Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Орловский филиал РАНХиГС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

3.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

− 2x1

+ 6x2

+ 4x3

= − 24

5x1

− 4x2

− 7x3

= −10

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

− 2

− 24 − 5

− 3

− 4 − 7

− 2

−10

− 22

−

− 34

− 24

Делим элементы строки 1 на 2

Делим элементы строки 2 на 2

− 11

− 3

−17

−12

−11

− 81)

Обратный ход метода Гаусса.

Из равенства 81 x3 = −81 следует, что x3 = −1.

Далее находим: −11 x2

− 3 x3

= 25

−11 x2

− 3 (−1) = 25 x2 = −2.

− 2 x1 + 6 x2 + 4 x3 = −24 − 2 x1 + 6 (−2) + 4 (−1) = −24 x1 = 4 .

Ответ: x1 = 4; x2 = −2; x3 = −1.

В процессе выполнения прямого хода метода Гаусса может получится строка имеющая вид (0 0... 0 |d) , где число d ≠ 0 . Это означает, что исходная система уравнений не имеет решения.

Приведем пример системы, которая не имеет решения. Пример 4. Найти все решения следующей системы уравнений:

− 3x1		+ 4x2		− 5x3		+ 2x4		= − 7
5x1		− 2x2		+ 8x3		+ 7x4		= − 28
− 4x		+ 10x	2	− 7x	3	+ 13x	4	= − 50
	1
	13x	− 8x	2	+ 21x	3	+ 12x	4	= − 51
	1

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

− 3			4	− 5 2 \|				− 7 − 5		4	−13
− 3			4	− 5 2 \|				− 7 − 5		4	−13

5			− 2		8 7 \| − 28 − 3
	− 4		10	− 7 13 \|				− 50		− 3

	13		− 8	21		12 \|					− 3
	13		− 8	21		12 \|		− 51			− 3
0		−14		1	− 31		\|	119
		−14			− 31
0		−14		1	− 31		\|	122
	0	− 28		2	− 62		\|
	0	− 28		2	− 62		\|	244
Делим элементы строки 3 на 2
0		−14		1	− 31		\|	119	14	14
0		−14		1	− 31		\|	119	14	14
		−14			− 31				−14
0		−14		1	− 31		\|	122	−14
	0	−14		1	− 31		\|			−14
	0	−14		1	− 31		\|	122		−14
0		0	0	0	\|	−	42

	0	0	0	0	\|	−
	0	0	0	0	\|	−	42
Делим элементы строки 1 на 42
Делим элементы строки 2 на 42
0		0	0	0	\|	−1
						−
	0	0	0	0	\|	−	1

Так		как		в	процессе			прямого		хода метода Гаусса получили строку

( 0... 0|−1), то система уравнений не имеет решения. Ответ: Система не имеет решения.

Если в процессе выполнения обратного хода метода Гаусса после подстановки найденных ранее неизвестных будет получено уравнение с несколькими неизвестными, то все неизвестные кроме одного надо объявить параметрами, выразить оставшееся неизвестное через параметры и продолжить выполнение обратного хода метода Гаусса. В этом случае система уравнений имеет бесчисленное множество решений, которые и будут найдены во время обратного хода.

Далее приведем пример системы уравнений, которая имеет бесчисленное множество решений.

Пример 5. Найти все решения следующей системы уравнений:

2x1		+ 7x2		− 8x3		+ 43x4		= − 49
4x1		+ 3x2		− 6x3		+ 35x4		= − 35
− 5x		− 2x	2	+ 9x	3	− 48x	4	=	43
	1
− 3x		+ 6x	2	+ 2x	3	− 8x	4	= − 6
	1

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

2			7 − 8		43 \|			− 49 −	4			3
2			7 − 8		43 \|			− 49 −	4	5		3

4			3 − 6		35 \| − 35 2
	− 5		− 2	9	− 48 \|			43		2

	− 3		6	2	− 8 \|							2
	− 3		6	2	− 8 \|			− 6				2
0		− 22		20	−102		\|	126

0			31	− 22	119		\|	−159
	0		33	− 20
	0		33	− 20	113 \| −159
Делим элементы строки 1 на 2
0		−11		10	− 51		\|	63 −		31	− 33
0		−11		10	− 51		\|	63 −		31	− 33

0			31	− 22	119		\|	−159	−11
	0		33	− 20	113		\|					−11
	0		33	− 20	113		\|	−159				−11
0		0	− 68		272	\|	−	204

	0	0	−110		440	\|	−
	0	0	−110		440	\|	−	330
Делим элементы строки 1 на 68
Делим элементы строки 2 на 110
0		0 −1 4 \| − 3 1

	0	0 −1 4 \| −					−1
	0	0 −1 4 \| −				3	−1

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида: (0 0 0 0 | 0)

то прямой ход закончен и начинаем обратный ход, причем начинаем его с последней выделенной (подчеркнутой) строки, в которой есть хотя бы один не нулевой элемент.

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве −1 x3 + 4 x4 = −3 имеются два неизвестных, то одно

из этих неизвестных		объявим параметром. Пусть, например, x4 = t ---
параметр. Тогда из предыдущего равенства следует, что x3 = 4t + 3.
Далее находим:
−11 x2	+10 x3	− 51 x4 = 63 −11 x2	+10 (4t + 3) − 51 t = 63
x2 = −t − 3.
2 x1 + 7 x2 −8 x3 + 43 x4 = −49 2 x1 + 7 (−t − 3) − 8 (4t + 3) + 43 t
= −49 x1 = −2t − 2.
Ответ:	x1 = −2t − 2; x2 = −t − 3; x3 = 4t + 3;		x4 = t ; t --- параметр.

Метод Гаусса можно применять для решения любой системы линейных алгебраических уравнений, в частности, для решения переопределеных систем

(т.е. систем уравнений, в которых число неизвестных меньше числа уравнений) и систем уравнений, в которых число неизвестных больше числа уравнений.

Приведём примеры 6 и 7 решения переопределенной системы уравнений. Пример 6. Найти все решения следующей системы уравнений:

− 6x1				− 7x2					− 11x3			=		10
7x1				+ 2x2					+ 19x3			=		13
8x			−			6x	2		+ 30x		3	=		48
		1					2				3
− 9x			+			8x	2		− 35x		3	= − 59
		1					2				3
Решение:
									Прямой ход метода Гаусса.
− 6 − 7 −11 \|									10 − 7				−8		9
− 6 − 7 −11 \|									10 − 7				−8		9
												− 6
	7			2		19		\|	13			− 6
	8		− 6			30		\|	48				− 6

	− 9			8	− 35 \|				− 59						− 6
	− 9			8	− 35 \|				− 59						− 6
0			37		− 37			\|	−148

0			92		− 92			\|	− 368
	0	−111				111		\|
	0	−111				111		\|	444
Делим элементы строки 1 на 37
Делим элементы строки 2 на 92
Делим элементы строки 3 на 111
0			1 −1 \| −						4 −1	1
0			1 −1 \| −						4 −1	1
				−1				−
0			1	−1		\|		−	4 1
	0	−1			1	\|					1
	0	−1			1	\|			4		1

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:

0		0	0	\|	0

	0	0	0	\|	0

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве 1 x2 −1 x3 = −4 имеются два неизвестных, то одно из этих неизвестных объявим параметром. Пусть, например, x3 = t --- параметр. Тогда из предыдущего равенства следует, что x2 = t − 4 .

Далее находим:
− 6 x1	− 7 x2 −11 x3 =10	− 6 x1 − 7 (t − 4) −11 t =10
x1 = −3t + 3.
Ответ:	x1 = −3t + 3; x2 = t − 4 ;	x3 = t ; t --- параметр.

Пример 7. Найти все решения следующей системы уравнений:

− 3x1			+ 2x2			+ 4x3				= −10
− 5x1			− 9x2			+ 2x3				=		28
− 9x			− 8x		2	+ 7x			3	=		21
		1			2				3
− 4x			− 6x		2	+ 3x			3	=		19
		1			2				3
Решение:
								Прямой ход метода Гаусса.
− 3			2 4 \|			−	10 5			9		4
− 3			2 4 \|			−	10 5			9		4
	− 5	− 9 2 \|						− 3
	− 5	− 9 2 \|					28	− 3
	− 9 − 8 7 \|						21				− 3

	− 4	− 6 3 \|										− 3
	− 4	− 6 3 \|					19					− 3
0		37	14	\|		−134

0		42	15	\|		−153
	0	26	7	\|
	0	26	7	\|		− 97
Делим элементы строки 2 на 3
0		14	5	\|		−	51 − 37				− 26
0		14	5	\|		−	51 − 37				− 26

0		37	14	\|		−134			14
	0	26	7	\|							14
	0	26	7	\|		− 97					14
0		0	11	\|		11

	0	0	− 32	\|
	0	0	− 32	\|		− 32
Делим элементы строки 1 на 11
Делим элементы строки 2 на 32
0		0	1	\|		1	1
			−1
	0	0	−1	\| −1			1

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида:
(0 0			0 \|	0)

Обратный ход метода Гаусса.

Из равенства 1 x3 =1 следует, что x3 =1.
Далее находим: 14 x2 + 5 x3 = −51			14 x2	+ 5 (1) = −51	x2 = −4.
− 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 = −10	−	3 x1	+ 2 (−4)	+ 4 (1) = −10	x1 = 2 .
Ответ: x1 = 2; x2 = −4;	x3 =	1.

В заключение приведем пример решения системы уравнений, в которой количество неизвестных больше числа уравнений.

Пример 8. Найти все решения следующей системы уравнений:

2x1

− 3x2

− 4x3

− 27x4

= −11

− 8x1

− 2x2

− 7x3

− 3x4

= − 6

− 4x

+ 6x

+ 54x

Решение:

Прямой ход метода Гаусса.

− 3

− 4

− 27

| − 11 8

− 8

− 2

− 7

− 3

| − 6 2

− 4

− 28

− 46

− 222

−100

− 4

− 28

Делим элементы строки 1 на 2

Делим элементы строки 2 на 4

− 1

− 7 14

−14

− 23

−111

− 50

Так как в процессе прямого хода метода Гаусса получили матрицу вида: (0 0 − 37 −111 | −148)

то прямой ход закончен и начинаем обратный ход.

Обратный ход метода Гаусса.

Так как в равенстве − 37 x3 −111 x4 = −148 имеются два неизвестных, то одно из этих неизвестных объявим параметром. Пусть, например, x4 = t ---

параметр. Тогда из предыдущего равенства следует, что x3 = −3t + 4. Далее находим:

1 x2 −1 x3 = −7 1 x2 −1 (−3t + 4) = −7 x2 = −3t − 3.

2 x1 − 3 x2 − 4 x3 − 27 x4 = −11 2 x1 − 3 (−3t − 3) − 4 (−3t + 4) − 27 t = −11 x1 = 3t − 2.

Ответ: x1 = 3t − 2; x2 = −3t − 3; x3 = −3t + 4; x4 = t ; t --- параметр.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить следующие системы линейных алгебраических уравнений тремя способами (методом Гаусса, методом Крамера, матричным методом):

−5x + 3y + 5z =12,	8x − 5y − 7z = 7,
а) 7x − 5y − 7z = −20, б)	3x + 4y − 6z = 22,

8x − 3y − 9z = −14,	7x + 4y + 5z = −30,

−3x − 4y − 7z = −4,

в) + + = −

9x 2y 6z 8,−4x + 7y + 9z =19,

−6x − 3y + 8z = −12,		−2x − 3y + 3z = 4,	−4x + 3y + 7z = −38,
г) −2x + 7y − 6z = 54,	д) −3x + 5y + 2z = −25,		е)	5x + 2y + 4z = 8,
		5x − 9y − 3z = 44,
−2x + 9y −8z = 68,		5x − 9y − 3z = 44,	−7x + 4y + 9z = −56,

−9x + 5y +8z = −5,

ж) −7x + 4y + 6z = −4, .9x − 9y − 4z =13

2. Решить матричное уравнение A X = B , где А,В,Х – матрицы, если

а) A = −7				4 , B =				28		9 ; б) A = 2					3 , B =		4		−7 ;
	−3			1				9		1			5		4		3		−7
	3			−2				10	11				−2 −3			3			−11 −9					13
	3			−2	, B =			10	11
в)	A =				, B =						; г) A = −3 5					2		,	B =	−9		8		12	;
	4			3				2		9				5						14		−15		−19
														5	−9 −3					14		−15		−19
	−4			−7 7					20			25 −18				3			4 −9			6		−38 10
д)		−5		−3 7						10		26 −15					4		5 8		,		47	10 13		;
д)	A =	−5		−3 7		,		B =		10		26 −15		; е) A =			4		5 8		,	B =	47	10 13		;
		−4		−3 6						10		22 −13					3						14	−26 10
		−4		−3 6						10		22 −13					3		4 −5				14	−26 10
	4			7	5				34			6	17

ж)	A =		−5	−8 2			, B =				−23	−15 −4			.
			3	5	3						23	5	11
			3	5	3						23	5	11

3. Найти решения следующих систем уравнений:

а)

г)

ж)

к)

2x − 3y + 4z =13,				−4x − 3y + 2z = −15,			−3x + 3y − 2z = 0,
					4x + y + 5z = −1,
−2x + 5y + 2z = −3,			б)		4x + y + 5z = −1,	в)	−2x + 4y + 3z =13,
			б)			в)
−2x − 2y + 3z = 6,					3x + 2y + z = 6,		7x	− 7y + 4z = −2,
3x + 3y − 4z = −8,					2x + 4y − 3z =14,		5x − 2y + 2z = −4,
5x + 2y + 3z = 4,			2x − 3y + 2z − 5w = −8,				4x − 4y + 3z − 2w = −1,
−3x + 3y + z	= −1,		2x − 3y + 2z − 5w = −8,				4x − 4y + 3z − 2w = −1,
−3x + 3y + z	= −1,			−5x − 2y − 5z + 3w = 3,		е)		− 2y − 2z − 4w = −3,
	= 0,	д)		−5x − 2y − 5z + 3w = 3,		е)	3x	− 2y − 2z − 4w = −3,
−x + 2y + z	= 0,				+ 7y + 3z + 4w =11,
6x + 3y + 4z = 5,				3x	+ 7y + 3z + 4w =11,		−5x + 7y − 4z + 3w = 5,
6x + 3y + 4z = 5,
2x + 3y − 6z − 4w =11,					4x + 8y + 3z − 2w = 8,			3x + 2y + 4z + 4w = 7,
2x + 3y − 6z − 4w =11,					4x + 8y + 3z − 2w = 8,			2x + 4y + 5z − 3w = −1,
								2x + 4y + 5z − 3w = −1,
−3x + 4y +10z − 2w = 9, з) 3x + 2y − 4z + 3w =11 и)
		= −5,						4x + 3y + 3z + 2w = −6,
4x − 3y −8z + 3w		= −5,			−2x + 5y + 7z + 2w = 7,			3x + 4y + 3z − 3w = 0,
								3x + 4y + 3z − 3w = 0,

2x + 3y + 4z + 5w = 3,

+ + + =

3x 2y 2z 4w 2,−5x − 2y + 3z − 2w = 5,.

4x − 9y + 5z + 3w = 26

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Вектором называется направленный отрезок.

Обозначения: a, a , AB . Длина этого отрезка называется модулем вектора и обозначается |a| , a , AB

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и считается коллинеарным и перпендикулярным любому вектору.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор,

идущий из начала вектора a в конец вектора b , если

начало вектора b совпадает с концом вектора a .

Такое правило сложения векторов называют правилом

треугольника.

a + b

Свойства сложения:

a +b =b +a .

2. (a +b )+c =a +(b +c ).

Для любого вектора

существует нулевой вектор

такой, что

Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор -a такой,

что a +(-a )=0 .

Произведением ka вектора a на число k называется вектор b , коллинеарный вектору , a имеющий модуль, равный |k||a |, и направление,

совпадающее с направлением a при k>0 и противоположное a при k<0. Свойства умножения вектора на число:

1.k(a +b ) = ka + kb .

2.(k + m) a = ka + ma .

3.k(ma ) = (km)a .

Если ненулевые векторы a и b коллинеарны, то существует такое число k,

что b = ka .

Разностью векторов a и b называется вектор a – b =a +(–1) ·b

Линейной комбинацией векторов a 1, a 2,…, a n называется выражение вида: k1 a 1 + k2 a 2 +…+ kn a n, , где ki – действительные числа.

Векторы a 1, a 2,…,a n называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1 a 1 + k2 a 2 +…+ kn a n =0 . (1)

Если же равенство (1) возможно только при всех ki = 0, то векторы называются

линейно независимыми.

Свойства линейной зависимости векторов:

1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2.Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

3.Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

4.Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.

Базисом на плоскости (в пространстве) называются два (три) любых линейно независимых вектора.

Любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе. Если a , b , c – базис и d = ka + mb + pc , то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a , b , c .

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектораd в базисе векторов a , b , c и обозначается символически d ={k; m; p}.

Свойства базиса:

1.Разложение вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в этом базисе определяются единственным образом.

2.При сложении двух векторов их координаты в данном базисе складываются.

3.При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Проекцией вектора АВ на ось u называется положительное число А′В′ ,

если направления вектора А′В′ и направление оси u совпадают и отрицательное число - А′В′ , если вектор

А′В′ и ось u противоположно направлены. Точки А’ и B’ являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.

a ϕ

B′

Проекция вектора a = АВ на ось u обозначается: прu a , прu АВ .

Свойства проекции:

1. Прu a = |a | cosφ, где φ – угол между a и осью u.

2.При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.

3.При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.

Три попарно ортогональных единичных вектора i ,

j , k образуют

декартову систему координат. Любой

точке М(X,Y,Z) в пространстве можно

поставить в соответствие радиус-вектор

M3(0,0,Z)

a =ОМ , имеющий начало в точке О –

начале координат. Используя

определение суммы векторов , получаем

ОP =ОМ1 + ОМ2 и радиус-вектор

a =ОМ =ОP + ОМ3 =ОМ1 + ОМ2 + ОМ3 . А

так как ОМ1 = X i , ОМ2 = X j и

ОМ3 = X k ,

M2(0,Y,0)

то разложение радиус-вектора

a в базисе

M1(X,0,0)

P(X,Y,0)

векторов i , j , k будете иметь вид

a =ОМ =Xi +Y j +Zk . Таким образом координаты точки М(X,Y,Z) и

координаты соответствующего ей радиуса-вектора a =ОМ ={X,Y,Z}

совпадают.

2 = X 2 + Y 2 + Z 2

Модуль радиуса-вектора равен

или

X 2 + Y 2 + Z 2 .

Если вектор в пространстве определяется

начальной точкой N1(X1,Y1,Z1) и конечной точкой

N2(X2,Y2,Z2), то в координатной форме имеем

N1N2 ={X2 –X1; Y2-Y1; Z2-Z1}.

Декартовы координаты вектора равны его

проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой

системы координат.

Расстояние L между точками N1(X1,Y1,Z1) и N2(X2,Y2,Z2) выражается формулой

L = N1N2 = (X2 − X1 )2 + (Y2 −Y1 )2 + (Z2 − Z1 )2

Косинусы углов, образованных вектором d ={X,Y,Z} c осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.

Свойства направляющих косинусов:

1. X = |d | cosα, Y = |d | cosβ, Z = |d | cosγ.

2. cosα =	X	, cos β =	Y	,


	X 2 + Y 2 + Z 2		X 2 + Y 2 + Z 2
	X 2 + Y 2 + Z 2		X 2 + Y 2 + Z 2

cosγ = .

X 2 + Y 2 + Z 2

αβ

3.	cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
		x

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.20191.36 Mб25макет Word 2007.docx
#
08.11.2019925.74 Кб50манипуляции.doc
#
29.08.2019234.5 Кб8Маркетинг-план ТианДэ.doc
#
04.03.2016111.23 Кб20маркина.docx
#
04.03.2016620.54 Кб95Математика.doc
#
04.03.20163.05 Mб61МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ.pdf
#
04.03.2016955.9 Кб15материал по социологии.doc
#
27.11.2019380.47 Кб5Матричные игры.docx
#
27.11.20192.39 Mб6МЕБЕЛЬ.doc
#
11.08.201958.88 Кб11Медиация лекция 09.DOC
#
04.03.201666.91 Кб8менеджмент экзамен.docx