Указания к выполнению типового расчета

Типовой расчет оформляется в любом исполнении (рукописном, машинописном, компьютерном). Работа должна содержать все необходимые пояснения. Формулы должны содержать расшифровку принятых слушателем обозначений. Страницы должны быть пронумерованы, рисунки и таблицы должны быть снабжены заголовками. В конце работы приводится перечень использованных литературных источников.

Раздел 1. Основные положения теории функций

1.1. Понятие функции

Понятие функции является центральным в математике. В самом общем случае функция — это закон (правило), устанавливающий однозначное соответствие элементов одного множества (аргумента, независимой переменной) элементов другого множества (функции, зависимой переменной).

В терминах теории множеств такое соответствие можно обозначить так:

f

G  E, (1.1)

где G — множество элементов аргумента (область определения); E — множество элементов функции (множество значений функции); f — символ функционального соответствия (закон, устанавливающий вид однозначного соответствия G  E).

Чаще формулу (1.1) записывают в виде

y = f(x), x  G, y  E, (1.2)

где x — аргумент (независимая переменная); у — зависимая переменная (функции); f — символ функционального соответствия.

В математике принято функцией называть как зависимую переменную, так и символ функционального соответствия, поэтому часто пишут так:

y = у(x). (1.3)

Форма задания функции может быть различной: в виде таблицы, графика, формулы.

Пример 1. Известно, что при закупке больших партий товара часто предоставляется оптовая скидка. Пусть при закупках менее 100 шт. цена будет 2 у.е. за штуку, при закупках от 100 до 1000 — 1,95 у.е. за штуку, а при закупках не менее 1000 шт. — 1,9 у.е. за штуку. Тогда стоимость произвольной партии товара может быть выражена в виде системы уравнений:

f(x) = (1.4)

Пример 2. Некоторая фирма производит продукцию, которую продает по 100 у.е. за штуку. Если обозначить через Р (price) цену продукции, а через Q объем продаж, то полный доход R (revenue), получаемый от продажи произвольной партии товара, может быть выражен формулой

R = PQ. (1.5)

Необходимо понимать, что без указаний области определения независимой переменной и (или) множества значений зависимой переменной (функции) формулы, выражающие функциональную связь в практических приложениях, могут полностью терять свой смысл. Приведем пример, иллюстрирующий сказанное.

Пример 3. Известно, что повышение цены порождает дополнительное предложение (товара, услуг и т.п.). Если обозначить через Р (price) цену товара, а через S (supply) предложение, т.е. количество товара, которое может быть представлено на рынке для продаже по данной цене, то сказанное можно выразить формулой

S = f(P), (1.6)

называемой функцией (кривой) предложения. Пусть при повышении цены от 10 до 12 у.е. предложение увеличилось с 160 до 200 единиц товара. Это может быть отражено в виде простой формулы:

S = 20P – 40, P  [10, 12], S  [160, 200], (1.7)

называемой линейным приближением кривой предложения. Понятно, что формула (1.7) имеет смысл только в интервале цен от 10 до 12 у.е. и интервале предложения от 160 до 200 единиц товара. Так, формула (1.7) не имеет смысла при S = 0, т.е. нельзя говорить о минимальной цене, при которой предложение товара будет отсутствовать, хотя формально можно рассчитать значение P* = 2, при котором S = 0.

1.2. Линейная функция

Линейная функция является наиболее простой и в то же время широко используемой в теории и на практике функцией. Действительно, любую кривую можно в ограниченном интервале изменения независимой и зависимой переменных приближенно заменить отрезком прямой (линеаризовать функцию).

Математически линейная функция выражается формулой

y = kx + b, (1.8)

где k и b — постоянные величины.

График линейной функции — прямая линия. Естественной областью определения независимой переменной и множества значений зависимой переменной является множество действительных чисел, т.е. график линейной функции не ограничен на всей плоскости двух переменных (x, y).

Смысл постоянной k, называемый угловым коэффициентом — насколько увеличится значение функции y при увеличении на единицу независимой переменной x. Величина b (свободный член) равна расстоянию (с соответствующим знаком) от начала координат до точки пересечения прямой линии с осью ординат Оy (рис. 1.1).

Однако уравнение (1.8) не описывает все возможные прямые на плоскости двух переменных (x, y). Так, невозможно указать величину углового коэффициента для вертикальной прямой, параллельной оси Оy.

Масштаб

1

Линия 2Y

Линия 1

k > 0

b > 0

O X

b < 0

k < 0

Рис. 1.1. Графики линейных функций

График любой линейной функции выражается формулой

Аx + Вy + С = 0, (1.9)

где А, В и С — действительные числа, называемые коэффициентами общего уравнения линейной функции. Это уравнение можно привести к виду (1.8) путем расчета его углового коэффициента k и свободного члена b по формулам

k = –А/В , b = – С/B, (1.10)

если коэффициент общего уравнения В  0.

При равенстве нулю коэффициента общего уравнения С прямая проходит через начало координат; при равенстве нулю коэффициента общего уравнения А или В прямая пройдет параллельно оси Ох или Оy.

В случае С  0 уравнение (1.10) может быть также представлено в виде т.н. уравнения в отрезках:

x/a + y/b = 1, (1.11)

где a и b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох или Оy. Эти отрезки определяются через коэффициенты общего уравнения (1.9) по формулам

а = –С/А, b = – С/В. (1.12)

1.3. Квадратичная функция

Квадратичная функция является наиболее простой среди нелинейных функцией.

Математически квадратичная функция выражается формулой

y = аx² + bx + с, (1.13)

где а, b, с — постоянные величины.

График квадратичной функции представляет собой параболу с вершиной, находящейся в точке с координатами максимума или минимума.

Исследование формы параболы можно проводить методами аналитической геометрии. Применение понятий математического анализа (первой и второй производной) позволяет во многом упростить это исследование.

Ниже на примере исследования рыночного равновесия трех экономических показателей (спрос, предложение, цена) излагается приложение математического анализа к задачам экономики и управления.