Задания для практических занятий Практическое занятие 1. Множества. Числовые множества Вопросы для повторения

1. Основные операции над множествами.

2. Понятие отображения.

3. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.

4. Вычисление числа размещений, перестановок и сочетаний.

Множеством-степеньюмножестваназывается множество всех подмножеств множества. Множество-степеньконечного–элементного множествасодержитэлементов.

Суммойилиобъединениемдвух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств.

Произведениемилипересечениемдвух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств.

Разностьюмножествиилидополнениемдоназывается множество, состоящее только из тех элементов, которые не входят в.

Взятием дополненияназывают разность(дополнениедо) обозначают как.

Декартовым произведениемдвух исходных множествиназывается множество, составленное из упорядоченных пар ().

Задача 1

Для множества перечислить все элементы множества-степени.

Решение:

.

Задача 2

Определить число элементов множества-степени , содержащихэлементов, если множествосодержитэлементов.

Ответ: .

Задача 3

Описать каждую из областей рисунка с помощью операций объединения, пересечения и дополнения.

Решение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Задача 4.

Найти ,,,, если,.

Решение:

.

.

.

.

Отображения

Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств.

Элемент называетсяобразомэлементапри отображении, а элементназываетсяпрообразомэлементапри этом отображении.

Отображение называетсясюръективным, когда каждый элемент множества (имеет хотя бы один прообраз множества(, т.е. , или.

Отображение называетсяинъективным, когда каждый элементмножества(является образом лишь одного элемента множества(, т.е. образы любых двух различных элементов множестваразличны, т.е. изследует.

Отображение называетсябиективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества.

Задача 5.

Для указанных отображений найти образ 1, прообраз 1 и определить тип отображения.

1. 

Ответ: ;

2. 

Ответ: ;

3. 

Ответ: ;

4. 

Ответ: ;

5. 

Ответ: ;

6. 

Ответ: ;

7. 

Ответ: ;

8. 

Ответ: ;

9. 

Ответ: ;

10. 

Ответ: ;

11. 

Ответ: ;

12. 

Ответ: .

Если заданы преобразования и, то преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования, а затем и преобразования, называетсяпроизведениемпреобразованийи:.

Для преобразований ,иодного и того же множествасправедливы следующие законы:

• ;

• ;

• .

Задача 6.

Найти ,,,, если

1. 

Ответ:

2. 

Ответ:

Практическое занятие 2. Комплексные числа Вопросы для повторения

1. Понятие комплексного числа.

2. Понятие мнимой единицы (числа ).

3. Основные операции над комплексными числами.

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

5. Понятие модуля комплексного числа.

6. Понятие аргумента комплексного числа.

7. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

8. Формула Муавра.

Множеством комплексных чисел называется множество, которое представляет собой множество всех двучленов вида.

Мнимой единицей называется корень уравненияили .

Действительное число называетсядействительной частьюкомплексного числа,‑ мнимой частьюили коэффициентом при мнимой единице.

Число называетсясопряженнымчислу.

Расстояние от точки до начала координат есть действительное неотрицательное число, которое называетсямодулемкомплексного числаи находится по формуле.

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки называетсяаргументоми определяется из равенств,. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных, при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Тригонометрической формой комплексного числа называется запись числа в виде:

.

Показательной формой комплексного числа называется запись числа в виде.

Формула возведения комплексного числа в степень (формула Муавра):

.

Формула вычисления корней степени комплексного числа:

.