Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Орловский филиал РАНХиГС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

3.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

∞

Ряд ∑un (x)называется функциональным, если его члены являются функ-

n=1

циями от x. Совокупность всех значений х, при которых этот ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости сумма функционального ряда S(x) есть функция от х.

Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

∞	∞
∑un (x) = ∑an (x − x0 )n = a0		+ a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ...+ an (x − x0 )n + ... (5)
n=0	n=0
где an (n = 0, 1, …) - числа, называемые коэффициентами ряда. При
		∞	∞
x0=0	ряд принимает вид ∑un (x) = ∑an xn = a0 + a1x + a2 x2 + ...+ an xn + ....(6).
		n=0	n=0

Область сходимости степенного ряда (6) есть симметричный

относительно начала координат интервал (-R, R), называемый интервалом сходимости ряда (6). Число R (0 ≤ R < +∞) называется радиусом сходимости ряда (6).

Радиус сходимости может быть вычислен по формулам

R = lim		an				(7)
	a
n→∞			n+1
или
R = lim		1			.	(8)


n→∞ n			a	n

Степенной ряд (6) внутри интервала сходимости сходится абсолютно. Вне интервала сходимости ряд (6) расходится. Степенной ряд (5) сходится абсолютно на интервале (x0-R; x0+R). При x = ±R ряд (6) ( при x = x0 ± R ряд (5)) может расходится, сходится условно или сходится абсолютно.

181

Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда есть непрерывная функция. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда.

Пример 9. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ря-

∞

да ∑

. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

n=1

Имеем an

, an+1 =

2n+1

, тогда, используя формулу (7), найдём радиус

n +1

2n (n +1)

lim

n +1

<1.

сходимости

R = lim

2n+1 n

n→∞

2 n→∞ n

Таким образом,

ряд сходится абсолютно внутри интервала

−

;

и рас-

2 2

ходится вне этого интервала.

∞

При

x =

ряд принимает вид ∑

= ∑

. Это гармонический ряд,

n=1

известно, что он расходится.

∞ 2n (−1)n

∞

(−1)n

При

x = −

ряд принимает вид ∑

= ∑

. Это ряд Лейбница, он

n=1

сходится условно.

− 1 1

Следовательно, область сходимости данного ряда ; .

2 2

Ряд Тейлора.

Пусть функция f (x) имеет в некоторой окрестности точки x0 производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда для любого x из указанной окрестности имеет место формула Тейлора

f ′(x

)

f ′′(x

)

f (n) (x )

f (x) = f x

) +

(x − x

) +

(x − x

+ ...+

(x − x

) + R (x) ,

182

где Rn(x)- остаточный член, который может быть записан в форме Лагранжа

R (x) =	f (n+1)	(ξ )	(x − x )n+1	,	ξ (x; x ) или	ξ (x ; x).

n	(n +	1)!	0		0	0

Если функция f (x) имеет производные всех порядков, ограниченные в

совокупности в окрестности точки x0 или выполняется условие lim Rn (x) = 0 ,

n→∞

то в указанной окрестности функцию можно представить в виде степенного ряда

			f ′(x	0	)				f ′′(x )					f (n) (x	0	)
f (x) = f x		) +		0		(x − x		) +	0	(x − x		)2	+ ...+		0		(x − x		)n + ... .
f (x) = f x	0	) +	1!			(x − x	0	) +	2!	(x − x	0	)2	+ ...+	n!			(x − x	0	)n + ... .
	0						0				0							0

Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции

В случае x0 = 0 ряд Тейлора принимает вид

f (x) = f 0) +	f ′ 0)	x +	f ′′ 0)	x + ...+	f (n) 0)	xn + ...
	1!		2!		n!

Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.

При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:

ex = 1+

...+

xn−1

+ ... , x (− ∞;∞);

(n −1)!

sin x =

−

...+ (−1)n−1

x2n−1

+ ... ,

x (− ∞;∞);

2n −1)!

cos x = 1−

−

...+ (−1)n−1

x2(n−1)

+ ..., x (− ∞;∞);

[2(n −1)]!

ln(1+ x) = x −

−

+ ...+ (−1)n−1

+ ...,

x (−1;1);

ln(1+ x) = x −

−

+ ...+ (−1)n−1

x2n−1

+ ...;

x (−1;1).

2n −1

Пример 10. Разложить в ряд по степеням х функцию f (x) = 2x .

Найдем значения функции и ее производных в точке x0 = 0:

f (x) = 2x ,	f 0) = 20 = 1,
f ′(x) = 2x ln 2,	f ′ 0) = ln 2,

183

f ′′(x) = 2x ln2 2,

f ′′ 0) = ln2 2,

…………………………………………………

f (n) (x) = 2x lnn 2,

f (n) 0) = lnn 2.

Находим остаточный член

R (x) =

2ξ lnn+1 2

xn+1 . Так как при любом x

(n +1)!

lim

xn+1

= 0 , а 0 < ln 2 < 1, то lim R (x) = 0 . Следовательно, функцию можно

n→∞ (n +1)!

n→∞

представить в виде ряда Маклорена:

f (x) = 1+

ln x

x +

ln2 2

x2 +

ln3 2

x3...+

lnn 2

xn + ...,

x (− ∞;∞).

Ряды Фурье

Рядом Фурье функции f (x) , определённой на отрезке [−π;π ], называется

ряд

∞

+ ∑(an

cosnx + b sin nx),

n=1

коэффициенты которого определяются по формулам:

a =

f (x)dx ,

a =

f (x)cosnxdx ,

b =

f (x)sin nxdx .

∫

−π

Теорема Дирихле. Если функция f(x) на отрезке [−π;π ] имеет конечное

число экстремумов и является непрерывной, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода (эти условия называются условиями Дирихле), то её ряд Фурье сходится во всех точках отрезка [−π;π ] .

Если S(x) - сумма ряда Фурье функции f(x), то во всех точках непрерывности этой функции S(x)=f(x), а во всех точках x=x0 разрыва первого

рода S(x	) =	1	[f (x		− 0) + f (x		+ 0)]. На концах промежутка т. е. при x = ±π
				0		0
0		2

функция имеет значение S(x) = 1 [f (−π + 0) + f (π − 0)].

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом 2π .

Если функция f (x) задана на промежутке [−l;l] и удовлетворяет на нем условиям Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

184

∞

nπx

f (x) =

∑ an

cos

+ bn

sin

n=1

1 l

nπx

a0 =

∫ f (x)dx ,

∫

f (x)cos

dx ,

−l

где

bn = 1 ∫ l −l

(5)

f (x)sin nπx dx . l

В случае, когда f(x)- четная функция, ее ряд Фурье содержит только коси-

нусы, т.е.

				a0			∞			nπx
	f (x) =			a0	+ ∑ an				cos	nπx	,
	f (x) =				+ ∑ an				cos		,
	2					n=1				l
		2 l					nπx
где	an =		∫ f (x)cos					dx .
где	an =	l	∫ f (x)cos				l	dx .
	0

В случае, когда f(x)- нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только си-

нусы, т.е.

			∞				nπx
			f (x) = ∑ bn		sin		nπx	,
			f (x) = ∑ bn		sin			,
			n=1				l
		2 l		nπx
где	bn =		∫ f (x)sin			dx .
где	bn =	l	∫ f (x)sin	l		dx .
			0

Пример 11. Разложить в ряд Фурье на отрезке [-2‚ 2] функцию f(x)=x.

Эта функция на заданном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, так как непрерывна и монотонно возрастает. В силу нечетности функции ее ряд Фурье имеет вид

∞

nπx

f (x) = ∑ bn

sin

n=1

u = x,dv = sin

nπx

2 2

nπx

где bn

∫xsin

dx =

nπx

= −x

cos

∫cos

dx =

nπ

du = dx,v = −

cos

nπ

= −

cosnπ +

sin

nπx

2 = (−1)n+1

. Таким образом

nπ

(nπ )2

nπ

185

		∞	(−1)	n+1
f (x) =	4	∑			sin	nπx	.
	π
		n=1	n	2

Задачи для самостоятельного решения.

Числовые ряды.

Найти сумму числового ряда:

1.		1	+	1	+K+				1		+K.
	2			4					n
								2
	5			13						2n +			3n
2.			+				+K+							+K.
	6			36							6n

3.	1			+			1	+K+					1		+K .

	1 2					2 3						n (n + 1)

4.	1	+	1		+K+	1		+K .

	1 3		3 5			(2n − 1) (2n + 1)
	1				1	1
5.			+			+K+			+K
	1 2 3			2 3 4			n (n + 1) (n + 2)

Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов:

∞

+ 1

∞

∑

10. ∑(

−

) .

n + 1

n=1

− 2

n=1

10n + 1

n=1

∞

n + 1

∞

2n − 1

∑

n=1

2n + 1

n=1

n3 + 3

Используя признак сравнения, исследовать сходимость числовых рядов:

	∞				1
11.	∑				1			.
11.	∑	n	2					.
	n=1	n			+	3
	∞				1
12.	∑				1				.


	n=1	3		n − 1
	∞	1+ n
13.	∑	1+ n					.
13.	∑	2					.
	n=1	1+ n
	∞					1
14.	∑					1				.

		n	2		−	4n + 5
	n=1	n			−	4n + 5

	∞				π
15.	∑sin				π			.
15.	∑sin					n		.
	n=1		2
	∞			π
16.	∑tg			π			.
16.	∑tg						.
	n=1			4n
	∞		1
17.	∑		1							.
17.	∑									.
	n=1	ln(n +							1)
	∞	lnn
18.	∑	lnn				.
	∑

	n=1	4	n5

∞

19. ∑(n − n − 1) .

n=1

20.∑∞ 1 (n + 1 − n − 1) .

n=1 n

Исследовать сходимость данных рядов с помощью признака Даламбера:

21. ∑∞ 2n −n 1 .

n=1 2

∑∞ n2

22. n=1 3n .

∑∞ n2 + 1

23. n=1 5n+1 .

∑∞ 3n

24. n=1 n! .

	∞	n
25.	∑				.

	n=1	(n +	1)!
	∞	(n + 1)!
26.	∑				.
		n
	n=1	2 n!
	∞	(n + 1)!
27.	∑				.
		n
	n=1	n
	∞			π
28.	∑n tg					.
				n+1
	n=1		2

	∞			π
29.	∑n2 sin			π		.
29.	∑n2 sin			n		.
	n=1			2
	∞	(3n + 2)!
30.	∑	(3n + 2)!			.
30.	∑	n 2			.
	n=1	10	n

Исследовать сходимость данных рядов с помощью радикального признака Коши:

186

∞

n +1 n2

31. ∑

35.

∑

39. ∑

(lnn)

n=1

2n +

n=2

n=1

n + 1 n

∞

n 3n+2

∞

36.

∑n3arctgn

32. ∑

40. ∑

n=1

∞

n=1

∞

2n +1

33. ∑

∑

37.

n=1

(n + 1)

n=1

3n − 2

∞

n 1

∞

n n2

34. ∑arcsin

38.

∑

n=1

n + 1

Исследовать сходимость данных рядов с помощью интегрального признака Коши:

	∞	1
41.	∑			.
		2
	n=2	nln	n
	∞		1
42.	∑n=1				.

		(2n −1)ln(2n)

∞

1+ n

43.

∑

45. ∑

(n − 2)

ln(n − 3)

1+ n

n=5

n=1

∞

n +1

44.

∑

n=2

n −1

Исследовать сходимость данных рядов:

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

n+1

46.

∑

50.

∑

n=1

2n −1

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

47.

∑

51.

∑

n=1

ln(n +1)

n=1

nln(2n)

∞

(−1)

(n + 3)

∞

48.

∑

52.

∑

(−1)n cos

n=1

ln(n + 4)

n=1

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

n−1

49.

∑

53.

∑

(2n +1)

2n+1

n 2

n=1

Функциональные ряды.

Определить области сходимости рядов:

	∞					∞	sinnx
56.	∑lnn (x) .				58.	∑	sinnx		.
56.	∑lnn (x) .				58.	∑	n		.
	n=1					n=1	2
	∞	1				∞		x
57.	∑	1		.	59.	∑xntg		x		.
57.	∑	1+ x	n	.	59.	∑xntg		n		.
	n=1	1+ x				n=1		2

Степенные ряды.

	∞	(−1)		n
54.	∑					.

	n=1	n − lnn
	∞	(−1)	n+1		2		n2
55.	∑							.
		n!
	n=1

∞	1	1+ x n
60. ∑

n=1	(n + 3)	1− x

Найти интервалы сходимости степенных рядов. Исследовать сходимость рядов на концах интервала сходимости.

∞	xn			∞	xn		∞	(x +1)n
61. ∑			.	62. ∑(−1)n+1		.	63. ∑			.
	n 5	n						3	n
n=1				n=1	n		n=1

187

∞

(x − 1)n

∞

4n (x + 1)

64.

∑

67. ∑tg

(x + 5)n .

70. ∑

n=1

∞

(x + 4)

∞

+ 1)(x − 2)

65.

∑

68. ∑

3 n4 − 2

n=2

n=1

∞

69. ∑

(x + 5)2n+1 .

66.

∑

xn .

n=1

1)!

Разложить функцию y = f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

71.

f (x) = sin2

x ,

= π .

76.

f (x) =

, x0 = 0 .

f (x) = ln x , x0

= 1.

1+ x2

72.

73.

f (x) =

x0 = 2 .

77.

f (x) = shx =

− e− x

, x

= 0 .

74.

f (x) = 3

3− x

= 0 .

78.

f (x) = x2ex , x

= 0 .

75.

πx

= 2 .

79.

f (x) = cos(x + π ) ,

= 0 .

f (x) = sin

f (x) = ex sin x ,

= 0 .

80.

Ряды Фурье.

Разложить в ряд Фурье данные функции в указанных интервалах.

81.Функцию f (x) = πx в интервале (0;π) в ряд синусов.

82.Функцию f (x) = π − x в интервале (0;π) в ряд синусов.

83.Функцию f (x) = x2 в интервале (0;π) в ряд косинусов.

84.Функцию f (x) = 2 − x в интервале (0;2) в ряд косинусов.

85.Функцию f (x) = x в интервале (−2;2) в ряд синусов.

86. Функцию	f (x) =	2x,npu − π ≤ x < 0,			в интервале (−π;π) .
			0,npu0 ≤ x < π.

	f (x) =	− x,npu − π ≤ x ≤ 0,			в интервале (−π;π) .
87. Функцию			π ,npu0 < x < 2.
88. Функцию	f (x) =	x + 1,npu − 1 < x ≤ 0,
			0,npu0 < x ≤ 1.		в интервале (−11;) .

89. Функцию	f (x) =	− (x + 2),npu − 2 ≤ x ≤ 0,
					в интервале (−2;2) .
			− (x − 2),npu0 < x < 2.
		− x,npu − π ≤ x < 0,
90. Функцию	f (x) =		x2		в интервале (−π;π) .
				,npu0 ≤ x < π.
			π

188

ЛИТЕРАТУРА.

Беклемишев,Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В.Беклемишев. – М.: Высшая школа, 1998. – 320 с.

Бугров,Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1980. – 176с. (- М.: Наука, 1984; Дрофа, 2006)

Бугров,Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1988 (Дрофа, 2007).

Бугров,Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский. – М.: Наука, 1985 (Дрофа, 2005).

Ильин,В.А. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк - М.: Физматлит, 2007.

Ильин,В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов. / В.А.Ильин, Э.Г.Позняк - М.: Физматлит, 2007.

Каплан,И.А. Практикум по высшей математике: в 2 т.учебное пособие / И.А. Каплан, В.И. Пустынников : под общ. ред. проф. В.И. Пустынникова. – 6-е изд., испр. и доп. -М.: Эксмо, 2006. – Т.1 - 576 с.; Т.2 – 512с. – (Образовательный стандарт XXI).

Курош,А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г.Курош. – М.: Наука, 1968. – 432

с.

Лунгу,Н.К. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / Н.К.Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.– М.: Айрис-пресс, 2003.- 576 с.: ил. – (Высшее образование).

Лунгу,Н.К. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Под ред. С.Н. Федина. / Н.К.Лунгу, В.П.Норин, Д.Т.Письменный, Ю.А.Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2004.- 592 с.: ил. – (Высшее образование).

Мальцев,А.И. Основы линейной алгебры / А.И.Мальцев. – М.: Наука, 1970. – 400 с.

Пискунов,Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2.

Привалов,И.И. Аналитическая геометрия. / И.И.Привалов. М.: Наука, 1966. - 272 с.

189

Рублев, А.Н. Линейная алгебра / А.Н.Рублев. – М.: Высшая школа, 1968.

– 384 с.

Рябушко,А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 1 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; Под общей редакцией А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. шк., 1990. – 272 с.:

ил.

Рябушко,А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч. 2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; Под общей редакцией А.П. Рябушко.- Мн.: Выш. шк., 1991. – 352 с.:

ил.

Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа: В 2ч./В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко и др.; Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.- М.: Наука, 1981. – Ч.1. – 368 с.

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Математический анализ. Теория вероятностей. Математическая статистика. Линейное программирование: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. 575 с. – (Серия «Высшее образование»).

Смирнов,В.И. Курс высшей математики, т. 1,2./ В.И.Смирнов. - Изд-во БХВ-Петербург, 2007.

Тышкевич,Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия / Р.И.Тышкевич, А.С.Феденко. – Минск.: Вышэйшая школа, 1968. – 504 с.

Шнейдер,В.Е. Краткий курс высшей математики. Том 1 / В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. – М.: Высшая школа, 1978. – 384 с.

Шнейдер,В.Е. Краткий курс высшей математики. Том 2 / В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцкий, А.С.Шумов. – М.: Высшая школа, 1978. – 328 с.

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.08.20191.36 Mб25макет Word 2007.docx
#
08.11.2019925.74 Кб50манипуляции.doc
#
29.08.2019234.5 Кб8Маркетинг-план ТианДэ.doc
#
04.03.2016111.23 Кб20маркина.docx
#
04.03.2016620.54 Кб95Математика.doc
#
04.03.20163.05 Mб61МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ.pdf
#
04.03.2016955.9 Кб15материал по социологии.doc
#
27.11.2019380.47 Кб5Матричные игры.docx
#
27.11.20192.39 Mб6МЕБЕЛЬ.doc
#
11.08.201958.88 Кб11Медиация лекция 09.DOC
#
04.03.201666.91 Кб8менеджмент экзамен.docx