МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ
.pdfг) угол между стороной АВ и медианой АМ; д) координаты точки пересечения медианы АМ и высоты ВН; е) расстояние от вершины С до стороны АВ.
Решение.
а) Известны координаты двух точек. Поэтому воспользуемся уравнением (4).
x − 2 |
= |
y + 2 |
; |
x − 2 |
= |
y + 2 |
-каноническое уравнение прямой АВ. При- |
|
|
|
|
||||
3 − 2 1+ 2 |
1 |
3 |
|
ведем это уравнение к общему виду. 3(x − 2) = y + 2; 3x − y − 8 = 0 |
- искомое |
||||||||||||
уравнение в общем виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
б) Медиана АМ делит сторону ВС пополам. Найдем координаты точки |
||||||||||||
М. Используем |
|
формулы |
|
|
координат середины отрезка. |
x = |
x1 + x2 |
, |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
y = |
y1 + y2 |
, где (x ; y ) |
и (x ; y |
) |
координаты концов отрезка. x = |
3 |
− 4 |
= −0,5; |
|||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1+ 2 =1,5. М(-0,5;1,5). Уравнение медианы запишем с помощью уравне- 2
ния прямой (4), проходящей через две данные точки.
|
x − 2 |
|
= |
y + 2 |
; |
x − 2 |
= |
y + 2 |
. Или, в общем виде, 3,5x + 2,5y − 2 = 0. |
|
|
− 0,5 − |
|
|
− ,5 |
|
|||||
|
2 |
1,5 + 2 |
|
3,5 |
|
|
||||
Умножим обе части уравнения на 2. |
Уравнение медианы АМ: 7x + 5y − 4 = 0 . |
в) Высота ВН треугольника АВС перпендикулярна к стороне АС. Сле-
→
довательно, вектор АС = {− 6;0} является нормальным для прямой ВН. Ис-
пользуем уравнение (2).
− 6(x − 3) + 0(y −1) = 0. Уравнение высоты ВН: x − 3 = 0. Прямая ВН параллельна оси ОУ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Нормальные векторы прямых АМ и АВ N1 |
= {7;5} и N2 |
= {3;−1} соот- |
|||||||||||||||||
ветственно. сosα = |
|
|
N N |
|
r |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
r 1 |
|
|
|
r2 |
|
. N1 N 2= 7 3+ 5 (−1) =16, |
N1 |
= |
7 + 5 |
= 74 , |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
= 32 + (−1)2 |
= 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
сosα = |
|
16 |
|
|
= |
|
8 |
|
= |
|
8 |
|
; α = arccos |
|
8 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
37 5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
74 10 |
|
|
|
185 |
185 |
|
|
д) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых АМ и ВН, решим систему из уравнений этих прямых
7x + 5y − 4 |
= 0; |
x = 3; |
. |
|
|
= 0 |
|
|
|
x − 3 |
|
y = −3,4 |
|
е) расстояние от точки С(-4;-2) до прямой АВ: 3x − y − 8 = 0 |
находим по |
||||||||||||||||||||
|
|
Ax0 |
+ By0 + C |
|
|
|
|
|
3 (−4) − (− ) − 8 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
формуле d = |
|
|
|
. d = |
|
|
|
= |
|
=1,8 10 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
32 + (−1)2 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти координаты точки В, симметричной точке А(2;-3) относительно прямой l :3x − 5y +13 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно прямой l .
Решение.
Точка В лежит на прямой m, перпендикулярной прямой l , проходящей через точку А. Составим уравнение этой прямой.
3
Угловой коэффициент прямой l : k = , тогда угловой коэффициент
1 5
перпендикулярной прямой k |
|
= − |
1 |
= − |
5 |
. Воспользуемся уравнением прямой |
|||||||||||||||
2 |
k1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(6). y + 3 = − |
5 |
(x − |
) ; 3y + 9 = −5x +10 ; |
5x + 3y −1= 0. Точка |
пересечения |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прямых l |
и m является проекцией точки А на прямую l , а также, серединой |
||||||||||||||||||||
отрезка |
АВ. |
Ее |
координаты |
|
являются решением |
системы |
уравнений |
||||||||||||||
3x − 5y +13 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = −1; y = 2. |
|
|
||||||||||
5x + 3y −1= 0. |
Решение системы |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда координаты точки В можно найти, используя формулы коорди- |
|||||||||||||||||||||
нат середины отрезка x = |
x1 + x2 |
; y = |
y1 + y2 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
-1= |
2 + x2 |
; |
2 |
= − 3 + y2 ; |
x |
|
= −4, y |
|
= 7. Точка |
В имеет |
координаты |
||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(-4;7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Составим уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно прямой l . Так как прямые параллельны, их угловые коэффициенты равны. Используем уравнение прямой (6).
y − 7 = 3(x + 4); 5y − 35 = 3x +12; 3x − 5y + 47 = 0 искомое уравнение. 5
Задачи для самостоятельного решения.
1.В треугольнике АВС составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А. A(−4;2), B(−7;7), C(−13;−13).
2.В треугольнике АВС составить уравнение прямой, проходящей через вершину А перпендикулярно медиане BM . A(0;4),
B(2;6), C(8;−2) .
3.В треугольнике АВС найти проекцию вершины В на сторону АС. A(2;4) , B(4;10), C(6;−2).
4.Составить уравнения прямых, проходящих через точку
A(2;1):а) параллельно прямой 3x + 2y − 5 = 0; б) перпендикулярно прямой A(2;1)3х+4у-2=0.
5. Зная координаты вершины A(1;3) треугольника АВС и уравнения двух его медиан x − 2y +1= 0; y −1= 0 составить уравнения всех сторон треугольника.
6. Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на прямых, имеющих следующие уравнения: x + y +1= 0; x − 4y − 9 = 0; x + 6y +1= 0. Составить уравнения высоты, проведенной из вершины А.
7.Пусть стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС лежат на прямых, имеющих следующие уравнения: 2x + y − 2 = 0 ; 5x + y − 2 = 0; x =1. Написать уравнение медианы, проведенной из вершины В.
8.Найти точку В* симметричную точке B(3;5) относительно
прямой, проходящей через точки A(0;1) и C(8;−3).
9.Даны координаты вершин четырехугольника АВСD :
A(0;1) , B(3;6), C(8;2), D(5;−2). Найти угол между диагональю АС и стороной АD.
10. Даны вершина A(2;6) треугольника АВС и уравнения высот y = x и y = −2x, проходящих через вершины В и С. Написать уравнение стороны ВС треугольника АВС.
11. Одна из сторон квадрата лежит на прямой 3x + 2y − 7 = 0, а координаты одной из вершин квадрата A(−2;3). Найти площадь этого квадрата.
43
12. Одна из вершин квадрата A(1;2) лежит на стороне, уравнение которой 2x + y − 4 = 0 . Написать уравнение диагонали квадрата, выходящей из точки А.
13.Найти точку А* симметричную точке A(2;4) относительно прямой 2x + 3y −12 = 0. Сделать чертеж.
14.В треугольнике АВС: A(−2;2), B(2;5) , C(6;−4). Написать
уравнение биссектрисы, выходящей из вершины А.
15. Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма АВСD: A(−4;2), B(0;6), C(6;−2). Найти координаты вершины D. Написать уравнение диагонали ВD.
16.Написать уравнение прямой, проходящей через точку
A(2;−3) и точку М, делящую отрезок ВС в отношении 3:2, где B(4;1), C(6;4) .
17. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС: A(0;2), B(4;1), C(2;−6) .
3.2 Плоскость и прямая в пространстве.
Плоскость. Общее уравнение плоскости: |
|
|
, |
|
|||
|
|
где A, B, C - координаты нормального вектора.
Если в этом уравнении D = 0, то плоскость проходит через начало коорди-
нат, и ее уравнение примет вид |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
Существуют различные способы задания плоскости и соответствующие им виды ее уравнения.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Уравнение плоскости в «отрезках»: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
где a, b, c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоско- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
стью координатных осей Ох, Оу Оz соответственно. |
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
Уравнение |
плоскости, |
|
проходящей |
|
через три данные точки |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Нормальное уравнение плоскости: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
где |
- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на |
плоскость; , , – углы, образованные единичным вектором , име-
ющего направление указанного перпендикуляра, с осями Ох, Оу и Оz ().
Рассмотрим простейшие задачи.
I.Пусть даны две плоскости
,
.
Величина угла между плоскостями и вычисляется на основа-
нии формулы
,
где и - нормальные векторы данных плоско-
стей.
Условие перпендикулярности данных плоскостей:
, или |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
Условие параллельности двух плоскостей:
.
II. Расстояние d от точки |
|
|
|
|
|
до плоскости |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
,
вычисляется по формуле
.
Пример 1.Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки и .
Используем уравнение плоскости и координаты точки , получим
.
45
Так как плоскость параллельна оси Ох, то . Уравнение плоскости примет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в это уравнение координаты точки |
, получим |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
, |
|
|
. |
|
||
Искомое уравнение примет вид |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поделив обе части уравнения на |
( |
, так как если |
|
|
, то и |
, |
||||||||||||||
но нормальный вектор |
|
|
|
|
|
не может быть нулевым вектором), получим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
уравнение, которое и является искомым уравнением плоскости.
Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
Так как искомая плоскость параллельна данной, то нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором данной плоскости, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Используя уравнение плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и координаты точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получим |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и параллельной векторам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользовавшись |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получим |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
, то в качестве ее нормального |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Так как плоскость параллельна векторам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
можно взять вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Используя формулу |
,
получим
46
.
Подставляем в уравнение
,
упрощаем и получим искомое уравнение
.
Эту задачу можно решить другим способом.
Возьмем произвольную точку искомой плоскости - . Найдем ко-
ординаты вектора . Векторы , и компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.
,
раскрывая определитель, получим
.
Прямая в пространстве. В зависимости от способа задания прямой в пространстве рассматриваются различные способы ее задания.
1. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку
параллельно вектору |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
: |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где направляющий вектор этой прямой.
2. Параметрические уравнения прямой:
где переменный параметр, .
3. Уравнения прямой, проходящей через две точки |
|
и |
|
:
.
4.Общие уравнения прямой в пространстве.
Две пересекающиеся плоскости определяют прямую:
где нормальные вектора этих плоскостей не коллинеарные. Направляющий вектор этой прямой находится по формуле
47
.
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве. Пусть даны две прямые
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а также плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для двух прямых в пространстве возможен один из вариантов взаимного расположения
a)параллельны;
b)совпадают;
c)пересекаются;
d)скрещиваются.
Влюбом случае прямые образуют некоторый угол (между их направляющими векторами и ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- направляющие векторы данных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Условие параллельности прямых имеет вид: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а условие их совпадения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки, принадлежащие прямым и . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Необходимое и достаточное |
условие |
|
|
|
|
пересечения непараллельных прямых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
), запишется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если это условие не выполняется, то прямые скрещивающиеся.
Расстояние h от точки до прямой, проходящей через точку параллельно вектору вычисляется по формуле
48
.
Пример 4. Преобразовать общие уравнения прямой к каноническому виду
Для решения этой задачи необходимо найти направляющий вектор и ка- кую-нибудь точку, принадлежащую этой прямой.
Направляющий вектор находим по формуле
.
Точку на прямой будем искать следующим образом: примем , тогда система примет вид
Решив эту систему, найдем |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получим точку |
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
лежащую на прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Канонические уравнения прямой запишутся в виде: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через |
|||||||||||||||||||||||||||||
точку |
, параллельно вектору |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Используя |
данные условия задачи, запишем канонические уравнения пря- |
||||||||||||||||||||||||||||
мой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Приравняем каждое из отношений к параметру t, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-параметрические уравнения прямой.
|
|
Пример |
6. Найти расстояние от точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до прямой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
в направлении векто- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
По условию, прямая проходит через точку |
|
|
|
||||||||||||||||
ра |
|
. Найдем координаты вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выполним |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
необходимые вычисления, используя формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
,
,
,
,
.
Прямая и плоскость в пространстве. Пусть даны прямая
,
где направляющий вектор этой прямой, и плоскость
,
где |
|
|
|
|
|
- нормальный вектор плоскости. |
|||||||||||||||
|
Угол между прямой и плоскостью |
|
|
определяется по формуле |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности прямой (l) и плоскости () имеет вид
Am + Вn + Ср = 0 ;
условие их перпендикулярности:
.
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости удобно воспользоваться параметрическими уравнениями прямой
координаты точки пересечения находятся из системы уравнений
Условие, при котором прямая (l) лежит в плоскости :
50