуссии уточняют, что линию на координатной плоскости можно задать уравнением с 2 переменными, как f (х;у) и множеством решений (х;у) которого является множество координат точек данной линии. Преподаватель дополняет что, иными словами, если точка М (х;у) лежит на линии, то координата любой точки М (х;у) удовлетворяют уравнению f (х;у)=0, а если она не лежит на этой линии, то координаты точки не удовлетворяют данному уравнению. Студенты уточняют, что уравнение прямой линии, проходящей через точку В (0;в) и составляющей угол с осью ох, равный ϕ определяется формулой:. Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомkи начальной ординатой у₀=bпри х=х₀=0. Преподаватель разъясняет, что общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ах+Ву+С=0, где А,В,С- действительные числа, при этом А,В одновременно не равны нулю, т.е. А²+В²≠0.

Преподаватель спрашивает, как найти угловой коэффициент (k) прямой, проходящей через 2 данные точки А (х₁; у₁) и В (х₂;у₂), где х₁≠х₂? Коэффициент этой прямой (k) можно найти по формуле:

k=и из общего уравнения прямойk=tgх=. Тогдаk=tgх==.

Далее преподаватель дает задание для самостоятельного определения студентами уравнения прямой на плоскости: в прошлом году средняя цена данного товара была 30 руб., а в настоящем году 36 руб. Найти зависимость цены товара от номера года при условии, что тенденция роста цены сохранится, т.е. цена будет увеличиваться ежегодно на одну и ту же величину. Составить прогноз цены на 5 лет вперед.

Решение: , отсюдаy=30+(х - х)=

Тема11.Понятие числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями:

Методика «Попс-формула», которая позволяет студентами аргументировать свою точку зрения по решению своей точки зрения. Попс-формула состоит из 4-ех элементов

1) П - позиция (в чем заключается сущность вашей точки зрения);

2) О - обоснование (довод в поддержку вашей позиции)

3) П - пример (факты , иллюстрирующие довод);

4) С - следствие (вывод).

Индивидуальное задание студентам, которое нужно выполнить с использованием методики «ПОПС-формула»:

Дана формула общего элемента последовательности x _n=. Вычислить пять первых членов последовательности.

Тема 12.Сходящиеся последовательности:

Групповое обсуждениепо теме «Сходящиеся последовательности» направлено на нахождение предела последовательности его частичных сумм, т.е. S_n=S.

Например, исследовать путем группового обсуждения сходимость геометрического ряда, т.е. числового ряда, составленного из членов геометрической прогрессии:

b₁+b₁q+b₁q²+…b₁q^n-1+…+=

Используя знания школьного курса алгебры, студенты объясняют, что сумма n-членов геометрической прогрессии, т.е. n-я частичная сумма ряда при q≠1 равна S=

В ходе обсуждения студенты выявляют, что здесь возможно несколько случаев:

1) Если |q|<1, то S_n==, т.к. qⁿ=0;

2) Если |q|>1, то qⁿ=∞,следовательно S_n=∞, тогда последовательность чисел расходится;

3) Если q=1, то S_n==n·b₁и S_n=n·b₁=∞;

4) Если q=-1, то S_n=, при n-четном; и S_n=приn-нечетном.

Таким образом, геометрически ряд сходится к сумме S=при |q|< 1 и расходится при |q|≥1.

Обобщая результаты группового обсуждения студентов, преподаватель делает вывод: если числовая последовательность сходится, то предел его общего члена U_nприn→∞ равен нулю, т.е. U_n=0 (необходимое условие числовой последовательности).

Тема 14.Предел функции. Методы вычисления пределов функций:

Интерактивный подход-фокус-группа -это сообщество студентов, объединенных в группы по определенным критериям , например, по результатам оценок, поученных ими в ЕГЭ в средней школе по математике (1 подгруппа – отличники;2 подгруппа-студенты, получившие на выпускных экзаменах оценки «хорошо»). Например, используя определение, что число А называется пределом функции f (х) в точке х=х₀, если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всех хX,x≠x₀удовлетворяющих неравенству |x≠x₀|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.

Используя данное определение, доказать непрерывность и найти предел данных функций:

1-подгруппа (отличники):

Решение: определим значения функций sinх и соs2х при x₀=.

sinx ₀=sin=1 – функция непрерывна.

cos2x₀=cos·2=cosπ=-1 – функция непрерывна.

===1

Значит функция непрерывна, а предел =1

2-подгруппа (оценки 4,5): f(x)=3x²+2x+1 в точкеx=x₀=1.

Решение: (3x²+2x+1)= ++=3·1·1+2·1+1=6 – функцияf(x)- непрерывна и f(x)= (3x²+2x+1)=6.

Тема 15. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции:

Круглый стол - выработка у студентов знаний о непрерывности функций, умения излагать свои мысли, аргументировать свои соображения, обосновывать предлагаемые решения и отстаивать свои подходы. Преподаватель за круглым столом со студентами доказывает непрерывность функции у=sin х. Для этого определяется разность и предел разности.

Используя понятие «О» малое в итоге получаем,что функция у=Sn=0.Это означает,что функция непрерывна в точке в любой точке х числовой оси.

Тема16.Функции нескольких переменных:

Диалоговое обучение-в ходе которого осуществляется взаимодействие между студентами и преподавателем и между студентами. Студентам рекомендуется привести примеры из области экономики, которым присуща многофакторная зависимость. На основе анализа приведенных примеров преподаватель дает определение понятия функции нескольких переменных: переменная величина z пространственной системе координат называется функцией двух переменных х,у, если каждой совокупности их значений из данной области Д соответствует единственное определенное значение z.

-Как записывается зависимость переменной z от двух переменных х,у?,-задается вопрос студентам.

Обобщая результаты диалоговой беседы, преподаватель записывает соответствующую зависимость в виде как z=f(х,у) или z=z(х,у).Если имеется n переменных величин х,у,…..,z,то функциональная зависимость имеет вид z=f(х,у…….z)/

Вопрос студентам: Что характеризует зависимость направления и величины максимальной скорости изменения функции в данной точке? Обобщая различные ответы студентов, преподаватель делает окончательный вывод о том, что зависимость направления и величины изменения максимальной скорости функции в данной точке характеризует

градиент функции. Градиентом функции z=z(х,у) в данной точке М(х,у) называется вектор с координатами dz / dх и dz /dу,который обозначается как grаd z = (dz / dх; dz /dу).В ходе беседы преподавателя со студентами и беседы между самими студентами определяются основные свойства градиента:

1.Градиент (вектор) перпендикулярен к линии уровня функции.

2.Градиент (вектор) направлен в сторону возрастания функции.

3Длина градиента (величина вектора) равна максимальной величине производной по направлению в данной точке, т.е. производная по направлению принимает максимальное значение в том направлении, куда «смотрит» градиент функции.

Тема 17. Функции нескольких переменных в задачах экономики:

Групповое обсуждение, которое направлено на нахождение истины и оптимального пути решения задачи.

Например: доказать, что в точках экстремума (максимума, минимума) первая производная функции y=f (x) равняется нулю.

Правило проведения группового обсуждения:

-назначить лидера (студента), руководящего ходом группового обсуждения,

- определить алгоритм решения задачи путем группового обсуждения,

- определить экстремальные точки (максимум, минимум) для функций: y=2x²+ 4x+5

и y= -x ²+2x+4 и построить графики функций.

Тема 18. Исследование и построение графиков экономических функций:

Групповое обсуждение, которое направлено на построение графиков экономических функций на основе знаний о графиках основных функций. На основе школьных знаний о функциях студентам предлагается строить графики следующих основных элементарных функций:

1.Степенная функция: у=хⁿ,где n-любое действительное число.

2.Показательная функция:у=а^х

3.Логарифимическая функция:у=log_ах.

4.Тригонометрическая функция: у= Sinх; у=Cosх ; у=tgх ;у=Cotх.

5.Обратные тригонометрические функции:у=аrctgх;у=аrcSinх; у=аrcCosх;у=аrcCtgх.

Основываясь на этих знаниях студентов преподаватель объясняет наиболее часто используемые в экономике функции:

1.Функция полезности (т.е. зависимость результата от эффекта некоторого действия и от уровня интенсивности этого действия).

2.Производственная функция- зависимость результатов производственной деятельности от обусловивших факторов.

3.Функция выпуска-зависимость объема производства от наличия и потребления ресурсов

4.Функция издержек-зависимость издержек производства от объема продукции

5.Функция спроса-зависимость объема спроса на отдельные товары от различных факторов (например, цены, дохода и др.)