Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Орловский филиал РАНХиГС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

3.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

6. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл. Рассмотрим на плоскости OXY область (D ), ограниченную замкнутой кривой.

Разобьем область (D ) на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние xi , а по оси у – на yj .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку P(xi , yj ) и

составим интегральную сумму

∑ f (xi , yj )Sij

i, j

где f = f (x, y) - функция непрерывная и однозначная для всех точек области ( D ), Si j - площадь частичной области. Если при стремлении к нулю шага

разбиения области ( D ) интегральные суммы ∑ f (xi , yj )Sij имеют конеч-

i, j

ный предел, не зависящий от выбора точек Р, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области (D ) и обозначается

∫∫ f (x, y)dxdy

(D)

Теорема. Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области (D ), то двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy существует.

(D)

Свойства двойного интегралв.

1) ∫∫dxdy = S - площадь области (D )

(D)

151

2) ∫∫[f1(x, y) + f2 (x, y)]dxdy = ∫∫ f1(x, y)dxdy + ∫∫ f2 (x, y)dxdy

(D) (D) (D)

3) ∫∫kf (x, y)dxdy = k ∫∫ f (x, y)dxdy (k =const)

(D) (D)

4) Если D = D1 + D2 , то ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy

(D)	(D1)			(D2 )
Вычисление двойного интеграла.
Теорема. Если функция	f (x, y) непрерывна в замкнутой области (D ),
ограниченной линиями x = a,	x = b , (a < b),	y = ϕ(x),		y =ψ (x) , где ϕ и ψ -
непрерывные функции и ϕ ≤ψ , тогда
	b ψ (x)		b ψ (x)
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dy dx = ∫dx				∫ f (x, y)dy
(D)	a ϕ(x)		a ϕ(x)

y =ψ (x)

(D)

y = ϕ(x)

Пример 1. Вычислить интеграл ∫∫(x − y)dxdy , если область ( D ) огра-

(D)

ничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2 .

152

y = x2

Имеем 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x2 , поэтому:

	2 x2			y	2	x2	2					x	4				4		x	5	2
	2 x2				2	x2	2						4				4			5	2
							= ∫			3	−					x		−				= 4 − 3 2	= 0 8
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx ∫ (x − y)dy = xy −							= ∫	x			−			dx =				−				= 4 − 3 2	= 0 8
(D)	0 0			2		0	0					2			4				10		0
						0
Теорема. Если функция		f (x, y)	непрерывная в замкнутой области (D ), ог-
раниченной линиями y = c, y = d(c < d) , x = Φ(y) , x = Ψ(y) (Φ(y) ≤ Ψ(y)), то
							d Ψ(y)
		∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy									∫ f (x, y)dx
		(D)					c		Φ(y)

8 y = 8

	х
y = x30	2
x = 0

Пример 2. Вычислить интеграл ∫∫xydxdy , если область (D ) ограни-

(D)

чена линиями y = x3 , y = 8, x = 0 . Поменять порядок интегрирования

153

												2	8							8		3 y
	Имеем ∫∫ xydxdy = ∫dx ∫														xydy = ∫dy ∫xydx
						(D)						0		x3						0			0

		3												3 y						5									8		8					8
	8			y					8		yx	2		3 y		8		1						1		3					8		3					3
				y
																																							8
																				3									3							3			8
	∫dy ∫					xydy = ∫dy									= ∫				y		dy =							y				=			8		=		2	= 48, а также
	0		0						0		2			0		0		2						2 8							0		16					16
2	8				2				2	8	2			0			7										2				0	8		2					8
																x									x						x										256

∫dx ∫ xydy = ∫dx							xy				= ∫		32x −								=							−							= 16			4 −	2	= 64 −		= 64	−16	= 48
∫dx ∫ xydy = ∫dx											= ∫		32x −						dx		=		32					−		2 8					= 16			4 −		= 64 −		= 64	−16	= 48
								2								2										2				2 8									16		16
0	x3				0					x3	0																							0
0	x3				0					x3	0																							0

Двойной интеграл в полярных координатах.

При переходе от декартовых координат к полярным координатам имеет место формула:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ,rsinϕ)rdϕ dr

(D) (D*)

где (D*) - область в полярной системе координат, соответствующая области (D ) в декартовой системе координат. Пусть область (D*) задается следующими неравенствами:

α ≤ ϕ ≤ β, r1(ϕ) ≤ r ≤ r2(ϕ) . Тогда будем иметь:


		β	r2 (ϕ)
∫∫ f (r cosϕ,r sinϕ)rdϕ dr = ∫dϕ			∫ f (r cosϕ,r sinϕ)rdr .
(D*)		α	r1(ϕ)

Пример 3. Вычислить	∫∫ 4 − x2 − y2dxdy , где ( D ) – круг x2 + y2 ≤ 4.
	(D)

Применив формулу перехода к полярным координатам, получим:

∫∫	4 − x2 − y2dxdy = ∫∫	4 − r2 cos2ϕ − r2 sin2ϕrdϕdr = ∫∫ 4 − r2rdϕdr .
(D)	(D*)	(D)

Область (D ) в полярной системе координат определяется неравенствами 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 2.

154

f (xi , yj , zk )Vijk

		y
	2
		r	ϕ
			ϕ
			x
-2	0		2

-2

Заметим, что область ( D ) – круг – преобразуется в область (D*) -

прямоугольник. Имеем:

																			1						(4 − r			3		2
																			1									3		2
						2π 2									1	2π 2		2				1	2π			2	2		2
						2π 2										2π 2		2					2π			2	2
∫∫		4 − r2rdϕdr = ∫dϕ∫								4 − r2rdr = −						∫dϕ∫		(4 − r2)		d(4	− r2)= −		∫	dϕ			)				=
∫∫		4 − r2rdϕdr = ∫dϕ∫								4 − r2rdr = −						∫dϕ∫		(4 − r2)		d(4	− r2)= −		∫	dϕ	3						=
(D*)						0		0						2		0 0					2		0		3
(D*)						0		0								0 0							0
			2π		3			2π					2π	16π																0
																														0


	1		∫				8	∫			8
= −				0	− 42	dϕ =			dϕ =			ϕ	=				.
= −	3			0	− 42	dϕ =	3		dϕ =		3	ϕ	=	3			.
	3						3				3			3
			0					0					0

Тройной интеграл. Пусть в замкнутой области (V) пространства OXYZ задана непрерывная функция f = f (x, y, z). Разбив область (V) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на конечное число элементарных частей, объемы которых обозначим Vijk и выбрав значение функции f

в некоторой точке этого элементарного объема f (xi , yj , zk ), составим инте-

гральную сумму ∑

i, j,k

Если при стремлении к нулю элементарных объемов Vijk разбиения области (V) интегральные суммы имеют конечный предел, не зависящий от выбора точек внутри Vijk , то этот предел называется тройным интегралом

от функции f (xi , yj , zk ) по области (V) и обозначается ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz

(V )

Теорема существования и свойства тройного интеграла аналогичны двойному интегралу.

Вычисление тройного интеграла.

Теорема. Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области

(V ) : z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), a ≤ x ≤ b, тогда

155

	b	y2 (x)	z2 (x,y)
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫dx		∫ dy	∫ f (x, y, z)dz
(V )	a	y1(x)	z1(x,y)

Замечание. Как и в случае двойного интеграла возможен и другой порядок интегрирования.

Пример 4. Вычислить интеграл ∫∫∫xdxdydz , где (V ) :

(V )

x+y+z=1

y 0 1

x+y=1

x + y + z ≤ 1

x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0

Рис. 1.

Область (V) изображена на Рис. 1.

Имеем:

				1	1−x	1−x−y
∫∫∫xdxdydz = ∫dx ∫dy							∫
(V )				0	0		0
	1	1				1	x2
		∫
= −			− x(1	− x)dx =
	2 0					2	2

		1		1−x				1−x− y		1		1−x	1	x(1	− x − y)2	1−x
		1		1−x				1−x− y		1		1−x	1	x(1	− x − y)2	1−x
xdz = ∫dx ∫dy(xz)										= ∫dx ∫x(1− x − y)dy = ∫dx						=
xdz = ∫dx ∫dy(xz)										= ∫dx ∫x(1− x − y)dy = ∫dx					− 2	=
		0		0				0		0		0	0		− 2	0
		0		0				0		0		0	0			0
	x3		1	1	1		1			1
	x3		1	1	1		1			1
−			=			−			=		.
−			=			−			=		.
	3			2	2		3		12
	3		0	2	2		3		12
			0

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z = x2 + 2y2 ; z = 0 ; x = 4; y = 2 ; x = 0 ; y = 0 .

156

				z
				0	2				y
				0	2
		4
		x
	4	2	x2 +2 y2	4	2		4	2
Объем тела V = ∫∫∫dxdydz = ∫dx∫dy			∫	dz = ∫dx∫dy(z) 0x		2 +2 y2	=∫dx∫(x2		+ 2y2 )dy =
(V )	0	0	0	0	0		0	0

	4		2		2y3	2		4		2		16			2x3		16		4		2		3		16
	4		2		2y3	2		4		2		16			2x3		16		4		2		3		16
=	∫	dx x		y +			=	∫	2x		+			dx =		+		x		=		4		+		4	= 64
=		dx x		y +			=		2x		+			dx =		+		x		=		4		+		4	= 64

	0				3	0		0					3		3		3		0		3				3
	0					0		0											0

Криволинейные интегралы. Рассмотрим на примерах вычисление криволинейных интегралов:

		Пример 6. J = ∫xydx + (x − y)dy , где											L - кривая						y = x3 , пробегаемая от
				L
точки A(0;0) , до точки B(2;8). Имеем dy = 3x2dx , отсюда
	2					2						3				x5		3		2		3				32 1
	2					2						3				x5		3		2		3				32 1
	∫					∫
J =		x x3dx + (x − x3 )3x2dx =					(3x3 + x4 − 3x5 )dx =							x4 +			−		x6	=			16		+			−	64 =
J =		x x3dx + (x − x3 )3x2dx =					(3x3 + x4 − 3x5 )dx =							x4 +			−		x6	=			16		+			−	64 =
	0					0						4				5 6				0		4				5 2
	0					0						4								0
= 12 + 6 4 − 32 = −13 6.
		Пример 7. J = ∫(y + x)dx + xdy , где									L - кривая							x = t2 + t						, пробегаемая
		Пример 7. J = ∫(y + x)dx + xdy , где									L - кривая										3			, пробегаемая
			L															y = t				+ 2t
от точки A(2;3), до точки B(6;12) . Данным точкам соответствуют значения
t1 = 1; t2 = 2.
		Имеем dx = (2t +1)dt,						dy = (3t2 + 2)dt , отсюда
	2	(t3 + 2t + t2 + t)(2t +1)dt + (t2 + t)(3t2 + 2)dt =									2		(5t4						+ 5t)dt =							6				t3		t2	2
	2										2															6				t3		t2	2
J =	∫										∫				+ 6t3 + 9t2									t5	+		t4 + 9				+ 5		=
J =															+ 6t3 + 9t2									t5	+		t4 + 9				+ 5		=
																										4				3		2
	1										1															4				3		2	1
	1			3					5		1																						1
				3					5
= (32		+ 24 + 24 +10) − 1	+		+ 3			+		= 82 .
= (32		+ 24 + 24 +10) − 1	+		+ 3			+		= 82 .
				2					2
										157

Пример 8. J = ∫x2ds , где L - кривая y = ln x , пробегаемая от точки

				2
			1			1+ x2 dx
	2		1			1+ x2 dx
A(1;0) , до точки B(e;1) . Имеем ds =	1+ (y′x ) dx =	1+			dx =		, 1	≤ x ≤ e .
A(1;0) , до точки B(e;1) . Имеем ds =	1+ (y′x ) dx =	1+			dx =	x	, 1	≤ x ≤ e .
		x				x

Поэтому

	e													e						e																e
							1+ x				2																				3											3								3


J = ∫x2												dx = ∫x 1+ x2 dx =							1	∫		1+ x2 d(1+ x2 ) =					1	(1+ x2 )						2			=	1	(1+ e2 )						−		1	2		2	.
																			1								1					2		2				1					2				1
																											2					2		3									2			3
	1							x				1					2			1							2							3		1	3									3
	1											1								1							x = t2									1
																											x = t2
					Пример 9. J =											y2													3
																		ds , где			L - кривая y =						y = t				. Имеем
															∫L x		3	ds , где			L - кривая y =						y = t				. Имеем
															∫L x											0 ≤ t ≤ 1


				(xt′)2 + (yt′)2
ds =				(xt′)2 + (yt′)2									dt = (2t)2 + (3t2 )2 dt = t											4 + 9t2 dt . Поэтому
	1				3	2								1									1														3				1								3			3
						2

J = ∫			(t		)			t		4 + 9t2 dt =∫t							4 + 9t2 dt =					1	∫		4 + 9t2 d(4 + 9t2 )=					1			2		(4 + 9t2 )							=		1		(132				− 4		2	) =
			(t		)																	1								1			2							2				1
					2 3																18																			2
	0		(t			)						0									18		0						18 3												0	27
	0		(t			)						0											0																		0
	1					3
	1
=		132 − 8							.
=		132 − 8							.
	27
	27

Задачи для самостоятельного решения.

Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

1		3−x			0		3−x
1. ∫dx ∫ f (x, y)dy .					8. ∫dx ∫ f (x, y)dy .
0		2x2			−	3	2x2
					−	2
4			25−x2			2
4			25−x2
2. ∫dx ∫ f (x, y)dy .					4			25− y2
2. ∫dx ∫ f (x, y)dy .					9. ∫dy ∫ f (x, y)dx .
0				3x	9. ∫dy ∫ f (x, y)dx .
		4			0				3y
	3						4
2		y+3
2		y+3				4	3 16y
3. ∫dy ∫ f (x, y)dx .					10. ∫dy ∫ f (x, y)dx .
0		2 y2				0			y
						0			y
		1

4.∫dx∫ f (x, y)dy .

0x+3

5.∫dx ∫ f (x, y)dy .

−1

2x2

13− y

6.∫dy ∫ f (x, y)dx .

02 y2

1x2 +1

7. ∫dx ∫ f (x, y)dy .

0−1

158

Вычислить двойные интегралы по соответствующим областям.

11.∫∫(x + 2y)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями x = 0, x = 2, y = 0, y = 3.

12.	∫∫x2 ydxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = 2x, y = 0,x = 1.
	D
13.	∫∫(x2 − y)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = x3 , y = 0, x = 2.
	D
	∫∫ xydxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y =
14.	∫∫ xydxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y =				x	, y = 0, x = 4.
	D
15.	∫∫(y − 2x)dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = 2, y = x, x = 0.
	D
16.	∫∫xy2dxdy, где (D)-область, ограниченная линиями y = x3 , y = 8, x = 0.
	D
Перейти к полярным координатам, вычислить.
17.∫∫ xydxdy, где (D)-область, ограниченная линией x2				+ y2	= 1, x ≥ 0, y ≥ 0.
	D
18.	∫∫ ydxdy,где (D)-область, ограниченная линиями x2			+ y2	= 4, y = 1;(y ≥ 1).
	D
19. ∫∫x2dxdy,где (D)-область, ограниченная линиями x2 + y2 = 9, x = 0;(x ≥ 0).
	D
20. ∫∫xdxdy, где (D)-область, ограниченная линией x2 + y2 ≤ 2x.
	D
21. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями.
1.	xy = 4, y = x,x = 4.	8. (x2 + y2 )3 = 2x2 + y2 .
2.	y = x2 ,4y = x2 , y = 4.	9. (x2 + y2 )5 = x3 y.
3.	y = x2 ,4y = x2 , x = 2, x = −2.	10. (x2 + y2 )2 = xy.
4.	y2 = 4 + x, x + 3y = 0.	11. ρ = 2 − cosϕ.
5.	y = x2 − 2, y = x.	12.	ρ = sinϕ.
6.	y = ln x, x − y = 1, y = −1.	13.	ρ = cos2ϕ.
7.	(x2 + y2 )3 = x2 .
22. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1.	z = x2 + y2 ; x + y = 4; x = 0;z = 0; y = 0.	6. z = 4 − y2 ; x = 0; x = 2;z = 0.
2.	x + y + z = 3; y2 = x; x = 1;z = 0; y = 0.	7. x2 + y2 = 4; x + y + z = 4;z = 0.
3.	z = x2 + y2 ; y = x2 ; y = 1;z = 0.	8. x2 + y2 = 2x; x + z = 6;z = 0.
4.	z = 1− x2 − y2 ; x2 + y2 = 1;z = 1.	9. z = x2 + 2y2 ; y = x; y = 2x;z = 0; x = 1.
5.	z = x2 ; y = 0; x + y = 1;z = 0.	10.	x2 + y2 + z2 = 4;z ≥ 1.

23. Вычислить следующие криволинейные интегралы по соответствующим кривым:

159

1.	∫ xdy − ydx, где (L)- есть верхняя половина эллипса x = acost, y = bsint,
	( L)
пробегаемая против хода часовой стрелки.
2.	∫(x2 − y)dx + (x + y)dy, где (L)- есть треугольник с вершинами в точках О(0;0),
	( L)
А(1;0), В(0;1), пробегаемый против хода часовой стрелки.
3.	∫2xdy + ydx,								где (L)- есть дуга параболы y2 = x от точки А(1;1) до точки
	( L)
В(4;2).
4.	∫	y2	+ 1			dx −			x	dx, где (L)- есть отрезок прямой, соединяющей точку А(1;2) с
4.	∫					dx −			2
	( L)		y						y
	( L)
точкой В(2;4).
5.	∫2xy3dx + 3x2 y2dy, вдоль любой кривой, соединяющей точки А(1;2) и В(2;4).
	( L)
	∫	ydx − xdy							где (L)- есть окружность x = Rcost, y = Rsint, пробегаемая по ходу
6.								,
6.		x	2	+ y			2	,
	( L)	x		+ y
	( L)
часовой стрелки.
7.	∫(x2 − y)dx + (y2 − x)dy, вдоль любой кривой, соединяющей точки А(0;0) и
	( L)
В(3;4).
8.	∫(x − y)dx + (x + y)dy, где (L)- есть окружность x = Rcost, y = Rsint, пробегаемая
	( L)
против хода часовой стрелки.
9.	∫	ydx +			x		dy,		где (L)- есть дуга кривой y = e− x от точки А(0;1) до точки В(-1;е).
9.	∫	ydx +					dy,
	( L)					y
	( L)
10.	∫(3x2 y + 1)dx + (x3 − 2)dy, где (L)- дуга кубической параболы, соединяющей
	( L)

точки А(1;1) и В(2;8).

11. ∫ xds, где (L)- есть дуга кривой y = x2 , соединяющей точки А(1;0,5) и В(2;2).

( L)

12.

∫ yds, где (L)- есть дуга кривой y =

, соединяющей точки А(0;0) и В(3;9).

( L)

∫

13.

ds, где (L)- есть дуга кривой y =

, соединяющей точки А(1;

) и

( L)

В(2;4).

14.

∫ y2ds, где (L)- есть дуга кривой y = ex ,

соединяющей точки А(0;1) и В(1;e) .

( L)

x = 2sint,

15.

∫ xyds,где (L)- есть дуга кривой

0 ≤ t ≤

( L)

y = 2cost,

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.20191.36 Mб25макет Word 2007.docx
#
08.11.2019925.74 Кб50манипуляции.doc
#
29.08.2019234.5 Кб8Маркетинг-план ТианДэ.doc
#
04.03.2016111.23 Кб20маркина.docx
#
04.03.2016620.54 Кб95Математика.doc
#
04.03.20163.05 Mб61МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ.pdf
#
04.03.2016955.9 Кб15материал по социологии.doc
#
27.11.2019380.47 Кб5Матричные игры.docx
#
27.11.20192.39 Mб6МЕБЕЛЬ.doc
#
11.08.201958.88 Кб11Медиация лекция 09.DOC
#
04.03.201666.91 Кб8менеджмент экзамен.docx