Задача 35.

Компланарны ли векторы ,и? Если нет, то указать, какую тройку, левую или правую, они образуют, и вычислить объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Решение:

, т.е. заданные векторы некомпланарны, а объем параллелепипеда, построенного на этих векторах. Так как, то они образуют правую тройку.

Задача 36.

Векторы ислужат сторонами треугольника. Найти высоту.

Решение:

Из геометрического смысла векторного произведения:

.

С другой стороны,

.

Задача 37.

Вычислить произведение .

Решение:

Используя свойство линейности смешанного произведения, получаем:

в силу компланарности каждой из этих троек, следовательно:

Задача 38.

Даны вершины тетраэдра ,,,. Найти его высоту (длину), опущенную из вершины.

Решение:

Так как ,, а, то:

.

С другой стороны, . Находим:

.

Следовательно, .

Практическое занятие 5. Прямая и плоскость

Вопросы для повторения

1. Общее уравнение прямой.

2. Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

3. Каноническое уравнение прямой.

4. Векторное параметрическое уравнение прямой.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

6. Расчет угла между прямыми.

7. Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.

8. Понятие поверхности -го порядка.

9. Общее уравнение плоскости.

10. Понятие нормального вектора плоскости.

11. Уравнение плоскости в отрезках.

12. Нормальное уравнение плоскости.

13. Вычисление отклонения точки от плоскости.

Задача 39.

Определить площадь треугольника, образованного прямой с осями координат.

Ответ: 20 кв.ед.

Задача 40.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Указание:

Использовать уравнение и формулу.

Ответ: или.

Задача 41.

Прибыль от продажи 50 шт. товара составляет 50 ден. ед., 100 шт. – 200 ден. ед. Определить прибыль от продажи 500 шт. товара, при условии, что функция прибыли линейна.

Ответ: 1400 ден. ед.

Задача 42.

Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол.

Ответ: .

Задача 43.

Показать, что прямые иперпендикулярны.

Решение:

Преобразуем уравнения прямых и, т.е.и. Посколькуто прямые перпендикулярны.

Задача 44.

Написать уравнение прямых, проходящих через точку под угломк прямой.

Ответ: и.

Задача 45.

Показать, что прямые ипересекаются, и найти координаты точки пересечения.

Решение:

Так как , т.е., то прямые пересекаются. В результате решения системы уравнений

находятся координаты точки пересечения ,.

Задача 46.

Издержки перевозки двумя средствами транспорта выражаются функциями и, где– расстояние перевозки в сотнях километров, а– транспортные расходы в денежных единицах. Определить, начиная с какого расстояния, более выгодным становится второе средство.

Ответ: .

Задача 47.

Определить расстояние от точки до прямой.

Решение:

.

Задача 48.

Стороны треугольника описываются уравнениями (AB);(BC);(AC). Найти длину высоты, проведенной из вершиныB.

Ответ: .

Задача 49.

Определить расстояние между параллельными прямыми и.

Ответ: .

Задача 50.

Составить уравнение плоскости, походящей через точку и перпендикулярной вектору.

Ответ: .

Задача 51.

Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точкии.

Ответ: .

Практическое занятие 6. Кривые второго порядка

Вопросы для повторения

1. Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.

2. Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса.

3. Каноническое уравнение гиперболы.

4. Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы.

6. Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.

Задача 52.

Написать уравнение окружности с центром и радиусом, равным 5. Определить принадлежность точек,,этой окружности.

Ответ:

; Точкиипринадлежат окружности, а точкане принадлежит.

Задача 53.

Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение:

Задача 54.

Написать уравнение касательных к окружности , проходящих через начало координат.

Решение:

Уравнение касательной , т.к. прямая проходит через начало координат.

Касательная к окружности имеет с ней одну общую точку. Чтобы найти эту точку, необходимо решить систему уравнений:

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

.

Это уравнение имеет два равных корня, когда дискриминант равен нулю, т.е.

откуда ,.

Эллипс

Эллипсомназывается линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точекиесть величина постоянная (большая, чем расстояние между точкамии). Координаты точеки, соответственнои.

Каноническое уравнение эллипса: .

Число называетсяэксцентриситетом эллипса.

Фокальными радиусамиточкиэллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусамии. Их длиныизадаются формуламии. Прямыеназываютсядиректрисамиэллипса. Директрисаназывается левой, а‑ правой.