МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

1.1. Матрицы. Определители.

Числовой матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица, состоящая из m -строк и n -столбцов, на пересечении которых стоят числа, называемые элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать большими латинскими буквами, а элементы

– соответствующими строчными буквами с индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца в котором стоит элемент. Если нужно указать размерность матрицы, то после обозначения матрицы через тире будем указывать эту размерность.

Две матрицы A = (aij ) (размерности m × n ) и B = (bij ) (размерности m1 n1 ) называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равны их

называется квадратной, в противном случае матрица называется

прямоугольной.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Эту матрицу далее будем обозначать буквой O .

Матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A, если строки матрицы A являются столбцами матрицы AT с соответствующими

Количество строк (которое равно количеству столбцов) квадратной матрицы называется порядком этой матрицы.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, на которой расположены элементы aii . Другая диагональ матрицы называется

побочной диагональю.

Квадратная матрица называется диагональной, если aij = 0 для всех i, j

таких, что i ≠ j .

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а остальные равны нулю, называется единичной матрицей.

Далее единичную матрицу будем обозначать буквой I .

Матрица A называется верхней треугольной матрицей, если aij = 0 для всех i, j таких, что i > j .

3

def

формулой A− B = A+ (−1) B.

Пусть α, β - числа, A,B,C - матрицы размерности m × n . Тогда, используя свойства числовых операций и вышеприведенные определения, легко доказать справедливость следующих равенств:

A− A = O , A+ O = A, A+ B = B + A, A+ (B + C) = (A+ B) + C , αA = Aα ,

соответственно. Т.е. количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй.

Матрица D = (dij ) размерности m × k , элементы которой определяются равенством

называется произведением матриц A и B обозначается как A B или как AB.

4

Справедливы следующие равенства (предполагаем, что соответствующие операции выполнимы): A I = A, I A = A, (AB)C = A(BC), (A+ B)C = AC + BC ,

A(B + C) = AB + AC , α(AB) = (αA)B = A(αB).

Обратим внимание на следующее обстоятельство: если оба произведения

существует такая матрица D порядка n что D A = I . В этом случае матрица D называется обратной к матрице A.

Теорема. Если матрица A обратима, то A−1 A = A A−1 = I .

Каждой квадратной матрице по определенному закону можно поставить в соответствии число, которое называется определителем этой матрицы.

Если A = (aij )− матрица размерности n × n , то определитель этой матрицы обозначается либо det A, либо

5

Дадим определение определителя для матриц различной размерности.

def

• Пусть A = (a11 )−1 1 , тогда det A = a11 .

• Пусть A = (aij )− 2 2 , тогда

Чтобы запомнить последнюю формулу можно воспользоваться правилом треугольников: слагаемые, заключенные в первую пару круглых скобок, получены путем перемножения элементов, стоящих на главной диагонали, (первое слагаемое), а текже перемножением элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (два других слагаемых). Аналогично получены слагаемые, заключенные во вторую пару круглых скобок: первое слагаемое - произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а два других слагаемых - произведение элементов, стоящих в вершинах треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали.

На рисунке слева схематически указано правило вычисления первой группы слагаемых,

а справа - второй группы слагаемых.

При некоторой тренировке вычисление определителя матрицы третьего порядка производится достаточно быстро.

Можно воспользоваться также правилом Саррюса (приписыванием двух первых столбцов), которое ясно из нижеследующего рисунка :

6

Пусть A = (aij ) - матрица размерности n × n . Минором Mij элемента aij

(минором Mij соответствующим элементу aij ) называется определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij (алгебраическим дополнением Aij соответствующим элементу aij ) называется величина

разложением по элементам 1-ой строки).

Легко показать, что это определение не противоречит предыдущим определениям.

Свойства определителей. Далее строку или столбец будем называть «ряд». 1. При транспонировании, т.е. при замене каждой строки определителя

столбцом с тем же номером, определитель не меняется.

detA = detAT .

2. При перестановке двух строк или двух столбцов определитель лишь меняет знак.

−3 4 .

1 2

3.Если все элементы некоторого ряда равны нулю, то и определитель равен нулю.

4.Если элементы какого-либо ряда умножить на одно и то же число, то и определитель умножится на это число.

Обратите внимание на следующее: при умножении матрицы на число надо все элементы этой матрицы умножить на данное число, если же умножаем определитель на число, то на это число надо умножить элементы

7

сумму двух слагаемых, то этот определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в k-ом ряду первые из упомянутых слагаемых, а второй имеет в k-ом ряду вторые из упомянутых слагаемых, в остальных рядах эти определители имеют те же элементы, что и

исходный определитель.

Пример 6.

7. Если элементы какого-либо ряда умножить на одно и то же число и прибавить к соответствующим элементам другого параллельного ряда, то

определитель получен из первого умножением элементов первого столбца на -2

8. Сумма произведений элементов некоторого ряда на алгабраические дополнения этих элементов равна определителю. Т.е. справедливы равенства (в скобках приведено название этих формул):

det A = ∑ns=1ais Ais (вычисление определителя разложением по элементам i- ой строки).

det A = ∑ns=1asj Asj (вычисление определителя разложением по элементам j-

ого столбца).

Пример 8. Вычислим определитель некоторой матрицы разложением по элементам первой строки.

− 2 4 3

= −36 −120 +162 = 6.

Таким же образом можно вычислять определители разложением по любому столбцу или по любой строке.

9. Сумма произведений элементов некоторого ряда на алгабраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю.

8

Т.е. ∑ns=1ais Ajs = 0 , ∑ns=1asj Asi = 0 , если i ≠ j .

Вычисление определителя получением нулей в какой-либо строке или какомлибо столбце.

Умножая элементы строк или столбцов на определенные множители, а затем складывая строки или столбцы, можно добиться того, что все элементы некоторого ряда, за исключением одного, будут равны нулю, а тогда вычисление исходного определителя сводится к вычислению одного определителя меньшего порядка. Таким образом, систематическое применение сначала седьмого свойства определителей, а затем восьмого свойства определителей позволяет свести вычисление определителя n -ого порядка к вычислению одного определителя (n −1) -ого порядка, вычисление которого в свою очередь можно свести к вычислению определителя (n − 2)-ого порядка и т.д.

Договоримся о следующих обозначениях. Если элементы какого-либо ряда будем умножать на число, то это число будем записывать в круглых скобках напротив этого ряда, а стрелочкой, направленной к другому параллельному ряду, будем показывать к соответствующим элементам какого ряда будем

Пример 10.

В примере 9 элементы 1-ого столбца умножаем на 3 и прибавляем к соответствующим элементам 3-его столбца, а в примере 10 - элементы 1-ой строки умножаем на -2 и прибавляем к соответствующим элементам 3-ей строки.

Из 7-го свойства определителей следует, что если элементы i-ого ряда умножить на одно и то же число и прибавить к соответствующим элементам j- ого параллельного ряда, затем элементы i-ого ряда умножить на одно и то же число и прибавить к соответствующим элементам k-ого параллельного ряда, то определитель не изменится (предполагаем, что числа i,j,k попарно не равны друг другу). Т.е. элементы какого-то выбранного ряда можно умножать на различные множители и прибавлять к соответствующим элементам других параллельных рядов, при этом величина определителя не изменится. Например, далее показано что элементы первого столбца умножили на 3 и прибавили к соответствующим элементам второго столбца, затем вновь элементы первого столбца умножили на 2 и прибавили к соответствующим элементам третьего

9

столбца, после чего применили формулу вычисления определителя разложением по элементам второй строки.

Вычислим определитель этой же матрицы получением нулей во втором столбце и последующим разложением по элементам этого столбца.

третьей строки на -3 и прибавим к соответствующим элементам второй строки)=

=(применяем формулу вычисления определителя разложением по

=− (18 7 − (−22) (−6)) = 6.

Вобщем случае алгоритм получения нулей в j-ом столбце выглядит

следующим образом: в j-ом столбце выбираем какой-нибудь элемент, который отличен от нуля. Пусть это будет akj , т.е. akj ≠ 0 . Тогда все элемнты строки, в

которой находится выбранный элемент (в нашем случае это k-ая строка) умножаем на (−asj/akj ) и прибавляем к соответствующим элементам s-ой

строки (s ≠ k) , в результате в s-ой строке в j-ом столбце получаем нуль.

10