- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
Задачі для розв’язання
1. За заданим законом розподілу ймовірностей
1
0,9
0,8
0,7
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
xi
0
F
0,6
0,55
0,4
0,3
0,2
0,1
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
xi
0
ni
0,149
0,069
0,046
0,023
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
0
ni
6
5
4 3
2
1
xi f(x) F(x) 1 x
8 1
x
1
Хі
-6
-4
1
3
5
8
Рі
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,2
F(x)
1
обчислити M(X), D(X), (X).
2. Нехай Х – число гербів, що випали при підкиданні двох симетричних монет. Записати закон розподілу випадкової величини Х. Обчислити M(X), D(X)
3. Задано функцію розподілу ймовірностей випадкової величини Х:
.
Знайти M(x). Обчислити Р(2<Х<3,5).
4. Знайти математичне сподівання і дисперсію кількості очок, що з’являться в результаті одного підкидання грального кубика.
5. За заданою щільністю ймовірностей
f(x)=
обчислити M(x).
6. Графік щільності розподілу імовірності зображено на рисунку.
f(x)
1/3
-2 -1 1 2 3 4
Знайти аналітичний вираз щільності розподілу. Обчислити D(X), (X), Мо, Ме.
7. Знайти математичне сподівання випадкової величини з а) біноміальним розподілом, б) розподілом Пуассона, в) рівномірним розподілом.
8. По мішені проведено 9 пострілів. Імовірність влучення у мішень при кожному пострілі дорівнює 0,7. Знайти математичне сподівання і дисперсію числа влучень.
9. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням 40 і дисперсією 200. Обчислити ймовірність влучення Х в інтервал (30,80).
10. Випадкова величина Т – час роботи приладу має показниковий розподіл. Визначити ймовірність того, що час роботи приладу буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи становить 400 годин.
Т е с т и
Варіант №1
1. Знайти математичне сподівання числа очок, які можуть з’явитися при підкиданні грального кубика.
а) 3; б) 1/2; в) 7/2; г) 5/2.
2. Випадкова величина Х задана щільністю імовірності:
Визначити дисперсію величини Х.
а) 1/2; б) 2/3; в) 2/9; г) -2/3
3. Випадкова величина розподілена за показниковим законом з параметром 5. Знайти М( Х ) і D( Х ).
а) М( Х )=5 D( Х )=25; б) М( Х )=0,2 D( Х )=0,2;
в) М( Х )=0,2 D( Х )=0,04; г) М( Х )=0,5 D( Х )=0,5.
4. Який з наступних законів розподілу не відноситься до розподілу дискретних випадкових величин?
а) рівномірний;
б) пуассонівський;
в) геометричний;
г) біноміальний.
5. Випадкова величина Х розподілена за законом . Знайти М( Х ) і ( Х ).
а) М( Х )=2 ( Х )=2; б) М( Х )=-1 ( Х )=2;
в) М( Х )=8 ( Х )=4; г) М( Х )=-2 ( Х )=1.
Варіант №2
1. Знайти дисперсію випадкової величини Х, що задана законом
Х |
-5 |
0 |
4 |
5 |
Р |
1/8 |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
а) 86/8; б) –74/8; в) 1; г) 74/8.
2. Задана інтегральна функція
F(x)=;
M(X) дорівнює: а) 1/2; б) 7/8; в) 7/8; г) 3/2.
3. Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі (-2;2).
Знайти М( Х ) і D( Х ).
а) М( Х )=0 D( Х )=1,33; б) немає вірної відповіді;
в) М( Х )=0 D( Х )=4; г) М( Х )=0,5 D( Х )=1,25.
4. За яких умов ймовірність влучення випадкової величини Х в інтервал (c, d) знаходять за формулою: .
а) Х має рівномірний розподіл;
б) Х має показниковий розподіл;
в) Х має нормальний розподіл;
г) Х має біноміальний розподіл.
5. Випадкова величина Х має показників розподіл з параметром 3. Знайти імовірність того, що Х потрапить в інтервал (0,13; 0,7).
а) 0,555; б) 1; в) 0,34 г) 0,445.